Περιοδικές συναρτήσεις

peter · #1

1. Έστω $f,g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχείς, περιοδικές συναρτήσεις με $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=0$ . Δείξτε ότι $f\equiv g$ .

2. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι η

έχει περιόδους T_1,T_2>0

με $T_1/T_2\notin \mathbb Q$ . Δείξτε ότι η

είναι σταθερή.

3. (Ασυμπτωτικά περιοδική) Έστω $f:(0,\infty)\to \mathbb R$ συνεχής και φραγμένη. Δείξτε ότι για κάθε T>0

υπάρχει ακολουθία $(x_n)\subset (0,\infty)$ ώστε $x_n\to +\infty$ και $f(x_n+T)-f(x_n)\to 0$ καθώς $n\to\infty$ .

#2

peter έγραψε:
2. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι η έχει περιόδους με $T_1/T_2\notin \mathbb Q$ . Δείξτε ότι η είναι σταθερή.

Μία απάντηση.

Αφού $\frac {T_1}{T_2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , ΄τότε (Θεώρημα Kronecker) το σύνολο

$\{m+n\frac {T_1}{T_2}/m,n \in \mathbb{Z}\}$ είναι πυκνό στο σύνολο των πραγματικών.

Άρα με δεδομένο ένα $x \in \mathbb{R}$ θα υπάρχει ακολουθία $a_k=m_k+n_k \frac {T_1}{T_2}$ με $a_k \to \frac {x}{T_2}$

άρα $T_2a_k \to x \Rightarrow f(0)=f(m_kT_2+n_kT_1) \to f(x) \Rightarrow f(x)=f(0),\ \forall x \in \mathbb{R}$

Και στο 1ο έχω απάντηση, αλλά είναι αρκετά εκτενής. Αν λοιπόν δεν προκύψει πιο σύντομη θα την γράψω μόλις βρω χρόνο.

Προς το παρόν εύχομαι σε όλους καληνύχτα.

Ilias_Zad · #3

1)
Έστω

οι περίοδοι.

Αν $\frac{T_2}{T_1}$ άρρητός τότε αφού ισχύει ότι $f(0)-g(nT_1)=f(nT_1)-g(nT_1) \rightarrow 0$ καθώς και ότι το σύνολο των οριακών σημείων της $g(nT_1)=g(nT_1-[n\frac{T_2}{T_1}]T_2)$ είναι όλο το [0,T_2)

έχουμε ότι

σταθερή και άρα f=g

.

Αν $\frac{T_2}{T_1}$ ρητός: Έστω e>0

. Yπάρχει

ώστε $x>M \rightarrow |f(x)-g(x)|<e$ . Έστω

στο

. Yπάρχει

τω $|x-y|<d \rightarrow |f(x)-f(y)|<e$ , από συνέχεια. Tώρα υπάρχουν n,m

ακέραιοι τέτοιοι ώστε nT_2=mT_1

και

. Aυτό γιατί μπορούμε να πάρουμε το (ln,lm)

(l αρκετά μεγάλο) αντί για το (n,m)

.
Οπότε ισχύει $|g(y)-f(y)| \leq |f(y+nT_1)-g(y+nT_1)|+|g(y+nT_1)-g(y)|$ <e+|g(y+nT_1-mT_2)-g(y)|=e

, και άρα τη ζητούμενο.

3)Σε διαφορειτκή περίπτωση υπάρχουν M,e>0

τω $x>M \rightarrow |f(x+T)-f(x)| \geq e$ . Όμως αφού η

ικανοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα ισχύει είτε $f(x+T)-f(x) \geq e$ είτε $f(x+T)-f(x) \leq -e$ για κάθε x>M

, δίνοντας μας $|f(nT)| \rightarrow + \infty$ , κάτι αδύνατο.

#4

4.
Έστω

και η περιοδική συνάρτηση $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ για την οποία υπάρχει το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x^p},}$ όχι απαραίτητα πεπερασμένο.
Να δείξετε ότι η

είναι φραγμένη.

peter · #5

4. Έστω

η περίοδος της

. Είναι $\displaystyle L=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x^p}=\lim_{n\to \infty}\frac{f(nT)}{(nT)^p}=\lim_{n\to \infty}\frac{f(0)}{(nT)^p}=0$ .

