Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με ΑΒ = α. Αν Ο το μέσο του ΑΒ, ονομάζουμε Ε το σημείο τομής του κύκλου (Ο, ΟΑ) και του τμήματος ΔΟ.
Ονομάζουμε Ζ το σημείο τομής του κύκλου (Ο, ΟΑ) με τη διαγωνίο ΑΓ και Η το σημείο τομής της ΑΓ με το ΟΔ.
1. Να υπολογιστεί το μήκος του ΕΖ συναρτήσει του α.
2. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΗ συναρτήσει του α.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#2

Αν έχω κάνει λάθη στις πράξεις το κρίμα στο λαιμό του θεματοδότη...

: 13-10-2011 Γεωμετρία.jpg (12.23 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο $\displaystyle O$ παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle A\left( { - 1,\;0} \right),\;B\left( {1,\;0} \right),\,\Gamma \left( {1,\;2} \right),\;\Delta \left( { - 1,\;2} \right)$ που είναι κορυφές τετραγώνου, ώστε το $\displaystyle {\rm O}$ να είναι μέσο του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ . Ο κύκλος $\displaystyle C$ με κέντρο το $\displaystyle {\rm O}$ και διάμετρο το $\displaystyle {\rm A}{\rm B}$ έχει εξίσωση $\displaystyle x^2 + y^2 = 1$

Η ευθεία που διέρχεται από τα $\displaystyle \Delta ,\;{\rm O}$ έχει εξίσωση $\displaystyle y = - 2x$ τέμνει τον

στα σημεία $\displaystyle E'\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{5}, - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;} \right),\;E\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5},\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;} \right)$ .

ΣΧΟΛΙΟ: Αφού το $\displaystyle \Delta {\rm O}$ είναι στο 2ο τεταρτημόριο, είναι $\displaystyle E\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5},\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;} \right)$

Η διαγώνιος $\displaystyle {\rm A}\Gamma$ τέμνει προφανώς τον κύκλο $\displaystyle C$ στο $\displaystyle Z\left( {0,\;1} \right)$

Οι άπιστοι Θωμάδες ας λύσουν το σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 1 \\ y = x + 1 \\ x \ne - 1,\;x \ne 1 \\ \end{array} \right.$ (Γιατί $\displaystyle x \ne - 1,\;x \ne 1$ ) ;
Η $\displaystyle {\rm O}\Delta$ τέμνει την $\displaystyle {\rm A}\Gamma$ στο $\displaystyle {\rm H}\left( { - \frac{1}{3},\;\frac{2}{3}} \right)$
Οπότε $\displaystyle \left( {{\rm E}{\rm Z}} \right) = \sqrt {\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)^2 + \left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5} - 1} \right)^2 } = \sqrt {\frac{{10 - 4\sqrt 5 }}{5}}$

και ως συνάρτηση του $\displaystyle \alpha$ είναι $\displaystyle \left( {{\rm E}{\rm Z}} \right) = \sqrt {\frac{{10 - 4\sqrt 5 }}{{20}}} \cdot \alpha$

Είναι $\displaystyle \overrightarrow {{\rm Z}{\rm H}} = \left( { - \frac{1}{3},\; - \frac{1}{3}} \right),\;\;\overrightarrow {{\rm Z}{\rm E}} = \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5},\frac{{2\sqrt 5 - 5}}{5}} \right)$

άρα $\displaystyle \left( {{\rm Z}{\rm H}{\rm E}} \right) = \frac{1}{2}\left| {\,\left| {\begin{array}{*{20}c} { - \frac{1}{3}} & { - \frac{1}{3}} \\ { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} & {\frac{{2\sqrt 5 - 5}}{5}} \\ \end{array}} \right|\,} \right| = \frac{{9\sqrt 5 - 10}}{{60}}$

και ως συνάρτηση του $\displaystyle \alpha$ είναι $\displaystyle \left( {{\rm Z}{\rm H}{\rm E}} \right) = \frac{{9\sqrt 5 - 10}}{{240}} \cdot \alpha ^2$

