ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση του πρώτου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Η δεύτερη δική μου λύση και τα υπόλοιπα ζητούμενα θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου (συμπληρωμένο), όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση 2 του πρώτου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Οι τρεις δικές μου αποδείξεις του δεύτερου ζητούμενού της θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διαστήμα.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση του πρώτου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Η δεύτερη δική μου λύση και τα υπόλοιπα ζητούμενα θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου (συμπληρωμένο), όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση 2 του πρώτου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Οι τρεις δικές μου αποδείξεις του δεύτερου ζητούμενού της θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διαστήμα.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου (συμπληρωμένο), όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τρεις αποδείξεις του δεύτερου ζητούμενου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή (πρώτο μέρος), δύο αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή (πρώτο μέρος), δύο αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κατασκευή Αρμονικού Τραπεζίου.
Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία αξιόλογη Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο Δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουνι μετά από εύλογο χρονικό διάστημα για την πρώτη και μετά από αρκετές ημέρες για τη δεύτερη, καθώς στο μεταξύ θέλω να σας αναγγείλω μια καταπληκτική επιτυχια .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Σε κύκλο θεωρούμε το ζεύγος σημείων , . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και έτσι ώστε ,
ή με άλλη διατύπωση:
Σε κύκλο να εγγραφεί αρμονικό τετράπλευρο του οποίου δίνεται η μία διαγώνιος και τέτοιο ώστε .


Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή (πρώτο μέρος), δύο αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κατασκευή Αρμονικού Τραπεζίου.
Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία αξιόλογη Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο Δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουνι μετά από εύλογο χρονικό διάστημα για την πρώτη και μετά από αρκετές ημέρες για τη δεύτερη, καθώς στο μεταξύ θέλω να σας αναγγείλω μια καταπληκτική επιτυχια .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Σε κύκλο θεωρούμε το ζεύγος σημείων , . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και έτσι ώστε ,
ή με άλλη διατύπωση:
Σε κύκλο να εγγραφεί αρμονικό τετράπλευρο του οποίου δίνεται η μία διαγώνιος και τέτοιο ώστε .


Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου. Η δεύτερη δική μου λύση θα ακολουθήσei μετά από μερικές ημέρες.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί μου φίλοι ,
επειδή είναι σωστό η αφιέρωση που έκανα στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου σε άλλη θέση, για την παραπάνω νέα μου Μέθοδο απόδειξης – λύσης Γεωμετρικών Προτάσεων και Προβλημάτων, να βρίσκεται και εδώ που είναι η φυσική της θέση, γι’ αυτό την αφιέρωση αυτή την αναρτώ παρακάτω:

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αισθάνομαι την ανάγκη, να αφιερώσω «τιμής ένεκεν», τη ΝΕΑ ΜΕΘΟΔΟ μου απόδειξης -λύσης Προτάσεων-Προβλημάτων Γεωμετρίας «ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΔΕΣΜΕΣ», την οποία έχω αναρτήσει ΕΔΩ, στον άριστο μαθηματικό μας, δάσκαλο και συγγραφέα, φίλο ΜΙΧΑΛΗ ΛΑΜΠΡΟΥ.
Αν και δεν τον έχω γνωρίσει από κοντά, στην ενέργειά μου αυτή, με υποχρέωσε η αγάπη του στα Μαθηματικά και ιδιαίτερα η αγάπη του και η προσφορά του στη Γεωμετρία (μεταξύ άλλων έχει μελετήσει και έχει γράψει μια εντυπωσιακή εργασία που αφορά στην Μέθοδο της «Εξόδου στον Χώρο»), η συνεισφορά του και η συμμετοχή του στην εργασία μου αυτή ΕΔΩ, η οποία έγινε αιτία να προκύψει η παραπάνω ΝΕΑ ΜΕΘΟΔΟΣ, το συγγραφικό του έργο, η μεγάλη δραστηριότητά του και προσφορά του στο mathematica, η ηθική του συμπαράσταση και εμψύχωσή στις διάφορες προσπάθειες μου, που παρουσιάζω στο φιλόξενο mathematica, κ.α.π.

Φίλε Μιχάλη,
επειδή είμαι σίγουρος ότι θα αποδεχθείς την παραπάνω αφιέρωσή μου, σου εύχομαι πρώτα από όλα να είσαι γερός, μεγάλες επιτυχίες και να συνεχίσεις να μας συμπαραστέκεσαι . Σε έχουμε ανάγκη.


