Διαγώνιος χώρος

#1

Έστω

μετρικός χώρος. Νά αποδειχθεί ότι το σύνολο $\Delta=\left\{{(x,x)\,:\,x\in{X}}\right\}$ είναι κλειστό υποσύνολο του μετρικού χώρου $X\times{X}$ .

Ιστοσελίδα · #2

Έστω

η μετρική γινόμενο του $X\times X.$

Θεωρούμε ακολουθία (x_n , x_n)

του $\Delta,$ με $\displaystyle \lim_{n}(x_n , x_n) = (x,y)\in X\times X.$

Τότε $\displaystyle \lim_{n}x_n = x$ και $\displaystyle \lim_{n}x_n = y.$

Από τη μοναδικότητα του ορίου έχουμε x = y.

Δηλαδή $(x,y) = (x,x)\in\Delta.$

Επομένως, το $\Delta$ είναι κλειστό υποσύνολο του μετρικού χώρου $X\times X.$

#3

Σωστά αλλά ας προσθέσω κάτι ακόμη για την μετρική του γινομένου:

Υπάρχουν πολλές τέτοιες μετρικές, όπως οι $d_1((x,y),(u,v)) = d(x,u) + d(y,v)), \, d_2((x,y),(u,v)) = \sqrt {d^2(x,u) + d^2(y,v))}$ και άλλες.

Ποια θα χρησιμοποιήσουμε;

Αποδεικνύεται (με ένα επιχείρημα συμπάγειας) ότι είναι όλες ισοδύναμες (*). Άρα αν

μία δεδομένη μετρική του $X\times X$ τότε υπάρχουν σταθερές Μ, Ν με

$M d_1((x,y),(u,v)) \le D((x,y),(u,v)) \le N d_1((x,y),(u,v)), \, x, y, u, v \in X$

Από αυτό είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν $(x_n, y_n) \rightarrow (u,v)$ ως προς την

, τότε $x_n \rightarrow u, \, y_n \rightarrow v$ ως προς την

.

Αυτό το τελευταίο χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη στο προηγούμενο ποστ, και είναι το κλειδί.

Τα λέω αυτά γιατί το δύσκολο (αλλά γνωστό σε αυτούς που γνωρίζουν) σημείο της απόδειξης είναι η (*), που στο προηγούμενο ποστ δεν φάνηκε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Κάπως πιο γενικά: 'Eστω

ένας τοπολογικός χώρος Hausdorff και δύο στοιχεία του $a\neq b$ . Θα υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα A,B

που περιέχουν τα a,b

αντιστοίχως. Το καρτεσιανό γινόμενο τους $A\times B$ δεν περιέχει κανένα στοιχείο της διαγωνίου του $X\times X$ , περιέχει το (a,b)

και είναι ανοικτό στην τοπολογία γινόμενο του $X\times X$ . Eπομένως το συμπλήρωμα της διαγωνίου είναι ανοικτό σύνολο και η διαγώνιος είναι κλειστό σύνολο.
Μαυρογιάννης

#5

Καλημέρα σε όλους

Και μία ακόμη παρατήρηση:

Ισχύει και το αντίστροφο (με μάλλον απλή απόδειξη)

Αν σε έναν τοπολογικό χώρο

η διαγώνιος $\Delta$ του $X\times{X}$ είναι κλειστό σύνολο, τότε ο χώρος είναι

Hausdorff.

#6

Επαναφορά:

s.kap έγραψε:Καλημέρα σε όλους

Και μία ακόμη παρατήρηση:

Ισχύει και το αντίστροφο (με μάλλον απλή απόδειξη)

Αν σε έναν τοπολογικό χώρο η διαγώνιος $\Delta$ του $X\times{X}$ είναι κλειστό σύνολο, τότε ο χώρος είναι Hausdorff.

#7

Demetres έγραψε:Επαναφορά:
s.kap έγραψε:Καλημέρα σε όλους

Και μία ακόμη παρατήρηση:

Ισχύει και το αντίστροφο (με μάλλον απλή απόδειξη)

Αν σε έναν τοπολογικό χώρο η διαγώνιος $\Delta$ του $X\times{X}$ είναι κλειστό σύνολο, τότε ο χώρος είναι Hausdorff.

Επειδή πέρασε πολύς καιρός (!) και ξεχάστηκε ας βάλω μία απόδειξη

Το σύνολο $A=X \times X \setminus \Delta$ είναι ανοικτό.

Αν x_0,y_0

είναι δύο διαφορετικά στοιχεία του

, τότε προφανώς $(x_0,y_0) \in A$ και

επειδή το

είναι ανοικτό θα υπάρχει ανοικτό σύνολο

με $(x_0,y_0) \in U \subset A$ , άρα

υπάρχουν ανοικτά σύνολα U_1,U_2

του

με $x_0 \in U_1, y_0 \in U_2 \wedge U=U_1 \times U_2$

$U_1 \times U_2 \subset A \Rightarrow U_1 \cap U_2= \varnothing$ , και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Διαγώνιος χώρος

Διαγώνιος καρτεσιανού μετρικού χώρου

Re: Διαγώνιος καρτεσιανού μετρικού χώρου

Re: Διαγώνιος καρτεσιανού μετρικού χώρου

Re: Διαγώνιος καρτεσιανού μετρικού χώρου

Re: Διαγώνιος καρτεσιανού μετρικού χώρου

Re: Διαγώνιος χώρος

Re: Διαγώνιος χώρος

Μέλη σε σύνδεση