Ανδρέας Πούλος · #3

Γιώργο,
πάντα "γρήγορο πιστόλι".
Κι εγώ νόμιζα ότι η Αναλυτική λύση θα ήταν πολύ αργή, η "μέθοδος του αργοκίνητου" όπως την ονομάζω.
Ας ζητήσουμε και μια λύση με όμοια τρίγωνα και μετρικές σχέσεις σε κύκλο.
Μία τριγωνομετρική λύση θα ήταν υπερβολική απαίτηση;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#4

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Γιώργο,
πάντα "γρήγορο πιστόλι".
Κι εγώ νόμιζα ότι η Αναλυτική λύση θα ήταν πολύ αργή, η "μέθοδος του αργοκίνητου" όπως την ονομάζω.
Ας ζητήσουμε και μια λύση με όμοια τρίγωνα και μετρικές σχέσεις σε κύκλο.
Μία τριγωνομετρική λύση θα ήταν υπερβολική απαίτηση;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Μεταφέρω μια εξώδικη δήλωση διαμαρτυρία του Ρενέ. Εγώ δεν έχω κάτι άλλο να προσθέσω...

Eνώπιον παντός Αρμοδίου Δικαστηρίου και πάσης Αρχής
ΔΙΑΜΑΡΤΥΡΙΑ – ΚΑΤΑΓΓΕΛΙΑ - ΔΗΛΩΣΗ
Του υπογραφομένου (πρώην) Γάλλου Πολίτη.

ΚΑΤΑ

Του Ανδρέα Πούλου, που εδρεύει στη Θεσσαλονίκη,
όπως εκπροσωπείται κατά τον νόμο, και ΚΑΤΑ παντός υπευθύνου.

Ο υπογραφόμενος πολίτης της Γαλλίας Καρτέσιος (René Descartes)

: Καρτέσιος 1.jpg (6.7 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

διαμαρτύρομαι
εντόνως κατά του ανωτέρω Συναδέλφου διότι χαρακτήρισε την Αναλυτική Γεωμετρία «πολύ αργή», και μάλιστα την ονομάζει «η "μέθοδος του αργοκίνητου" ....»
Η ανωτέρω “επιλογή” του ακαλαίσθητου “χαρακτηρισμού” σε συνδυασμό με την αδόκιμη, αδόκητη και παράταιρη χρήση της ονομασίας «η "μέθοδος του αργοκίνητου" ....», προσβάλλει κατά τρόπο βάναυσο και χυδαίο καταξιωμένες ταχύτατες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων της Γεωμετρίας, όπως αποδεικνύουν οι πάμπολες αναρτήσεις των επιγόνων μου ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΓΕΩΜΕΤΡΟΦΙΛΩΝ στον δικτυακό χώρο mathematica της Ελλάδος. Θεωρώ ότι η καταγγελόμενη κατάσταση περικλείει δόλο και διάθεση να χλευάζονται εμπράκτως οι διαχρονικές πνευματικές αξίες του έργου μου:

: Καρτέσιος 2.jpg (18 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

Επειδή η ανωτέρω δημιουργηθείσα εν τοις πράγμασιν (de facto) κατάσταση προσβάλλει βαναύσως την τιμή και την υπόληψή μου, μου προκαλεί θλίψη και βαθιά ψυχική οδύνη.
ΓΙ΄ ΑΥΤΟ, με την ρητή επιφύλαξη κάθε δικαιώματός μου,
καταγγέλω δημοσίως τα ανωτέρω
και δηλώνω ότι επιθυμώ την απόσυρση των χαρακτηρισμών,
την επανόρθωση της γενομένης βλάβης,
και την αποχή στο μέλλον από κάθε είδους παρόμοια προσβολή.