Με μεγάλη εκτίμηση και αγάπη.
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Μια κομψή Γεωμετρική Κατασκευή, Ειδικής Αρμονικής Τετράδας Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω παρακάτω για λύση το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα . Πρόκειται για μία εύκολη και ωραία Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουν σταδιακά μετά από εύλογα χρονικά διαστήματα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων , (το μεταξύ των , και το εκτός τούτου και προς το μέρος του ), για το οποίο (ζεύγος) να είναι: (το δοσμένο τμήμα), ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί αρμονική τετράδα σημείων , , , , τέτοια ώστε .
Ακόμη, αν , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα, να υπολογισθεί το τμήμα συναρτήσει του και να δειχθεί ότι το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του περιγεγραμμένου κανονικού οκταγώνου στον κύκλο διαμέτρου .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή (πρώτο μέρος), δύο αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κατασκευή Αρμονικού Τραπεζίου.
Αξιόλογη Επέκταση της Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για λύση την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία αξιόλογη Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δύο Δικές μου λύσεις, θα ακολουθήσουνι μετά από εύλογο χρονικό διάστημα για την πρώτη και μετά από αρκετές ημέρες για τη δεύτερη, καθώς στο μεταξύ θέλω να σας αναγγείλω μια καταπληκτική επιτυχια .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Σε κύκλο θεωρούμε το ζεύγος σημείων , . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και έτσι ώστε ,
ή με άλλη διατύπωση:
Σε κύκλο να εγγραφεί αρμονικό τετράπλευρο του οποίου δίνεται η μία διαγώνιος και τέτοιο ώστε .


Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου (συμπληρωμένο), όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την δεύτερη απόδειξή μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΠΟΛΥ ΓΝΩΣΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετράπλευρου.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Κατασκευή που αφορά συνευθειακά σημεία.
Διαπίστωσα ότι η Κατασκευή αυτή μπορεί να γίνει και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά και όχι συνευθειακά.

Η γνωστή αυτή Κατασκευή είναι η ακόλουθη:
«Να χωρισθεί αρμονικά ευθύγραμμο τμήμα με εσωτερικό σημείο και εξωτερικό σημείο , σε λόγο (όπου δοσμένα τμήματα)».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Κατασκευή και για την περίπτωση που τα παραπάνω τέσσερα σημεία, δεν είναι συνευθειακά, αλλά ομοκυκλικά.
Για την Κατασκευή δε αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΠΟΛΥ ΓΝΩΣΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετράπλευρου.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Κατασκευή που αφορά συνευθειακά σημεία.
Διαπίστωσα ότι η Κατασκευή αυτή μπορεί να γίνει και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά και όχι συνευθειακά.

Η γνωστή αυτή Κατασκευή είναι η ακόλουθη:
«Να χωρισθεί αρμονικά ευθύγραμμο τμήμα με εσωτερικό σημείο και εξωτερικό σημείο , σε λόγο (όπου δοσμένα τμήματα)».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Κατασκευή και για την περίπτωση που τα παραπάνω τέσσερα σημεία, δεν είναι συνευθειακά, αλλά ομοκυκλικά.
Για την Κατασκευή δε αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετραπλεύρου.
Επέκταση της παραπάνω Πολύ Γνωστής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύουμε Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Σε κύκλο θεωρούμε το ζεύγος σημείων . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων , τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και σε μέρη που έχουν λόγο (όπου είναι δοθέντα τμήματα),
ή με δεύτερη διατύπωση:
Σε κύκλο να εγγραφεί αρμονικό τετράπλευρο του οποίου δίνονται οι κορυφές και του οποίου οι κορυφές , χωρίζουν αρμονικά τις κορυφές του και σε μέρη που έχουν λόγο .


Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΠΟΛΥ ΓΝΩΣΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετράπλευρου.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, είναι πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη η παρακάτω Κατασκευή που αφορά συνευθειακά σημεία.
Διαπίστωσα ότι η Κατασκευή αυτή μπορεί να γίνει και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά και όχι συνευθειακά.

Η γνωστή αυτή Κατασκευή είναι η ακόλουθη:
«Να χωρισθεί αρμονικά ευθύγραμμο τμήμα με εσωτερικό σημείο και εξωτερικό σημείο , σε λόγο (όπου δοσμένα τμήματα)».

Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν, να επεκτείνουν την παραπάνω Κατασκευή και για την περίπτωση που τα παραπάνω τέσσερα σημεία, δεν είναι συνευθειακά, αλλά ομοκυκλικά.
Για την Κατασκευή δε αυτή να μας δώσουν την διατύπωσή της και την λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετραπλεύρου.
Επέκταση της παραπάνω Πολύ Γνωστής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύουμε Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
. Σε κύκλο θεωρούμε το ζεύγος σημείων . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων , τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και σε μέρη που έχουν λόγο (όπου είναι δοθέντα τμήματα),
ή με δεύτερη διατύπωση:
Σε κύκλο να εγγραφεί αρμονικό τετράπλευρο του οποίου δίνονται οι κορυφές και του οποίου οι κορυφές , χωρίζουν αρμονικά τις κορυφές του και σε μέρη που έχουν λόγο .


Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω μία Κατασκευή για λύση, που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να λυθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους, σαν εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή.
Δική μου λύση, όσο μπορώ αναλυτικά και με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα. Μέχρι τότε περιμένω τις δικές σας λύσεις,κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωση της.

Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων (το μεταξύ των και το εκτός τούτων και προς το μέρος του ), για το οποίο (δεύτερο ζεύγος) να είναι: (τα ' δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί Αρμονική Τετράδα σημείων , τέτοια ώστε , .

Σχόλια.
(α). Η κατασκευή αυτή πιστεύω ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την έχω καταχωρίσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος , παράγραφος .
(β). Την παραπάνω Μέθοδο, ως γνωστό, έχω αφιέρωση «τιμής ένεκεν», στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω μία Κατασκευή για λύση, που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να λυθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους, σαν εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή.
Δική μου λύση, όσο μπορώ αναλυτικά και με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα. Μέχρι τότε περιμένω τις δικές σας λύσεις,κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωση της.

Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων (το μεταξύ των και το εκτός τούτων και προς το μέρος του ), για το οποίο (δεύτερο ζεύγος) να είναι: (τα ' δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί Αρμονική Τετράδα σημείων , τέτοια ώστε , .

Σχόλια.
(α). Η κατασκευή αυτή πιστεύω ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την έχω καταχωρίσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος , παράγραφος .
(β). Την παραπάνω Μέθοδο, ως γνωστό, έχω αφιέρωση «τιμής ένεκεν», στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω μία Κατασκευή για λύση, που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να λυθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους, σαν εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή.
Δική μου λύση, όσο μπορώ αναλυτικά και με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα. Μέχρι τότε περιμένω τις δικές σας λύσεις,κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωση της.

Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων (το μεταξύ των και το εκτός τούτων και προς το μέρος του ), για το οποίο (δεύτερο ζεύγος) να είναι: (τα ' δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί Αρμονική Τετράδα σημείων , τέτοια ώστε , .

Σχόλια.
(α). Η κατασκευή αυτή πιστεύω ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την έχω καταχωρίσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος , παράγραφος .
(β). Την παραπάνω Μέθοδο, ως γνωστό, έχω αφιέρωση «τιμής ένεκεν», στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!



Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
[/b]

ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω μία Κατασκευή για λύση, που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να λυθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους, σαν εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή.
Δική μου λύση, όσο μπορώ αναλυτικά και με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα. Μέχρι τότε περιμένω τις δικές σας λύσεις,κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωση της.

Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων (το μεταξύ των και το εκτός τούτων και προς το μέρος του ), για το οποίο (δεύτερο ζεύγος) να είναι: (τα ' δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί Αρμονική Τετράδα σημείων , τέτοια ώστε , .

Σχόλια.
(α). Η κατασκευή αυτή πιστεύω ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την έχω καταχωρίσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος , παράγραφος .
(β). Την παραπάνω Μέθοδο, ως γνωστό, έχω αφιέρωση «τιμής ένεκεν», στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετραπλεύρου.
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής , εκτός από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύουμε Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:

. Σε δοσμένο κύκλο ή θεωρούμε το ζεύγος σημείων . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και έτσι ώστε και (όπου δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Σε δοσμένο κύκλο ή να εγγραφεί τετράπλευρο , το οποίο να είναι αρμονικό και του οποίου δίνονται οι διαγώνιες , .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!



Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
[/b]

ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω μία Κατασκευή για λύση, που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να λυθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους, σαν εφαρμογή της παραπάνω Νέας Μεθόδου την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή.
Δική μου λύση, όσο μπορώ αναλυτικά και με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα. Μέχρι τότε περιμένω τις δικές σας λύσεις,κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωση της.

Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
. Ευθύγραμμο τμήμα να χωρισθεί αρμονικά από ζεύγος σημείων (το μεταξύ των και το εκτός τούτων και προς το μέρος του ), για το οποίο (δεύτερο ζεύγος) να είναι: (τα ' δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθεί Αρμονική Τετράδα σημείων , τέτοια ώστε , .

Σχόλια.
(α). Η κατασκευή αυτή πιστεύω ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την έχω καταχωρίσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος , παράγραφος .
(β). Την παραπάνω Μέθοδο, ως γνωστό, έχω αφιέρωση «τιμής ένεκεν», στο φίλο Μιχάλη Λάμπρου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Αξιόλογη Επέκταση Γεωμετρικής Κατασκευής από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Κατασκευή , αποδείξεις της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε κύκλο.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την παραπάνω επέκταση της Κατασκευής και για κύκλο και να μας δώσουν τη λύση της.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Σημαντική Κατασκευή Αρμονικού Τετραπλεύρου.
Επέκταση της παραπάνω Κατασκευής , εκτός από Ευθεία και σε Κύκλο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση της πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύουμε Κατασκευής , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. Πρόκειται για μία σημαντική Κατασκευή.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα .

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:

. Σε δοσμένο κύκλο ή θεωρούμε το ζεύγος σημείων . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί δεύτερο ζεύγος σημείων τα οποία να χωρίζουν αρμονικά τα σημεία και έτσι ώστε και (όπου δοσμένα τμήματα),
ή με άλλη διατύπωση:
Σε δοσμένο κύκλο ή να εγγραφεί τετράπλευρο , το οποίο να είναι αρμονικό και του οποίου δίνονται οι διαγώνιες , .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ!!!.
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ!!!

Aαγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σήμερα πανηγυρίζει η Γεωμετρία, μαζί και όλοι εμείς οι φίλοι της.
Φίλη μου, έχουμε τη χαρά να σας κάνουμε γνωστό ότι:
ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΗ, ΠΙΣΤΕΥΩ, ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, έχει γεννηθεί εδώ!!!
Πραγματικά, την νέα μέθοδο αυτή, αν και την έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ ενστικτωδώς και όχι συνειδητά συχνά, για την απόδειξη – λύση πολλών Προτάσεων και Προβλημάτων Γεωμετρίας, εν τούτοις μέχρι τώρα δεν το είχαμε προσέξει. Την εφαρμόζαμε ενστικτωδώς.
Τη νέα μέθοδο αυτή ονομάσαμε «ΜΕΘΟΔΟ ΔΙΑ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Η μέθοδος αυτή δίνει ένα ενιαίο τρόπο απόδειξης-λύσης μιας μεγάλης σειράς Προτάσεων -Προβλημάτων, συχνά δύσκολων, που αφορούν σημειοσειρές.
Με την μέθοδο αυτή χρησιμοποιούμε συμμετρικές κεντρικές δέσμες και προσπαθούμε να βρούμε, το κέντρο μίας συμμετρικής κεντρικής δέσμης ευθειών, με έξοδο από την ευθεία της σημειοσειράς σε επίπεδό της, κατά την αντιστοιχία: «Κάθε μία ακτίνα της δέσμης αυτής να περνά από ένα αντίστοιχο σημείο της σημειοσειράς».
Έτσι, με βάση τη δέσμη αυτή προκύπτει εύκολα και ενιαία η σχετική απόδειξη ή λύση.
Για μεγαλύτερη ευκολία, το παραπάνω κέντρο της δέσμης, προτιμάμε να είναι το σταθερό σημείο, κάθε φορά, από το οποίο φαίνονται με ορθές γωνίες τουλάχιστον δύο τμήματα, που ορίζονται από δύο ζεύγη σημείων της σημειοσειράς αυτής (Είναι γνωστό ότι το σημείο αυτό έχουμε ονομάσει «Ορθοοπτικό σημείο»).
Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά, αν μελετηθούν προσεκτικά, οι σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα.
Ακόμη, για την εμπέδωση της μεθόδου προτείνουμε στους φίλους να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τη νέα μέθοδο για την απόδειξη ή λύση σε σχετικές Προτάσεις και Προβλήματα, που θα ακολουθήσουν στο εξής.
Είναι φανερό ότι, αφού ο ενιαίος τρόπος αυτός εφαρμόζεται και δίνει αποδείξεις-λύσεις σε μεγάλη σειρά Προτάσεων και Προβλημάτων, θα αποτελεί πραγματικά μία «Ειδική Μέθοδο» για τη Γεωμετρία.
Επειδή μέχρι τώρα, για την μέθοδο αυτή, δεν έχουμε συναντήσει αλλού κάτι το σχετικό, πιστεύουμε ότι πρόκειται πραγματικά για νέα μέθοδο που πρωτοεμφανίζεται εδώ στο mathematica. Παρακαλούμε τους φίλους, αν κάτι σχετικό εντοπίσουν κάπου αλλού να μας το κάνουν γνωστό με τα πλήρη στοιχεία του.
Τη μέθοδο αυτή έχουμε εφαρμόσει και έχουμε αποδείξει ή λύσει μεγάλο αριθμό Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία έχουμε αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα ή θα αναρτήσουμε στη συνέχεια, αλλά και πολλά άλλα, που ενώ τα έχουμε γράψει, δεν προλαβαίνουμε δυστυχώς να τα στοιχειοθετήσουμε ηλεκτρονικά, για να τα αναρτήσουμε εδώ.
Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνεια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