Αν η

δεν είναι φραγμένη, υπάρχει $(x_n)\subset (0,T)$ ώστε |f(x_n)|>2^n

. Tότε, για την y_n=x_n+nT

έχουμε $\displaystyle \left|\frac{f(y_n)}{y_n^p}\right|=\frac{|f(x_n)|}{(x_n+nT)^p}>\frac{1}{T^p}\frac{2^n}{(n+1)^p}$ για όλα τα

.

Aλλά, $\displaystyle \frac{f(y_n)}{y_n^p}\to 0$ καθώς $n\to \infty$ κι έχουμε αντίφαση.

peter · #6

5. (α) Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής περιοδική, μη σταθερή συνάρτηση. Δείξτε ότι η

έχει ελάχιστη θετική περίοδο. (Λέμε τότε ότι η

έχει θεμελιώδη περίοδο.)
(β) Δώστε παράδειγμα μη σταθερής, περιοδικής συνάρτησης χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.

6. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Δείξτε ότι το σύνολο όλων των περιόδων της

είναι πυκνό στο $\mathbb R$ .

7. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Δείξτε ότι, είτε η

είναι σταθερή ή ασυνεχής παντού.

#7

peter έγραψε:5. (α) Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής περιοδική, μη σταθερή συνάρτηση. Δείξτε ότι η έχει ελάχιστη θετική περίοδο. (Λέμε τότε ότι η έχει θεμελιώδη περίοδο.)
(β) Δώστε παράδειγμα μη σταθερής, περιοδικής συνάρτησης χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.

(α) Αν η

δεν έχει ελάχιστη θετική περίοδο, τότε υπάρχει ακολουθία περιόδων T_n

της

, η οποία τείνει στο 0. Συνεπώς αν

είναι μία

τιμή της συνάρτησης, τότε αυτή θα την παίρνει σε κάθε διάστημα [0,T_n]

.

Έστω $x_n \in [0,T_n]$ με f(x_n)=a

, τότε $x_n \to 0 \Rightarrow f(x_n) \to f(0) \Rightarrow a=f(0)$ , δηλαδή η συνάρτηση είναι σταθερή.

(β) Η συνάρτηση Dirichlet έχει κάθε θετικό ρητό ως περίοδο.

#8

peter έγραψε:5. (α) Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής περιοδική, μη σταθερή συνάρτηση. Δείξτε ότι η έχει ελάχιστη θετική περίοδο. (Λέμε τότε ότι η έχει θεμελιώδη περίοδο.)
(β) Δώστε παράδειγμα μη σταθερής, περιοδικής συνάρτησης χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο.

(α) Έστω

συνεχής περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη περίοδο. Τότε μπορούμε να βρούμε ακολουθία περιόδων $T_1>T_2 > T_3 > \cdots$ η οποία να τείνει στο 0. Για x > 0

ορίζουμε την ακολουθία $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots$ ως εξής: Αν έχουμε ορίσει το x_k

και έχουμε x_k < x

τότε παίρνουμε

ελάχιστο ώστε x_k + T_n < x

και ορίζουμε $x_{k+1} = x_k + T_n$ . Προφανώς η (x_n)

είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το

επομένως τείνει σε κάποιο όριο, έστω το $\ell$ . Ισχυρίζομαι ότι $\ell = x$ . Πράγματι αν $\ell < x$ παίρνουμε

ώστε $T_r < x - \ell$ . Αφού $x_n \to \ell$ θα πρέπει να υπάρχει αρκετά μεγάλο

ώστε $\ell - x_k < T_r$ . Αλλά τότε, αφού $x_k + T_r < \ell + T_r < x$ , εξ ορισμού έχουμε $x_{k+1} \geqslant x_k + T_r > \ell$ , άτοπο. Έχουμε τώρα f(x_k) = f(0)

για κάθε

και από την συνέχεια της

έχουμε

. Ομοίως αν x<0

επομένως η

είναι σταθερή.

(β) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των αρρήτων είναι μη σταθερή συνάρτηση και έχει κάθε ρητό αριθμό ως περίοδο.

Συγνώμη Σπύρο δεν πρόσεξα ότι ήδη απάντησες.

#9

peter έγραψε:5.
6. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Δείξτε ότι το σύνολο όλων των περιόδων της είναι πυκνό στο $\mathbb R$ .

Έστω

το σύνολο των θετικών περιόδων της

. Για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $a \in A$ με $0<a<\varepsilon$ .

Έστωσαν $x,y \in \mathbb{R}$ με y>x

. Θέτω $\varepsilon=y-x >0$ και $n=\left[\frac {x}{a}\right]+1$ , τότε

$na>x \wedge n \le \frac {x}{a}+1 \Rightarrow na \le x+a<x+\varepsilon=y$ και επειδή $na \in A$ , το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#10

peter έγραψε:
7. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Δείξτε ότι, είτε η είναι σταθερή ή ασυνεχής παντού.

Έστω

ένα σημείο στο οποίο η συνάρτηση είναι συνεχής και $x_0 \neq x_1$ .

Προηγουμένως αποδείξαμε ότι το σύνολο

των περιόδων της

είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ .

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το σύνολο $B=\{x_0+a/ a \in A\}$ είναι επίσης πυκνό στο $\mathbb{R}$ , άρα υπάρχει ακολουθία

περιόδων T_n

με $x_0+T_n \to x_1 \Rightarrow f(x_0+T_n) \to f(x_1) \Rightarrow f(x_0)=f(x_1)$ .

Άρα αν η συνάρτηση είναι συνεχής έστω και σε ένα σημείο, τότε είναι σταθερή, δηλαδή το ζητούμενο.

peter · #11

Πολύ ωραία, να ευχαριστήσω το Σπύρο και το Δημήτρη για τις λύσεις τους!

Να πω μερικά πράγματα και να συνεχίσουμε ακόμη λίγο αν θέλετε.

s.kap έγραψε: (α) Αν η δεν έχει ελάχιστη θετική περίοδο, τότε υπάρχει ακολουθία περιόδων της , η οποία τείνει στο 0.

Demetres έγραψε: (α) Έστω συνεχής περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη περίοδο. Τότε μπορούμε να βρούμε ακολουθία θετικών περιόδων $T_1>T_2>T_3\ldots$ η οποία να τείνει στο 0.

s.kap έγραψε: Έστω το σύνολο των θετικών περιόδων της . Για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $a \in A$ με $0<a<\varepsilon$ .

Σε όλες τις λύσεις γίνεται χρήση του ότι μια περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο έχει αυθαίρετα μικρές περιόδους. Αυτό είναι σωστό, αλλά όχι εντελώς άμεσο. Μάλλον να το πω καλύτερα δεν είναι η άρνηση του "έχει ελάχιστη θετική περίοδο". Να δούμε λοιπόν πως προκύπτει:

'Εστω $g:\mathbb R\to \mathbb R$ χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο $\mathcal{T}=\{T>0 : f(x+T)=f(x) \; \forall x\in \mathbb R\}$ δεν έχει minimum. Έχει όμως infimum - έστω $T=\inf {\cal T}$ . Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι T=0

. Αν όχι, τότε υπάρχει γνησίως φθίνουσα ακολουθία $(T_n)\subseteq {\cal T}$ ώστε $T_n\downarrow T$ . Άρα, υπάρχει $k\in \mathbb N$ ώστε $0<T_k-T_{k+1}<T$ . Τότε, ο αριθμός $\alpha=T_k-T_{k+1}$ ικανοποιεί $f(x+\alpha)=f(x)$ για κάθε $x\in \mathbb R$ και επιπλέον $0<\alpha<T$ , άτοπο.

Κάτι ακόμη γι' αυτή την κλάση των περιοδικών συναρτήσεων:

8. (Burstin) Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδική και Borel συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Τότε, η

είναι σταθερή σχεδόν παντού (ως προς το μέτρο Lebesgue).

9. Έστω $f, g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχείς, περιοδικές, μη σταθερές συναρτήσεις με θεμελιώδεις περιόδους T_1,T_2

αντίστοιχα. Αν $T_1/T_2\notin \mathbb Q$ , δείξτε ότι η f+g

δεν είναι περιοδική.

10. Δώστε παράδειγμα δυο περιοδικών συναρτήσεων f,g

με την ιδιότητα: για κάθε περίοδο

της

και για κάθε περίοδο

της

να ισχύει $T/S\notin \mathbb Q$ και η f+g

να είναι περιοδική.

#12

peter έγραψε:
9. Έστω $f, g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχείς, περιοδικές, μη σταθερές συναρτήσεις με θεμελιώδεις περιόδους αντίστοιχα. Αν $T_1/T_2\notin \mathbb Q$ , δείξτε ότι η δεν είναι περιοδική.

Και εγώ σε ευχαριστώ Πέτρο για τις ωραίες σου ασκήσεις

Λήμμα Αν η συνάρτηση

είναι φραγμένη και υπάρχει T>0

ώστε $f(x+T)-f(x)=c,\ \forall x \in \mathbb{R}$ , τότε η

είναι περιοδική με

περίοδο

και

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\frac {c}{T}x, x \in \mathbb{R}$ . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η

είναι περιοδική με περίοδο

, συνεπώς

$g(0)=g(nT)=f(nT)-cn, n \in \mathbb{N} \Rightarrow f(nT)=g(0)+cn$ και από το φραγμένο της

βρίσκουμε

και

, δηλαδή το ζητούμενο.

Ερχόμαστε τώρα στο πρόβλημα:

Υποθέτουμε ότι η f+g

είναι περιοδική, τότε και η h(x)=f(xT_1)+g(T_1x)

είναι επίσης περιοδική, με περίοδο ας πούμε

.

Έχουμε ότι $T_2=aT_1, a \notin \mathbb{Q}$ . Θεωρούμε τις συναρτήσεις $q(x)=f(T_1x), x \in \mathbb{R}$ και $p(x)=g(T_1x), x \in \mathbb{R}$ .

Έχουμε $q(x+T)+p(x+T)=q(x)+p(x) \Rightarrow q(x+T)-q(x)=p(x)-p(x+T)=F(x)$

Η συνάρτηση

είναι περιοδική με περίοδο 1, συνεπώς και η

έχει περίοδο 1.

Η συνάρτηση

είναι περιοδική με περίοδο

, συνεπώς και η

έχει περίοδο

.

Συνεπώς, από προηγούμενη άσκηση η

είναι σταθερή.

Έχουμε q(x+T)-q(x)=c

και επειδή η

είναι συνεχής και περιοδική, άρα φραγμένη, από το λήμμα προκύπτουν ότι

c=0

και ότι η

είναι περιοδική με περίοδο

. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει και για τη

.

Αν $T \in \mathbb{Q}$ , τότε η

έχει περιόδους

και

, άρα είναι σταθερή, άτοπο.

Αν $T \notin \mathbb{Q}$ , τότε η

έχει περιόδους

και

, άρα είναι σταθερή, άτοπο.

#13

peter έγραψε: Σε όλες τις λύσεις γίνεται χρήση του ότι μια περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο έχει αυθαίρετα μικρές περιόδους. Αυτό είναι σωστό, αλλά όχι εντελώς άμεσο.

Έχεις απόλυτο δίκιο. Μάλιστα είναι από τα λάθη που θα παραπονιόμουν αν το έκανε φοιτητής.

peter έγραψε: 10. Δώστε παράδειγμα δυο περιοδικών συναρτήσεων με την ιδιότητα: για κάθε περίοδο της και για κάθε περίοδο της να ισχύει $T/S\notin \mathbb Q$ και η να είναι περιοδική.

Βρήκα μια με αξίωμα επιλογής. Δεν έψαξα αν υπάρχει κάτι κατασκευαστικό.

Επεκτείνουμε το $\{1,\sqrt{2}\}$ σε μια βάση Hamel $\mathcal{B}$ του $\mathbb{R}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ . Ορίζουμε $f(1)=0,f(\sqrt{2})=\sqrt{2},g(1)=1,g(\sqrt{2}) = 0$ και f(x) = x = -g(x)

για $x \in \mathcal{B} \setminus \{1,\sqrt{2}\}$ και επεκτείνουμε γραμμικά στο $\mathbb{R}$ . Τότε οι f,g

είναι περιοδικές. Επιπλέον αν T > 0

είναι περίοδος της

τότε γράφοντας $T = \sum_{x \in \mathcal{B}} \lambda_x x$ με $\lambda_x = 0$ εκτός για πεπερασμένο αριθμό $x \in \mathcal{B}$ βλέπουμε ότι $0 = f(T) = \sum_{x \in \mathcal{B} \setminus\{1\}} \lambda_x x$ και άρα $\lambda_x = 0$ για $x \neq 1$ . Επομένως $T \in \mathbb{Q}$ . Ομοίως $S \in \sqrt{2} \mathbb{Q}$ αν

περίοδος της

και άρα $T/S \notin \mathbb{Q}$ .

Τέλος η f+g

είναι περιοδική. Π.χ. κάθε $x \in \mathcal{B} \setminus \{1,\sqrt{2}\}$ είναι περίοδος της f+g

.

#14

peter έγραψε: 10. Δώστε παράδειγμα δυο περιοδικών συναρτήσεων με την ιδιότητα: για κάθε περίοδο της και για κάθε περίοδο της να ισχύει $T/S\notin \mathbb Q$ και η να είναι περιοδική.

Αυτές δουλεύουν;

$A=\{m\sqrt{2}+n \pi/ m,n \in \mathbb{Z}\}$

$f(x)=\begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \notin A \end{cases}$

$g(x)=sinx, x \in \mathbb{R}$

Ξέχασα Πέτρο να πω πως σε αυτό:

Σε όλες τις λύσεις γίνεται χρήση του ότι μια περιοδική συνάρτηση χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο έχει αυθαίρετα μικρές περιόδους. Αυτό είναι σωστό, αλλά όχι εντελώς άμεσο. Μάλλον να το πω καλύτερα δεν είναι η άρνηση του "έχει ελάχιστη θετική περίοδο". Να δούμε λοιπόν πως προκύπτει:

'Εστω $g:\mathbb R\to \mathbb R$ χωρίς ελάχιστη θετική περίοδο. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο $\mathcal{T}=\{T>0 : f(x+T)=f(x) \; \forall x\in \mathbb R\}$ δεν έχει minimum. Έχει όμως infimum - έστω $T=\inf {\cal T}$ . Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι T=0

. Αν όχι, τότε υπάρχει γνησίως φθίνουσα ακολουθία $(T_n)\subseteq {\cal T}$ ώστε $T_n\downarrow T$ . Άρα, υπάρχει $k\in \mathbb N$ ώστε $0<T_k-T_{k+1}<T$ . Τότε, ο αριθμός $\alpha=T_k-T_{k+1}$ ικανοποιεί $f(x+\alpha)=f(x)$ για κάθε $x\in \mathbb R$ και επιπλέον $0<\alpha<T$ , άτοπο.

Έχεις απόλυτο δίκιο.

peter · #15

s.kap έγραψε: Αυτές δουλεύουν; $A=\{m\sqrt{2}+n \pi/ m,n \in \mathbb{Z}\}$ με $f(x)=\begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \notin A \end{cases}$ και $g(x)=sinx, x \in \mathbb{R}$ .

Νομίζω πως δε δουλεύει, διότι το $\pi$ είναι περίοδος της

και το $2\pi$ περίοδος της

.

Υπάρχει ένα κατασκευαστικό παράδειγμα που θυμίζει πολύ την ιδέα του Δημήτρη και οφείλεται στους Kudriasov και Meseriakov (1969).

Θεωρούμε $\alpha, \beta, \gamma\in \mathbb R$ με $\alpha/\beta \notin\mathbb Q$ και τέτοιους ώστε: Για κάθε $p,q,r\in \mathbb Q$ ισχύει η ισοδυναμία $p\alpha+q\beta +r\gamma=0 \Longleftrightarrow p=q=r=0$ . (Π.χ. $\alpha=1, \beta=\sqrt{2}, \gamma=\pi$ .) Έστω $A=\{p\alpha+q\beta+r\gamma : p,q,r\in \mathbb Q\}$ .

Ορίζουμε τις συναρτήσεις: $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -q-r-q^2+r^2, & x=p\alpha+q\beta+r\gamma\in A\\ 0, & x\notin A\end{array}\right.$ και $g(x)=\left\{\begin{array}{ll} p+r+p^2-r^2, & x=p\alpha+q\beta+r\gamma\in A\\ 0, & x\notin A \end{array}\right.$

Δείχνουμε ότι οι περίοδοι της

είναι ακριβώς $p\alpha, \, p\in\mathbb Q\setminus\{0\}$ και ομοίως για την

οι $q\beta , \, q\in \mathbb Q\setminus\{0\}$ . Καθώς, η f+g

είναι της ίδιας μορφής, με το συντελεστή του $\gamma$ να απουσιάζει από τον τύπο, έπεται ότι οι περίοδοί της είναι οι $r\gamma, \; r\in \mathbb Q\setminus\{0\}$ .

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε τον ισχυρισμό για την

: Έστω

περίοδος της

.

(α) Είναι $T\in A$ . Πράγματι, $f(\beta+T)=f(\beta)=-2\neq 0$ , άρα $\beta+T\in A$ κι επειδή $\beta\in A$ , έπεται ότι $T\in A$ .

(β) Γράφουμε $T=p\alpha+q\beta+r\gamma$ . Τότε, f(T)=f(0)=0

, δηλαδή

. Απ' αυτό βρίσκουμε (q+r)(r-q-1)=0

.

(γ) Είναι $r-q-1\neq 0$ . Αλλιώς, $T=p\alpha+q\beta +(q+1)\gamma$ . Tότε, $f(\gamma+T)=f(\gamma)=0$ . Δηλαδή, $-q-(q+2)-q^2+(q+2)^2=0\Rightarrow q=-1$ . Απ' την άλλη μεριά $f(\beta+T)=f(\beta)=-2$ δίνει q=0

κι έχουμε αντίφαση.

(δ) Είναι $T=p\alpha +q\beta-q\gamma$ . Θα δείξουμε ότι q=0

κι έχουμε τελειώσει. Πράγματι, η $f(\gamma+T)=f(\gamma)=0$ δίνει -2q=0

.

peter · #16

Νομίζω απομένει η 8.

11. Δίνεται τριώνυμο $q(x)=ax^2+bx+c, \; a\neq 0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν $f_1,f_2,f_3:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδικές συναρτήσεις ώστε q=f_1+f_2+f_3

. Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο;

12. Δείξτε ότι η συνάρτηση $x\mapsto e^x$ δε μπορεί να γραφεί ως πεπερασμένο άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων.

#17

peter έγραψε:
11. Δίνεται τριώνυμο $q(x)=ax^2+bx+c, \; a\neq 0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν $f_1,f_2,f_3:\mathbb R\to \mathbb R$ περιοδικές συναρτήσεις ώστε . Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο;

Με αξίωμα επιλογής

Κατ΄αρχάς θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση $p(x)=x, x \in \mathbb{R}$ γράφεται ως άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων.

Έστω d,e

δύο γραμμικώς ανεξάρτητα υπεράνω του $\mathbb{Q}$ στοιχεία του $\mathbb{R}$ ,

μία βάση Hamel που τα περιέχει και

$B{'}=B \setminus \{d\}$

Αν $x \in \mathbb{R}$ , τότε $\displaystyle{x=\lambda d+ \sum_{a_i \in B{'}}\lambda _i a_i / \lambda, \lambda_i \in \mathbb{Q}}$

Η συνάρτηση $r(x)=\lambda d, x \in \mathbb{R}$ είναι περιοδική με περίοδο

, η $\displaystyle{h(x)= \sum_{a_i \in B{'}}\lambda _i a_i}$

περιοδική με περίοδο

και

.