Αρμόδιος μαθηματικός επιμελητής εντέλλεται να επιδώσει νομίμως την παρούσα όπου κατά νόμον απαιτείται ή ενδείκνυται, προς γνώση και για τις νόμιμες συνέπειες, αντιγράφοντάς την ολόκληρη στην έκθεση επιδόσεώς του.
Ακολουθεί η Υπογραφή του καταγγέλοντος.

#5

Και μια άλλη αντιμετώπιση:

1ο) Εύκολα με το πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζεται: $\displaystyle O\Delta =\frac{a\sqrt{5}}{2} \ \ (1)$
κι επειδή: $\displaystyle OE=\frac{a}{2} \ \ (2)$ άρα $\displaystyle \Delta E=\frac{a}{2}\left(\sqrt{5}-1 \right) \ \ (3)$

Στο τρίγωνο $\displaystyle OZ\Delta$ εφαρμόζουμε το θεώρημα του Stewart: $\displaystyle \left(\Delta E \right)\left(OZ \right)^2+(OE)(\Delta Z)^2=(\Delta O)(EZ)^2+(\Delta E)(EO)(\Delta O)$
Αν στη σχέση αυτή αντικαταστήσουμε τις τιμές από τις (1), (2) και (3) θα προκύψει μετά από πράξεις:
$\displaystyle EZ=\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{10}} \ \ (4)$

2ο) Όμοια επειδή είναι: $\displaystyle \frac{OH}{H\Delta }=\frac{AO}{\Delta \Theta }=\frac{1}{2}$
προκύπτει: $\displaystyle OH=\frac{1}{3}\left(O\Delta \right)=\frac{a\sqrt{5}}{6} \ \ (5)$ και $\displaystyle \Delta H=2(OH)=\frac{a\sqrt{5}}{3} \ \ (6)$
κι απ' το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle OZ\Delta$ υπολογίζεται ότι: $\displaystyle ZH=\frac{a\sqrt{2}}{6} \ \ (7)$
Η τελευταία δηλώνει ότι το μήκος $\displaystyle{ZH}$ είναι το ένα έκτο της διαγωνίου του τετραγώνου.

Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: $\displaystyle{\displaystyle (EZH)=(OEZ)-(OHZ) \ \ (8)}$

Αλλά
$\displaystyle (OEZ)=\frac{1}{2}(OE)(OZ)sin(\hat{EOZ})=\\=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} \right)^2\cdot \frac{\Delta \Theta }{\Delta O}=\frac{a^2}{8}\cdot\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a^2\sqrt{5}}{40} \ \ (9)$

και λόγω της (7) ακόμα:

$\displaystyle (OHZ)=\frac{1}{6}(AO\Gamma )=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}(AB\Gamma )=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(AB\Gamma \Delta )=\frac{1}{24}a^2 \ \ (10)$

τελικά η (8) λόγω των (9) και (10) γίνεται: $\displaystyle \left(EZH \right)=\frac{a^2\sqrt{5}}{40}-\frac{a^2}{24}=\frac{3\sqrt{5}-5}{120}a^2$

Κώστας Δόρτσιος

: Τμήμα και εμβαδόν.PNG (12.88 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