*ΕΡΕΥΝΑ
Απόλαυση Ανακαλύψεις Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΝΕΥΤΩΝΑ.

2η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΜΕΘΟΔΟΥ, ΔΙΑ ΤΩΝ «ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΔΕΣΜΩΝ».
Εύκολη απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος, με την παραπάνω Μέθοδο.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
στα πλαίσια των όσων παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω την διατύπωση του Θεωρήματος (συνθήκης) του Νεύτωνα , που αφορά τετράδα αρμονικών σημείων, προκειμένου να αποδειχθεί από τους ενδιαφερόμενους φίλους.
Δική μου απόδειξη, όσο γίνεται πιο αναλυτικά και με εφαρμογή προφανώς της παραπάνω Μεθόδου, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Μέχρι τότε περιμένουμε τις δικές σας αποδείξεις, κατά προτίμηση με εφαρμογή της μεθόδου αυτής, την οποία έχουμε ανάρτηση παραπάνω στην εργασία αυτή, ώστε να επιτευχθεί και η εμπέδωσή της. Με την μέθοδο αυτή, όπως θα διαπιστωθεί παίρνουμε εύκολη και πολύ σαφή απόδειξη.

Το Θεώρημα αυτό έχει ως εξής:
. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να αποτελούν αρμονική τετράδα, τέσσερα συνευθειακά σημεία , είναι:
, .
, .
(όπου είναι τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα).

Σχόλιο.
Την παραπάνω απόδειξή μου , καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[vittasko]

ΘΕΩΡΗΜΑ NEWTON. - Δίνεται η Αρμονική σημειοσειρά και έστω το μέσον του τμήματος Αποδείξτε ότι και αντιστρόφως, αν ισχύει η τότε η σημειοσειρά είναι Αρμονική.

Απόδειξη. - Με διάμετρο το τμήμα γράφουμε τον κύκλο έστω και έστω τα σημεία τομής του από την δια του κάθετη ευθεία επί την ευθεία τησ δοσμένης σημειοσειράς.

Η ευθεία είναι η Πολική του σημείου ως προς τον κύκλο και οι ευθείες είναι εφαπτόμενες στον ίδιο κύκλο.

Άρα, στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει και το ευθύ του Θεωρήματος Newton έχει αποδειχθεί.

Για το αντίστροφο, όταν αληθεύει η , γράφουμε τον κύκλο έστω με διάμετρο το τμήμα όπου είναι το μέσον του , ο οποίος τέμνεται από την δια του κάθετη ευθεία επί την δοσμένη σημειοσειρά στα σημεία έστω

Στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει

Γράφουμε τον κύκλο έστω , με κέντρο το και ακτίνα ο οποίος τέμνει την ευθεία στα σημεία έστω και ας είναι το μεταξύ των

Από και

Από και

Από έχουμε το ότι η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου και άρα ισχύει

Αλλά, στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει επίσης

Από

Από και , στο ( ορθογώνιο ) τρίγωνο προκύπτει ότι οι ευθείες ταυτίζονται με την εσωτερική και εξωτερική διχότόμο αντιστοίχως, της γωνίας

Αυτό αρκεί, για να συμπεραίνεται ότι η δοσμένη σημειοσειρά είναι Αρμονική και το αντίστροφο του Θεωρήματος Newton έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

... Από και

Από το σημείο αυτό, η απόδειξη συντομεύεται ως εξής :

Από και προκύπτει ότι οι ευθείες είναι εφαπτόμενες του κύκλου και άρα, η ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η σημειοσειρά είναι Αρμονική και το αντίστροφο του Θεωρήματος Newton χει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[ΝΙΚΟΣ]

ΘΕΩΡΗΜΑ NEWTON. - Δίνεται η Αρμονική σημειοσειρά και έστω το μέσον του τμήματος Αποδείξτε ότι και αντιστρόφως, αν ισχύει η τότε η σημειοσειρά είναι Αρμονική.

Απόδειξη. - Με διάμετρο το τμήμα γράφουμε τον κύκλο έστω και έστω τα σημεία τομής του από την δια του κάθετη ευθεία επί την ευθεία τησ δοσμένης σημειοσειράς.

Η ευθεία είναι η Πολική του σημείου ως προς τον κύκλο και οι ευθείες είναι εφαπτόμενες στον ίδιο κύκλο.

Άρα, στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει και το ευθύ του Θεωρήματος Newton έχει αποδειχθεί.

Για το αντίστροφο, όταν αληθεύει η , γράφουμε τον κύκλο έστω με διάμετρο το τμήμα όπου είναι το μέσον του , ο οποίος τέμνεται από την δια του κάθετη ευθεία επί την δοσμένη σημειοσειρά στα σημεία έστω

Στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει

Γράφουμε τον κύκλο έστω , με κέντρο το και ακτίνα ο οποίος τέμνει την ευθεία στα σημεία έστω και ας είναι το μεταξύ των

Από και

Από και

Από έχουμε το ότι η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου και άρα ισχύει

Αλλά, στο ορθογώνιο τρίγωνο με ισχύει επίσης

Από

Από και , στο ( ορθογώνιο ) τρίγωνο προκύπτει ότι οι ευθείες ταυτίζονται με την εσωτερική και εξωτερική διχότόμο αντιστοίχως, της γωνίας

Αυτό αρκεί, για να συμπεραίνεται ότι η δοσμένη σημειοσειρά είναι Αρμονική και το αντίστροφο του Θεωρήματος Newton έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Κώστα Καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για την παραπάνω απόδειξή σου και την συμμετοχή σου στη νέα μου προσπάθεια.
Είναι φανερό ότι για να επιτύχεις την απόδειξή σου θα σε κούρασε αρκετά, ιδίως το αντίστροφό της.
Σου προτείνω να δοκιμάσεις, αν σου δοθεί η ευκαιρία και την παραπάνω Νέα μου Μέθοδο, με τις «Συμμετρικές Κεντρικές Δέσμες» (πιστεύω ότι θα σου χρειαστεί πολλές φορές και θα σε βγάλει από αδιέξοδα), καθώς αυτή για τις Προτάσεις ή Προβλήματα, που αφορούν στις σημειοσειρές, είναι ενιαία και δεν χρειάζεται κάθε φορά να βρεις νέα απόδειξη (είναι τυφλοσούρτης) και που πολλές φορές, όπως και εσύ θα έχεις διαπιστώσει, δεν υπάρχει άλλη (απόδειξη-λύση).
Αν δεν σου δοθεί η ευκαιρία, τουλάχιστον δες την δική μου απόδειξη που θα ακολουθήσει, με τη μέθοδο αυτή, για να διαπιστώσεις πόσο χρήσιμη είναι (η μέθοδος αυτή).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.