Έστω

τρία γραμμικώς ανεξάρτητα υπεράνω του $\mathbb{Q}$ στοιχεία του $\mathbb{R}$ ,

μία βάση Hamel που τα περιέχει και

$B{''}=B \setminus \{d,e\}$

Αν $x \in \mathbb{R}$ , τότε $\displaystyle{x=\lambda d+ k e+ \sum_{a_i \in B{''}}\lambda _i a_i/\lambda,k,\lambda_i \in \mathbb{Q}}$

Η συνάρτηση $t(x)=\lambda a, x \in \mathbb{R}$ είναι περιοδική με περίοδους e,f

,

η συνάρτηση $m(x)=kb, \ x \in \mathbb{R}$ είναι περιοδική με περιόδους d,f

και

η $\displaystyle{l(x)= \sum_{a_i \in B{''}}\lambda _i a_i}$ περιοδική με περίοδους d,e

Η

περιέχει όρους της μορφής t^2(x), l^2(x),m^2(x),t(x)l(x),m(x)l(x),t(x)m(x)

, οι οποίοι παρουσιάζουν περιοδικότητες

ή

Συνεπώς το q(x)

το γράφουμε ως άθροισμα των f_1,f_2,f_3

, οι οποίες είναι

f_1(x)

= το άθροισμα των όρων με περιοδικότητα

Και το πρόβλημα λύθηκε κατά το ήμισυ. Το άλλο ήμισυ θα το ψάξω...και αν βρω κάτι αργότερα.

#18

s.kap έγραψε: Και το πρόβλημα λύθηκε κατά το ήμισυ. Το άλλο ήμισυ θα το ψάξω...και αν βρω κάτι αργότερα.

Σπύρο, έκανες τα δύσκολα και άφησες τα εύκολα. Αν q(x) = f_1(x) + f_2(x)

όπου

περιοδικές με περιόδους T_1,T_2

, τότε

για κάθε

. Όμως $q(x + T_1 + T_2) - q(x+T_1) - q(x+T_2) + q(x) = \cdots = 2aT_1T_2 \neq 0$ .

Με το ίδιο σκεπτικό λύνεται και η

peter έγραψε: 12. Δείξτε ότι η συνάρτηση $x\mapsto e^x$ δε μπορεί να γραφεί ως πεπερασμένο άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων.

Αν μια συνάρτηση

είναι άθροισμα των περιοδικών συναρτήσεων $f_1,\ldots,f_k$ με περιόδους $T_1,\ldots,T_k$ τότε επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι

$\sum\limits_{I \subseteq \{1,2,\ldots,k\}} (-1)^{|I|}q(x + \sum_{i \in I}T_i) = 0$

για κάθε

. Όμως αν

τότε $\sum\limits_{I \subseteq \{1,2,\ldots,k\}} (-1)^{|I|}q(x + \sum_{i \in I}T_i) = (e^{T_1} - 1)(e^{T_2} - 1) = \cdots = (e^{T_k} - 1) \neq 0$ , άτοπο.

#19

Το δεύτερο είναι μάλλον εύκολο: Η απάντηση είναι αρνητική γιατί

Έστω πως $q(x)=f(x)+g(x), x \in \mathbb{R}$ , όπου οι f,g

έχουν περιόδους d,e

αντιστοίχως. Τότε

q(x+d+e)-q(x+d)-q(x+e)+q(x)

Αφ' ετέρου q(x+d+e)-q(x+d)-q(x+e)+q(x)=

(πράξεις...) =2ade

.

Άρα

, άτοπο.

Δημήτρη δεν είδα την ανάρτηση σου. Έχεις δίκιο, αλλά κουράστηκα. Βλέπεις δεν έχουμε και την ίδια ηλικία...

peter · #20

Καλησπέρα, να σας ευχαριστήσω για τη συμμετοχή και τις απαντήσεις σας.