Ανδρέας Πούλος · #6

Πρόκειται για ψευτοδικηγόρο του μακαρίτη, ο οποίος λόγω της οικονομικής κρίσης μετέρχεται παντός μέσου προς βιοπορισμόν.
Ιδού τα ατράνταχτα ντοκουμέντα:
Από τον 1ο τόμο του βιβλίου του E.T. Bell "Οι μαθηματικοί", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης σελίδες 74-76 που αναφέρονται στον Καρτέσιο.
Διευκρινιστικά, ο Καρτέσιος ενέλαβε να κάνει μαθήματα Γεωμετρίας στην βασίλισσα Χριστίνα της Σουηδίας και επειδή ήταν "ολίγον τούβλο" της έμαθε τι άλλο Αναλυτική Γεωμετρία.
Καταγράφω την σχετική παράγράφο, σελίδες 74 και 75.
"Ανάμεσα στα μέρη της φιλοσοφίας του που της εξέθεσε ήταν και η μέθοδος της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Τώρα, υπάρχει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα στη στοιχειώδη Γεωμετρία, το οποίο μπορεί να λυθεί αρκετά απλά με καθαρή γεωμετρία, και φαίνεται αρετά εύκολο, όμως είναι τελείως διαβολικό αν θελήσει κανείς να το αντιμετωπίσει με αναλυτική Γεωμετρία στην αυστηρή Καρτεσιανή μορφή. Το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύκλου εφαπτόμενου σε 3 δοθέντες κύκλους, των οποίων τα κέντρα δεν είναι συνευθειακά. Υπάρχουν 8 πιθανέςλύσεις. Το πρόβλημα είναι ωραίο δείγμα του είδους των προβλημάτων ... Η Ελισάβετ το έλυσε με τις μεθόθους του Καρτεσίου. Ήταν μάλλον σκληρό από μέρους του να την αφήσει να το κάνει. Το σχόλιο που έκανε βλέποντας τη λύση της, συνσιτά παράδειγμα προς αποφυγήν για κάθε μαθηματικό. Το καϋμένο το κορίτσι ήταν αρκετά περήφανο για το κατόρθωμά της. Ο Καρτέσιος είπε ότι δεν πρόκειται να ακολουθήσει τη λύση της, που θα απαιτούσε ένα μήνα για την κατασκευή του ζητούμενου εφαπτόμενου κύκλου. Αν αυτό το γεγονός δεν δείχνει την εκτίμησή του για τις μαθηματικές της ικανότητες, τότε είναι αδύνατον να γίνει πιο ξεκάθαρα. Ήταν αγένεια από μέρους του, ιδιαίτερα καθώς εκείνη δεν θα το αντιλαμβανόταν και εκείνος το ήξερε".

Λοιπόν, κάτι ήξερε ο μακαρίτης.
Πλάκα, πλάκα όλα αυτά μπορούν να αποτελέσουν μέρος μιας συζήτησης (όχι της πλάκας) για τα παιδαγωγικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα κλάδων των σχολικών Μαθηματικών όπως είναι η Ευκλείδεια, η Αναλυτική και η Διανυσματική Γεωμετρία.
Πάντως, το κείμενο του Γιώργου είναι εξαιρετικό παράδειγμα δασκάλου που μπορεί να κάνει μάθημα (και μάλιστα Μαθηματικά) με τη χρήση χιούμορ.
Αντέγραφα το κείμενο πολύ γρήγορα και σίγουρα έχει τυπογραφικά, ίσως και συντακτικά λάθη.
Βάλθηκα να λύσω το πρόβλημα του φίλου "Παρμενίδη" για την ευκλείδεια κατασκευή του μεγάλου και μικρού άξονα μιας έλλειψης.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #7

Επίσης, πρέπει να γνωρίζουμε ότι η Ιστορία εκδικείται.
Ο φίλος μας ο Καρτέσιος πέθανε από πνευμονία, επειδή η "καλή του μαθήτρια" η νεαρά βασίλισσα Χριστίνα
ήθελε μάθημα στις 05:30 το πρωί σε ένα παλάτι που με τα μέσα της εποχής δύσκολα το κρατούσαν ζεστό.
Τι ήθελες τα φροντιστήρια κύριε Ρενέ και μάλιστα σε "τούβλα";
Έχετε ακούσει κάποιον δάσκαλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας να πεθαίνει νωρίς;
Ιδού ένα άλλο πλεονέκτημα της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#8

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Έχετε ακούσει κάποιον δάσκαλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας να πεθαίνει νωρίς;
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Μην τα παραλέμε...

Δεν λέω καλή η "κλασσική γεωμετρία", αλλά αν το παρακάνεις έχεις και το ένα πόδι στον τάφο...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ευχαριστώ τον Ανδρέα για τα καλά του λόγια και ανταποδίδω <-- κάντε κλικ εκεί!

Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση