Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Ανδρέας Πούλος · #1

Το

είναι ισόπλευρο τρίγωνο.
Ονομάζουμε

,

τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους τις πλευρές

,

αντίστοιχα,
τα οποία δεν έχουν άλλα κοινά σημεία με το τριγωνικό χωρίο εκτός από τις κορυφές του.
Να εκφράσετε το μήκος

συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου.

Παραγγελία: Ο τρόπος υπολογισμού να γίνει:
1. Με όμοια τρίγωνα.
2. Με Τριγωνομετρία.
3. Με Αναλυτική Γεωμετρία (αν και δεν ανήκει στον φάκελλο Ευκλείδεια Γεωμετρία), είναι παραγγελία για τον Γ. Ρίζο και τους άλλους αιρετικούς, μικρούς και μεγάλους.
4. Με τη χρήση της στροφής ως προς σημείο, (και αυτό αιρετικό, αφού ανήκει στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς - αντιαρχαιοελληνικόν,
αλλά ολίγοτερον καταραμένο σε σχέση την αίρεση του Καρτεσίου).
5. Με όποιον άλλο τρόπο μπορείτε, αρκεί να είναι σεμνός και ηθικός.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

KARKAR · #2

Οι

τέμνονται στο

. Προφανώς $\widehat {MKN}=120^{o}$ . Επίσης $\displaystyle KD=KE=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

και $\displaystyle DM=EN=\frac{a}{2}$ , οπότε $\displaystyle KM=KN=\frac{3+\sqrt{3}}{6}a$

Με νόμο συνημιτόνων στο MKN

, και με λίγες πράξεις παίρνω : $\displaystyle MN=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2}a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}a=BN$

KARKAR · #3

Νόμος συνημιτόνων και πάλι , αλλά στο ισοσκελές MAN

. Επειδή

ορθογώνιο και ισοσκελές ,

είναι $\displaystyle AM = AN= \frac{a\sqrt{2}}{2}$ και $\widehat {MAN}=150^{o}$ κ.λ.π.

#4

Το τμήμα $\displaystyle{MN}$ είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο
σε κύκλο με κέντρο το σημείο $\displaystyle{K}$ και ακτίνα την $\displaystyle{KN}$
Ακόμα είναι:
$\displaystyle KN=KD+DN=\frac{1}{3}\upsilon +\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a}{2}=\frac{a}{6}\left(3+\sqrt{3} \right)$

Άρα:
$\displaystyle MN=\lambda _3=R\sqrt{3}=(KN)\sqrt{3}=\frac{a}{2}\left(1+\sqrt{3} \right)$

Ανδρέα: Μια καλή ευκαιρία για να βάλουμε στο παιχνίδι και τη στροφή:
Πράγματι στο δυναμικό σχήμα που αναρτώ μπορεί κανείς να δει το "πράσινο παγωτό" να στρέφεται γύρω από το σημείο Κ και
να δημιουργεί το όλο σχήμα. Απολαύστε το.

Κώστας Δόρτσιος

: Περιστροφή....PNG (12.81 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Ιστοσελίδα · #5

: Υπολογισμός-μήκους-τμήματος-με-πολλούς-τρόπους.png (17.19 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Καλημέρα. Το

ισούται με την ακτίνα κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς $\displaystyle\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ (λόγω του ορθογώνιου και ισοσκελούς MAB

και του ισοπλεύρου OMN

).

Από τον τύπο ${\lambda _{12}} = R\sqrt {2 - \sqrt 3 }$ (και κάποιες πράξεις) προκύπτει ότι: $MN = \displaystyle\frac{{a\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$ .

Ανδρέας Πούλος · #6

Γειά σου Μιχάλη "καλλιτέχνη".
Από το κανονικό 12-γωνο ΄"έκλεψα το θέμα και το έντυσα κάπως".
Για το λόγο αυτόν έβαλα τις άλλες παραπλανητικές παραγγελιές.
Ο "αμαρτωλός" Γ.Ρ. δεν φάνηκε ακόμα, να μας κάνει το πρωινό κήρυγμα για τον Ρενέ,
φαίνεται ότι θα είναι ακόμα στην εκκλησία των Καρτιανιστών.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

KARKAR · #7

Άλλη μία , πιο γεωμετρική ... Επειδή MDB

ισοσκελές και ορθογώνιο παίρνω :

$\widehat{MBN}=45^{o}+30^{o}=75^{o}$ και $\widehat{BMN}=90^{o}-15^{o}=75^{o}$ .

Συνεπώς : $\displaystyle MN=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}a$

p_gianno · #8

ισοσκελές τραπέζιο με

$MD=DE=EN=\frac{a}{2}$ και <M=<N=30^0

τργ $MPD\rightarrow \; MP=\frac{\sqrt{3}}{2}MD=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{a}{2}$

Επομένως

$MN=MP+PI+IN=2MP+PI=2\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{a}{2}+\frac{a}{2} = a\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

#9

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Ο "αμαρτωλός" Γ.Ρ. δεν φάνηκε ακόμα, να μας κάνει το πρωινό κήρυγμα για τον Ρενέ,
φαίνεται ότι θα είναι ακόμα στην εκκλησία των Καρτιανιστών.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ουφ! Πολύ κράτησε η λειτουργία σήμερα!

Δεν μπορώ να καταλάβω το κόλλημα μερικών ... να λύσουμε αυτό το θέμα με Αναλυτικές Μεθόδους, ενώ με κλασσική Γεωμετρία λύνεται πανεύκολα...

Τέλος πάντων, δεν μπορούμε να αρνηθούμε (εφόσον βέβαια μπορούμε...)

: 16-10-2011 Γεωμετρία.jpg (22.41 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο O(0, 0)

παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle A\left( {0,\;\sqrt 3 } \right),\;\;B\left( { - 1,\;0} \right),\;C\left( {1,\;0} \right)$ που είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς

.

Τότε το μέσο της

είναι $\displaystyle D\left( { - \frac{1}{2},\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ και της

είναι το $\displaystyle E\left( {\frac{1}{2},\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$
Το ημικύκλιο $\displaystyle C_1$ με διάμετρο

έχει εξίσωση: $\displaystyle \left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {y - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 = 1,$ με $\displaystyle - \frac{3}{2} \le x \le - 1$ ή με $\displaystyle - 1 < x \le 0,\;\;y > \sqrt 3$

Το ημικύκλιο $\displaystyle C_2$ με διάμετρο

έχει εξίσωση: $\displaystyle \left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {y - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 = 1,$ με $\displaystyle 1 \le x \le \frac{3}{2}$ ή με $\displaystyle 0 \le x < 1,\;\;y > \sqrt 3$
H

έχει εξίσωση $\displaystyle y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {x - 1} \right)$ και είναι κάθετη στην

(Αναλυτικογεωμετρικά: έχουν γινόμενο συντ. διεύθυνσης

και γεωμετρικά η

ως διάμεσος σε ισόπλευρο είναι και ύψος).
Οπότε, προεκτεινόμενη τέμνει τον $\displaystyle C_1$ στο $\displaystyle M\left( { - \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2},\;\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)$

Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle N\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2},\;\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)$ , οπότε $\displaystyle \left( {MN} \right) = \sqrt 3 + 1$

Αφού Αφού $\displaystyle MA = MB = \sqrt 2$ , το

είναι μέσο του ημικυκλίου.
(ή διαφορετικά: επειδή $\displaystyle DM \bot AB$ , η

διχοτομεί το ημικύκλιο).

Το ίδιο για το

Θεωρώντας $\displaystyle a$ την πλευρά του τριγώνου είναι $\displaystyle \left( {MN} \right) = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \cdot a$

#10

Μια Γεωμετρική λύση. Ας προστεθεί στις όμορφες λύσεις των φίλων που προηγήθηκαν.

: 16-10-2011 Γεωμετρία b.jpg (20.64 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές

Το

είναι μέσο του ημικυκλίου $\displaystyle \left( {D,\;\frac{a}{2}} \right)$ , οπότε $\displaystyle MD \bot AB$ , άρα προεκτεινόμενη διέρχεται από την κορυφή

, εφόσον η

ως διάμεσος σε ισόπλευρο είναι και ύψος.

Ομοίως, B, E, N

συνευθειακά.

Είναι $\displaystyle MD = NE = \frac{a}{2},\;CD = BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MC = BN$
Επίσης $\displaystyle \mathop {MN}\limits^ \cap = \mathop {NE}\limits^ \cap$ (τεταρτοκύκλια ίσως κύκλων) άρα $\displaystyle MB = NC$

Τα τρίγωνα $\displaystyle MBC,\;NBC$ είναι ίσα άρα το MBCN

είναι τραπέζιο (και μάλιστα ισοσκελές).

Τότε τα BKC, MKN

είναι όμοια με

$\displaystyle \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{MK}}{{KC}} \Leftrightarrow \frac{{MN}}{a} = \frac{{\frac{a}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{6}}} \Leftrightarrow MN = \frac{{\frac{{3a}}{6} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\frac{{a2\sqrt 3 }}{6}}} \cdot a = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \cdot a$

#11

Ανδρέας Πούλος έγραψε: (...)
5. Με όποιον άλλο τρόπο μπορείτε, αρκεί να είναι σεμνός και ηθικός.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Και μία με Συμμετρία και μια essence Τριγωνομετρίας.

: 16-10-2011 Γεωμετρία c.jpg (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Η μεσοκάθετη

της

είναι άξονα συμμετρίας του ABC

.

Οπότε D, E

συμμετρικά ως προς

, άρα και τα σχηματιζόμενα ημικύκλια με διαμέτρους AB, AC

εξωτερικά του ABC

είναι συμμετρικά, άρα και τα μέσα των ημικυκλίων M, N

είναι συμμετρικά ως προς

.

Έστω

το σημείο τομής των MN, AO

, οπότε

.

Με "κυνήγι γωνιών" βρίσκουμε ότι $\displaystyle \widehat{CMN} = 30^\circ$ .

Πράγματι: $\displaystyle \widehat{KBC} = \widehat{KCB} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{DKE} = 120^\circ \Rightarrow \widehat{DKT} = 60^\circ \Rightarrow \widehat{DMT} = 30^\circ$

Άρα $\displaystyle MT = MK \cdot \sigma \upsilon \nu 30^\circ = \left( {\frac{a}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \cdot a$

Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Re: Υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους

Μέλη σε σύνδεση