Να πω λίγα λόγια και αν θέλετε να συζητήσουμε και κάτι τελευταίο. Το ερώτημα αν κάθε συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα δυο περιοδικών συναρτήσεων τέθηκε σε έναν ιταλικό μαθηματικό διαγωνισμό στην Cortona.

Η άσκηση 11 αναφέρεται ως θεώρημα των Mortola και Peirone (1999): Αν $n\in \mathbb N$ και πολυώνυμο βαθμού , τότε υπάρχουν περιοδικές συναρτήσεις $f_1,\ldots,f_{n+1}$ ώστε $p=f_1+\ldots +f_{n+1}$ . Επιπλέον, το δε μπορεί να γραφεί ως άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων.

Για το τελευταίο όπως πολύ σωστά παρατηρήσατε ισχύει το εξής: Αν θεωρήσουμε τον τελεστή της διαφοράς $\Delta_a:\mathbb R^{\mathbb R}\to \mathbb R^{\mathbb R}$ με $(\Delta_a f)(x)=f(x+a)-f(x), x\in \mathbb R$ , τότε η

είναι περιοδική με περίοδο

ανν $\Delta_af=0$ .

Γενικότερα, αν έχουμε περιοδικές συναρτήσεις $f_i,\; i=1,\ldots,k$ με περιόδους $a_i, \; i=1,\ldots,k$ αντιστοίχως, τότε η συνάρτηση $f=f_1+\ldots +f_k$ ικανοποιεί $\Delta_{a_1,\ldots,a_k}f=0$ , όπου $\Delta_{a_1,\ldots,a_k}=\Delta_{a_1}\circ\ldots \circ \Delta_{a_k}$ . Δηλαδή, αν μια συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα

περιοδικών συναρτήσεων με περιόδους a_i

, η παραπάνω συνθήκη είναι αναγκαία.

Με διαδοχικές εφαμογές του ΘΜΤ προκύπτει το ακόλουθο: Αν $f\in C^\infty$ και $f=f_1+\ldots+f_k$ τότε για κάθε υπάρχει $\xi\in (x,x+\sum_ia_i)$ ώστε $\Delta_{a_1,\ldots,a_k}f(x)=f^{(k)}(\xi)\prod_ia_i$ .

Xρησιμοποιώντας αυτό, σε συνδυασμό με την παραπάνω παρατήρηση, δείξατε ότι η εκθετική δε γράφεται ως πεπερασμένο άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων. (Ουσιαστικά αυτό είναι το επιχείρημα του Δημήτρη.)

Βέβαια στις παραπάνω διασπάσεις οι προσθετέοι δεν έχουν καλές αναλυτικές ιδιότητες (π.χ. συνέχεια). Αυτό φαίνεται αμέσως. Αν η διάσπαση ήταν συνεχής θα έπρεπε η συνάρτηση να είναι φραγμένη (αφού οι συνεχείς περιοδικές είναι φραγμένες) ενώ τα μη σταθερά πολυώνυμα δεν είναι.

Επομένως, ένα ερώτημα που προκύπτει είναι το εξής: Αν

συνεχής, φραγμένη τότε υπάρχουν περιοδικές, συνεχείς f_1,f_2

ώστε

;

Όπως παρατηρήσαμε, αν υπάρχει μια τέτοια γραφή και a_1,a_2

οι περιόδοι τους αντίστοιχα, τότε $\Delta_{a_1,a_2}f=0$ . Έτσι, φθάνουμε στο επόμενο θέμα:

13. Έστω $a_1,a_2\in \mathbb R$ με $a_1/a_2\notin \mathbb Q$ και $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής και φραγμένη με $\Delta_{a_1,a_2}f=0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν συνεχείς, περιοδικές συναρτήσεις f_1,f_2

με περιόδους a_1,a_2

αντιστοίχως ώστε f=f_1+f_2

.

Περιοδικές συναρτήσεις

Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Re: Περιοδικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση