ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

#101

S.E.Louridas έγραψε:Για να καταλήγουμε σιγά-σιγά σε κάποια πράγματα, πάντα κατά την προσωπική μου άποψη:

♦ Για Διαγώνισμα ή Εξέταση με βαθμολογική «ανίχνευση» θα έδινα θέμα του τύπου:
Αποδείξτε την Αλήθεια της συνεπαγωγής

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 7} \right),\;\;\dot \eta } \\ {} \\ {\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 20,0} \right)\;\;\kappa .\tau .\lambda .} \\ \end{array}$

♦ Για συζήτηση στη τάξη για ευρύτερες κατανοήσεις θα αναφερόμουν σε «καταστάσεις» όπως αυτές που ακολουθούν:
Αποδείξτε την Αλήθεια της συνεπαγωγής
1) $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 7} \right),$ ή
2) Ισχύει η αλήθεια της συνεπαγωγής $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 20,0} \right);$
3) Ισχύει η αλήθεια της συνεπαγωγής
$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 8} \right);$

Πριν γράψω την άποψή μου για τα θέματα που συζητούνται θα παρακαλούσα για κάποιες διευκρινήσεις:

Σε ποιαν τάξη απευθύνεται το Διαγώνισμα με την παραπάνω διατύπωση και επίσης με μαθητές ποιας τάξης θα γίνει η συζήτηση;
Οι συμβολισμοί θα είναι όπως παραπάνω διατυπωμένοι;

Επίσης:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Το βιβλίο Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου στην σελίδα 114 έχει λυμένη την εξής άσκηση:
« Για τις διαστάσεις $\alpha$ και $\beta$ ενός ορθογωνίου ισχύουν: $4 \le \alpha \le 6$ και $2.5 \le \beta \le 4.5$ . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει: α) η περίμετρος του ορθογωνίου; β) το εμβαδόν του ορθογωνίου;».
Στη λύση εργάζεται όπως και εμείς παραπάνω ( με συνεπαγωγές) και για την περίμετρο $\Pi = 2\alpha + 2\beta$ βρίσκει ότι: $13 \le \Pi \le 21$ και για το εμβαδόν ${\rm E}$ βρίσκει ότι: $10 \le {\rm E} \le 27$ . Και μετά λέει, κατά λέξη:
« Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η περίμετρος του ορθογωνίου είναι από 13 έως και 21» και επίσης: «Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι από έως και ». Και αναρωτιέται κανένας, από πού προκύπτει ότι η περίμετρος μπορεί να πάρει για παράδειγμα την τιμή ; Με άλλα λόγια από πού προκύπτει ότι η περίμετρος παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left[ {13,21} \right]$ και το εμβαδόν παίρνει όλες τις τιμές διαστήματος $\left[ {10,27} \right]$ ; Προφανώς από πουθενά.

Θα ήθελα να δω διατυπωμένη την απόδειξη, με τις γνώσεις που έχουν τα παιδιά της Γ΄ Γυμνασίου, ότι η περίμετρος και το εμβαδό παίρνουν όλες τις τιμές των διαστημάτων που αναφέρονται παραπάνω.

Θα ήθελα τις γνώμες σας κατά πόσο έχει διδακτική αξία να θέτουμε τέτοια ερωτήματα σε αυτή τη στιγμή, όπου μόλις διδάσκονται οι πράξεις ομόστροφων ανισοτήτων και μάλιστα μεταξύ ανεξάρτητων μεταξύ τους μεταβλητών(*);

(*) Εννοώ ότι μέχρι την Α΄ Λυκείου δεν δίνουμε ασκήσεις πράξεων ανισοτήτων με εξαρτημένες μεταβλητές, ενώ αργότερα με κατάλληλα παραδείγματα όπως π.χ. οι πράξεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών, που αλληλοεξαρτώνται, θα εμβαθύνουμε στις έννοιες "ακροτάτων" και "φραγμάτων".

S.E.Louridas · #102

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Για να καταλήγουμε σιγά-σιγά σε κάποια πράγματα, πάντα κατά την προσωπική μου άποψη:

♦ Για Διαγώνισμα ή Εξέταση με βαθμολογική «ανίχνευση» θα έδινα θέμα του τύπου:
Αποδείξτε την Αλήθεια της συνεπαγωγής

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 7} \right),\;\;\dot \eta } \\ {} \\ {\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 20,0} \right)\;\;\kappa .\tau .\lambda .} \\ \end{array}$

♦ Για συζήτηση στη τάξη για ευρύτερες κατανοήσεις θα αναφερόμουν σε «καταστάσεις» όπως αυτές που ακολουθούν:
Αποδείξτε την Αλήθεια της συνεπαγωγής
1) $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 7} \right),$ ή
2) Ισχύει η αλήθεια της συνεπαγωγής $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 20,0} \right);$
3) Ισχύει η αλήθεια της συνεπαγωγής
$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\left( {1 < a < 2} \right)\left( { - 3 < b < - 2} \right) \Rightarrow \left( {ab - 5} \right) \in \left( { - 11, - 8} \right);$
Πριν γράψω την άποψή μου για τα θέματα που συζητούνται θα παρακαλούσα για κάποιες διευκρινήσεις:

Σε ποιαν τάξη απευθύνεται το Διαγώνισμα με την παραπάνω διατύπωση και επίσης με μαθητές ποιας τάξης θα γίνει η συζήτηση;
Οι συμβολισμοί θα είναι όπως παραπάνω διατυπωμένοι;

Γιώργο γειά σου,
θεωρώ ότι δεν έχω "σαλτάρει" τουλάχιστον ακόμα γιά να σκεφτώ ότι θα δινόταν ένα τέτοιο διαγώνισμα κάτω από αυτούς τους συμβολισμούς.
Απλά έδωσα το περίγραμμα με την ας πούμε προτροπή ο διδάσκων να το προσαρμόσει μεταφράζοντας το σε λεκτική κατανοητή απόδοση.
Το ΠΙΘΑΝΟ τέτοιο διαγώνισμα, με πλήρως κατανοητή λεκτική παρουσίαση και βέβαια με προηγηθείσα θεωρητική και μεθοδολογική κάλυψη, γιά Α΄Λυκείου.
Και πάντα αναφέροντας ότι δέχομαι τις όποιες επιφυλάξεις ακόμα και με τη διάθεση απόσυρσης των διδακτικών μου απόψεων, αν κριθεί αυτό αναγκαίο από
μάχιμους συναδέλφους που διδάσκουν στην Α' Λυκείου.
Πάντως είμαι περίεργος για το πώς θα διδαχτούν τα Μάθηματα της Λογικής και των Πιθανοτήτων στην Α' Λυκείου (όχι προφανώς από τους διδάσκοντες, αλλά με βάση τις οδηγίες πρός τούτο των "σοφών").

S.E.Louridas

#103

S.E.Louridas έγραψε: Γιώργο γειά σου,
θεωρώ ότι δεν έχω "σαλτάρει" τουλάχιστον ακόμα γιά να σκεφτώ ότι θα δινόταν ένα τέτοιο διαγώνισμα κάτω από αυτούς τους συμβολισμούς.
Απλά έδωσα το περίγραμμα με την ας πούμε προτροπή ο διδάσκων να το προσαρμόσει μεταφράζοντας το σε λεκτική κατανοητή απόδοση.
Το ΠΙΘΑΝΟ τέτοιο διαγώνισμα, με πλήρως κατανοητή λεκτική παρουσίαση και βέβαια με προηγηθείσα θεωρητική και μεθοδολογική κάλυψη, γιά Α΄Λυκείου.
Και πάντα αναφέροντας ότι δέχομαι τις όποιες επιφυλάξεις.

S.E.Louridas

Απλά "κοκκινίζοντας" τα παραπάνω κάνω το συνήγορο του διαβόλου και λέω το εξής:
"Μα αν το κάνω ως διδάσκων αυτό, θα βρω απεναντί μου τον Αντώνη Κυριακόπουλο!"
Παλαιότερα είχα αναφερθεί ξανά σε κάποια απλούστευση εννοιών και είχα πει, πως
προτιμάω μία εύστροφη απάντηση από το μαθητή μου, ακόμη και άν έχει μαθηματικό κενό.
(η κουβέντα μας ήταν αν θυμάμαι καλά για την απόδειξη εκ μέρους ενός μαθητή πως μία
ακολουθία είναι μονότονη και φραγμένη, επομένως συγκλίνει).
Προτιμάω μία απλούστευση δική μου (κι ας μην είναι αυστηρά μαθηματική, δεν πειράζει
υπάρχουν ευκαιρίες μετέπειτα για αυστηρή τεκμηρίωση) παρά να είμαι στριφνός και απόμακρος.
Βέβαια δε θα φτάσω ποτέ στο άλλο άκρο και να αφήσω τη διδασκαλία στον Κλούβιο και τη Σουβλίτσα.
Δάσκαλε Αντώνη, επιτρέψτε μου εδώ στο κομμάτι με τις ανισότητες και στα κακώς κείμενα που αναφέρεστε
πως είστε κομμάτι υπερβολικός. Ας καταλάβει ο μαθητής το φράγμα και παρακάτω θα μάθει να βρίσκει ένα
ακόμη καλύτερο φράγμα.
Καλό μεσημέρι με σεβασμό και εκτίμηση.
Χ.Κ

S.E.Louridas · #104

Θα ήθελα να επαναλάβω την προσωπική μου άποψη ζωής, ότι όλες μα όλες οι απόψεις είναι σεβαστές και εκ προοιμίου σημαντικές.

S.E.Louridas

#105

Σωτήρη, σε ευχαριστώ για την άμεση και κατατοπιστική απάντηση!

Θα προσπαθήσω σύντομα να δώσω κάποια σχετικά παραδείγματα και προσεγγίσεις, όπως νομίζω ότι πρέπει να (πρωτο)παρουσιάζονται οι έννοιες αυτές, στα πλαίσια του διαλόγου που άνοιξε εδώ.

Ασφαλώς και οι όποιες αντιρρήσεις, επιφυλάξεις, διαφωνίες, κριτικές καλό είναι να ακούγονται δίχως ενδοιασμούς από κάθε συνάδελφο!

Ομολογώ ότι οι διατυπώσεις σου μού ξύπνησαν αναμνήσεις από πολύ - πολύ παλιά...

(Στην Α΄Λυκείου διδασκόμασταν από το βιβλίο Μπούσγου - Βαβαλέτσκου, για όσους πρόλαβαν ή ξέρουν...)

#106

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους που μετέχουν στην συζήτηση. Χθες έβαλα σε δύο τμήματα της Γ Γυμνασίου, το εξής θέμα για συζήτηση στον πίνακα:

Αν a<1

, τί μπορούμε να πούμε για τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^{2}-1$ ;
Αφήνοντας τους μαθητές να πούνε την γνώμη τους, ακούστηκαν απίθανα πράγματα άλλα λάθος και άλλα σωστά. Έγινε πολύ γόνιμος διάλογος, που θα μου πάρει αρκετή ώρα να τον παρουσιάσω. Μέσα από τα λάθη που έκαναν σίγουρα ξεκαθάρισαν αρκετά πράγματα.
Προτείνω να δοθεί και από άλλους συναδέλφους στην Γ Γυμνασίου και την Α Λυκείου. Οι μαθητές θα αποκομίσουν πολλά.

(Φυσικά στην Γ Γυμνασίου δεν επεκτάθηκα σε λεπτομέρειες της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ, η οποία κάποτε διδασκόταν στην Α Λυκείου και μετέπειτα κακώς την απέσυραν)

Παρακάτω θα δώσω μια περιληπτική περιγραφή τού πως προσπάθησαν οι μαθητές να απαντήσουν στο θέμα.
Το πρώτο που ακούστηκε ήταν να υψώσουμε στο τετράγωνο. $a^{2}<1 \Rightarrow a^{2}-1<0$ Γρήγορα όμως κάποιοι μαθητές κατάλαβαν ότι αυτό είναι λάθος, αφού για παράδειγμα αν βάλλουμε a=-5

, δεν προκύπτει αυτό που βρήκαμε.

Το δεύτερο που ακούστηκε ήταν να πάρουμε περιπτώσεις για το

Εργάστηκαν ως εξής:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: a>0

. Τότε αφού $a<1 \Rightarrow a^{2}<1 \Rightarrow a^{2}-1<0$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: a<0

. Τότε $a^{2}>0$ και άρα $a^{2}-1>-1$ Άρα βγήκε το συμπέρασμα ότι η παράσταση παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές.

Εκεί που νόμιζαν ότι το θέμα έχει λυθεί, τους είπα να δούμε αν μπορεί η παράσταση να πάρει την τιμή

Προσπαθώντας να λύσουν την εξίσωση $a^{2}-1=-26$ κατάλαβαν ότι είναι αδύνατη και άρα η παράσταση δεν μπορεί να παρει κάθε πραγματική τιμή. Οπότε το ενδιαφέρον εντοπίστηκε στο που έκαναν κάτι "στραβό"

Με δική μου παρέμβαση, κατάλαβαν ότι κάτι έλειπε από την πρώτη περίπτωση.

Έτσι γράφοντας στην πρώτη περίπτωση αντί a<1

, το

οπότε $0<a^{2}<1 \Rightarrow -1<a^{2}-1<0$ βγάλαμε το συμπέρασμα ότι η δοσμένη παράσταση παίρνει κάθε τιμή που είναι μεγαλύτερη του

Τους ρώτησα αν μας ξέφυγε κάποια περίπτωση. Πράγματι βρήκαν ότι δεν είχαμε πάρει την περίπτωση a=0<1

, οπότε η διαπραγμάτευση του θέματος τελείωσε. Τελικά η δοσμένη παράσταση παίρνει τιμές από το

και πάνω (σμπεριλαμβανομένου και του

)

Αυτό το ΚΑΘΕ τιμή, εξηγήθηκε με παραδείγματα. Ζητήθηκε να μου πουν έναν οποιονδήποτε αριθμό

μεγαλύτερο ή ίσο του

και λύνοντας την εξίσωση $a^{2}-1=b$ , είδαμε ότι υπάρχει αριθμός

μικρότερος του

που να είναι λύση της εξίσωσης.
Ο χρόνος της μιας διδακτικής ώρας τελείωσε και δεν μπόρεσα να επεκταθώ έστω και λίγο στο τι αναφέρει η μαθηματική λογική για το αν είναι σωστό ή λάθος να λέγαμε ότι η δοσμένη παράσταση παίρνει τιμές στο π.χ στο

(πράγμα που μάλλον δεν πρέπει να αντιμετωπιστεί στην Γ Γυμνασίου αλλά στην Α Λυκείου)

#107

Δημήτρη,

φαντάζομαι ότι η διαπραγμάτευση θα έγινε στα πλαίσια του Κεφαλαίου 2.5 (Ανισότητες) της Γ΄ Γυμνασίου.

Πιστεύω ότι αν συνδυαστεί η παραπάνω διερεύνηση με τη μελέτη των Συναρτήσεων στο κεφάλαιο 4.2, το γράφημα της $y=x^{2}-1, x<1$ θα βοηθήσει τους μαθητές να αντιληφθούν και εποπτικά τις πράξεις που εφαρμόστηκαν για τον προσδιορισμό του πεδίου τιμών της παράστασης που τους έδωσες.

Επίσης με ένα πρόγραμμα Δυναμικής Γεωμετρίας, όπως το Geogebra, μπορείς να προεκτείνεις τις περιπτώσεις, κερδίζοντας σε χρόνο και σε ποιότητα και ακρίβεια απεικόνισης.

#108

Γεια σας

Κυρία Καλφοπούλου εδώ ήρθαμε για να χρησιμοποιήσω μια έκφραση που έλκει την καταγωγή της από τις παλιές κινηματογραφικές προβολές όπου μπορούσε κάποιος να μπει οποιαδήποτε στιγμή. Θυμίζω ότι το θέμα αυτό ξεκίνησε από τα
viewtopic.php?f=28&t=20830
viewtopic.php?f=69&t=20768

Εκεί είχε τεθεί χοντρικά το εξής ερώτημα:
Νομιμοποιείται ο καθηγητής να διδάξει κάτι χωρίς την "θεωρία" του;
Πριν δηλαδή παραθέσει όλες τις θεωρητικές πληροφορίες;
Επαναλαμβάνω την δική μου άποψη: Που και που ναι!
Η αντίθετη και κατά πως φάνηκε αρκετά δημοφιλής: Ποτέ!
Ποτέ για δυο λόγους: Για να μην αιφνιδιασθεί ο μαθητής αλλά, και ο σπουδαιότερος, για να μπορούμε να συγκεντρώσουμε όλες τις "σωστές" απαντήσεις. Διότι σύμφωνα με αυτή την άποψη ένα ερώτημα πρέπει να έχει μία μόνο σωστή απάντηση. Ενδιάμεσες απαντήσεις είναι αποριπτέες. Και οι ερωτήσεις που τις επιτρέπουν να εμφανισθούν το ίδιο.
Και μάλλον αυτό είναι ο λόγος που ασκήθηκε, όπως ασκήθηκε, η κριτική στην άσκηση-ερώτημα
« Αν $1 < \alpha < 2$ και $- 3 < \beta < - 2$ να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών παίρνει τιμές η παράσταση: ${\rm A} = \alpha \beta - 5$ »
Η ερώτηση αυτή μπορεί να προκαλέσει γόνιμη συζήτηση με τους μαθητές και οδηγεί σε διάφορες απαντήσεις που μπορούν να σχολιασθούν να αξιολογηθούν και να αναζητηθεί ένα κριτήριο βέλτιστης απάντησης. Αυτό γίνεται στα κανονικά Μαθηματικά και ευτυχώς έτσι δουλεύουν οι επαγγελματίες μαθηματικοί όταν έχουν να αντιμετωπίσουν κάτι που δεν ξέρουν. Δεν κοιτάνε κάποιον δάσκαλο που από ένα νεύμα του θα κριθεί αν έχουν δίκιο. Οι ατελείς απαντήσεις στα Μαθηματικά είναι αναπόφευκτες και είναι κομμάτι του παιγνιδιού.

Στην αντίπερα όχθη βρίσκονται τα Μαθηματικά της μίας και μόνης απάντησης, της άψογης διαδικασίας, της επιμελούς διερεύνησης, του ενός και μόνο ορισμού, αλλά των πολλών περιορισμών, τα "τακτοποιημένα" Μαθηματικά που ασφαλώς υπάρχουν στο μυαλό κάποιων αλλά δεν είναι τα Μαθηματικά των μαθηματικών. Τα κόβω να είναι τα Μαθηματικά των ορκωτών λογιστών. Και των πέριξ αυτών ορκισμένων. Πρόκειται για τα βαρετά Μαθηματικά όπως τα είχε αποκαλέσει κάποτε ο Λεωνίδας Θαρραλίδης. Δεν πρόκειται για αυστηρά Μαθηματικά (που έτσι και αλλιώς δεν υπάρχουν στο σχολείο). Πρόκειται για Μαθηματικά προσηλωμένα σε ένα σύστημα κανόνων εν πολλοίς αυθαιρέτων που πρέπει να τηρηθούν τελετουργικά. Παράγουν ασκήσεις αλλά σπάνια ιδέες. Αντικαθιστούν την φαντασία με την συμμόρφωση, την διανοητική περιπέτεια με τις προφυλάξεις. Δεν είναι βέβαια τα χειρότερα δυνατά Μαθηματικά που μπορεί να διδάξει κάποιος. Τα μη Μαθηματικά ορισμένων ουλεμάδων της Διδακτικής των Μαθηματικών που προκρίνουν μόνο διαδικασίες χωρίς περιεχόμενο είναι τρισχειρότερα. Αλλά το πρόβλημα δεν είναι πόσο κακά Μαθηματικά θέλουμε να κάνουμε αλλά πόσο καλά.
Θα επανέλθω γιατί θέλω να θίξω ένα ζήτημα θεολογικής υφής: Του ενός και μοναδικού ορισμού.
Μαυρογιάννης

#109

Θα ήθελα να προσθέσω, συμφωνώντας με τα γραφόμενα του Νίκου του Μαυρογιάννη, ότι το ερώτημα:
"Αν $\displaystyle 1<a<2$ και $\displaystyle -3<b<-2$ να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών παίρνει τιμές η παράσταση $\displaystyle{A=ab-5}$ "
είναι παιδαγωγικά "ωφελιμότερο" και μαθηματικά "δημιουργικότερο". Είναι φανερό πως ένα τέτοιο ερώτημα δραστηριοποιεί περισσότερα "εγκεφαλικά" στοιχεία. Έχει μια
μορφή "ανοιχτού" προβλήματος και για το λόγο αυτό απαιτεί πλουσιώτερη επεξεργασία από τον καθένα που το αντιμετωπίζει.
Ας δούμε μια άλλη ερώτηση:
"Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή την Α γωνία και με γνωστές τις δυο κάθετες υπολόγισε την υποτείνουσα" (1)
είναι μια κλειστή ερώτηση, ένα κλειστό πρόβλημα, μια συγκεκριμένη διαδρομή.
Ακόμα:
"Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ γνωρίζεις δύο πλευρές τότε βρες και την τρίτη" (2)
Στην περίπτωση αυτή "ανοίγει" λίγο ο ορίζοντας κι από ένα και μοναδικό μονοπάτι που είχες πριν τώρα βγαίνεις σε πλατείες και σε άλλους δρόμους.
Και τέλος:
" Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή την Α γωνία γνωρίζεις τις δυο κάθετες, τότε τί άλλο θα μπορούσες να υπολογίσεις και να παρατηρήσεις στο τρίγωνο αυτό;" (3)
Τα πράγματα στην ερώτηση αυτή πλέον έχουν ανοιχτεί στο πέλαγος. Πόσα θα μπορούσε να βρεί ο μαθητής και γενικά ο κάθε ασχολούμενος!

Ίσως κανείς να υποστηρίξει στην περίπτωση αυτή πως στο πρώτο πρόβλημα είναι εύκολη η αξιολόγηση, ενώ στα δύο επόμενα τα πράγματα δυσκολεύουν.
Ναι, έτσι είναι.
Έχω όμως την άποψη ότι το σπουδαιότερο σημείο ενός δασκάλου είναι να μπορεί να οδηγεί το νέο όχι σε κλειστές διαδρομές που ίσως είναι κι αδιέξοδες,
μονόχρωμες και πολλές φορές στείρες αλλά να του ανοίξει τα φτερά της δικιάς του δημιουργικής ικανότητας.
Είναι αυτό που λέει ο απλός κόσμος: να κάνει το νέο παιδί να μπορεί να πετάξει με τα δικά του φτερά.

Σε ό,τι αφορά την αξιολόγηση, αυτή είναι μια άλλη ιστορία, κι ίσως η καλύτερη να μην είναι αυτή που χρόνια τώρα βασανίζει το σχολείο. Ένας αριθμός, π.χ. ένα $\displaystyle{15}$ και τέρμα.
Πόσα λόγια θα μπορούσαν να αντικαταστήσουν αυτόν τον αριθμό! Πόσα θα μπορούσε να πεί εκείνος ο δάσκαλος που χέρι - χέρι βαδίζει καθημερινά με τον νέο
στα μονοπάτια όχι μόνον των μαθηματικών αλλά και γενικότερα της ζωής και της δράσης;
Τελειώνοντας πιστεύω, πως ανάλογα από το τί θέματα δίνει στους μαθητές ο καθένας σκιαγραφεί και τη δικιά του αντίληψη και κοσμοθεωρία.

Κώστας Δόρτσιος

Α.Κυριακόπουλος · #110

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Το βιβλίο Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου στην σελίδα 114 έχει λυμένη την εξής άσκηση:
« Για τις διαστάσεις $\alpha$ και $\beta$ ενός ορθογωνίου ισχύουν: $4 \le \alpha \le 6$ και $2.5 \le \beta \le 4.5$ . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει: α) η περίμετρος του ορθογωνίου; β) το εμβαδόν του ορθογωνίου;».
Στη λύση εργάζεται όπως και εμείς παραπάνω ( με συνεπαγωγές) και για την περίμετρο $\Pi = 2\alpha + 2\beta$ βρίσκει ότι: $13 \le \Pi \le 21$ και για το εμβαδόν ${\rm E}$ βρίσκει ότι: $10 \le {\rm E} \le 27$ . Και μετά λέει, κατά λέξη:
« Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η περίμετρος του ορθογωνίου είναι από 13 έως και 21» και επίσης: «Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι από έως και ». Και αναρωτιέται κανένας, από πού προκύπτει ότι η περίμετρος μπορεί να πάρει για παράδειγμα την τιμή ; Με άλλα λόγια από πού προκύπτει ότι η περίμετρος παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left[ {13,21} \right]$ και το εμβαδόν παίρνει όλες τις τιμές διαστήματος $\left[ {10,27} \right]$ ; Προφανώς από πουθενά.

Θα ήθελα να δω διατυπωμένη την απόδειξη, με τις γνώσεις που έχουν τα παιδιά της Γ΄ Γυμνασίου, ότι η περίμετρος και το εμβαδό παίρνουν όλες τις τιμές των διαστημάτων που αναφέρονται παραπάνω.

Αγαπητέ Γιώργο.
• Από που προκύπτει, από αυτά που γράφω, ότι ένας μαθητής της Γ΄ Γυμνασίου ( ή της Α΄ Λυκείου) με τις γνώσης που έχει, μπορεί να κάνει την απόδειξη που αναφέρεις; Μου δίνεις την εντύπωση ότι δεν κατάλαβες καλά αυτά που γράφω. Σε παρακαλώ πολύ διάβασε το μήνυμά μου προσεκτικότερα και θα διαπιστώσεις ότι με αυτά που γράφω θέλω να πω ότι οι ασκήσεις του τύπου αυτού στα σχολικά βιβλία, Γ΄ Γυμνασίου και Α΄ Λυκείου, δεν είναι σωστά διατυπωμένες, ούτε είναι σωστά λυμένες ( σε προηγούμενο μήνυμά μου γράφω πως πρέπει να είναι διατυπωμένες για τους μαθητές των τάξεων αυτών). Με αποτέλεσμα να περνάνε στους μαθητές λανθασμένα μηνύματα και να κάνουν τα μαθηματικά δυσκολότερα από ότι είναι.

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Θα ήθελα τις γνώμες σας κατά πόσο έχει διδακτική αξία να θέτουμε τέτοια ερωτήματα σε αυτή τη στιγμή, όπου μόλις διδάσκονται οι πράξεις ομόστροφων ανισοτήτων και μάλιστα μεταξύ ανεξάρτητων μεταξύ τους μεταβλητών(*);
(*) Εννοώ ότι μέχρι την Α΄ Λυκείου δεν δίνουμε ασκήσεις πράξεων ανισοτήτων με εξαρτημένες μεταβλητές, ενώ αργότερα με κατάλληλα παραδείγματα όπως π.χ. οι πράξεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών, που αλληλοεξαρτώνται, θα εμβαθύνουμε στις έννοιες "ακροτάτων" και "φραγμάτων".

• Όχι μόνο δεν πρέπει να θέτουμε τέτοια ερωτήματα στους μαθητές των τάξεων αυτών , αλλά και οι εκφωνήσεις και οι λύσεις των ασκήσεων πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να μην αφήνουν περιθώρια στους μαθητές για παρανοήσεις ούτε να τους δημιουργούν τέτοιες απορίες. Δυστυχώς όμως, έτσι όπως είναι διατυπωμένες, αυτό δεν ισχύει
φιλικά ..

chris_gatos έγραψε: Δάσκαλε Αντώνη, επιτρέψτε μου εδώ στο κομμάτι με τις ανισότητες και στα κακώς κείμενα που αναφέρεστε πως είστε κομμάτι υπερβολικός. Ας καταλάβει ο μαθητής το φράγμα και παρακάτω θα μάθει να βρίσκει ένα ακόμη καλύτερο φράγμα.
Καλό μεσημέρι με σεβασμό και εκτίμηση.
Χ.Κ

Αγαπητέ Χρήστο.
• Εγώ λέω κάτι ακόμα ποιο απλούστερο και μου κάνει εντύπωση πώς δεν το κατάλαβες. Όπως έγραψα και σε προηγούμενο μήνυμα μου, σε αυτή τη φάση ΄(Γ΄ Γυμνασίου και Α΄ λυκείου) , οι ασκήσεις πρέπει να είναι διατυπωμένες απλά και κατανοητά, για παράδειγμα, ως εξής:
«Αν 4.5 < x < 4.6

και

να αποδειχθεί ότι $48.34 < {x^2} + {y^2} < 50.32$ ».
Ούτε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της παραστάσεις: ${x^2} + {y^2}$ , ούτε να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση ${x^2} + {y^2}$ , ούτε να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών παίρνει τιμές η παράσταση: ${x^2} + {y^2}$ . Ούτε φράγματα, ούτε τίποτα. Το ζητούμενο σ' αυτή τη φάση είναι να μάθουν οι μαθητές τις ιδιότητες των ανισοτήτων. Δεν καταλαβαίνω λοιπόν γιατί λες ότι είμαι υπερβολικός.
• Στα μαθηματικά ερωτήσεις που δεν έχουν σαφείς απαντήσεις ή που δεν μπορούν να δικαιολογηθούν πλήρως οι απαντήσεις τους, προκαλούν σύγχυση στους μαθητές και δεν είναι κατάλληλες για γόνιμη συζήτηση. Όχι μόνο δεν είναι παιδαγωγικά ωφέλιμες, αλλά απογοητεύουν τους μαθητές και τους απομακρύνουν από τα μαθηματικά.
Φιλικά.

.

#111

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Αγαπητέ Χρήστο.
Δεν καταλαβαίνω λοιπόν γιατί λες ότι είμαι υπερβολικός.

Κύριε Αντώνη καλημέρα!
Λέγοντας υπερβολικός δεν έννοούσα την πρόταση σας για τη διόρθωση
της εκφώνησης της άσκησης αλλά την εξ'αρχής στηλίτευση του συγκεκριμένου θέματος.
Προς θεού δεν ακυρώνω επιστημονικά τα λεγομενά σας, αντιθέτως πάντα τα λαμβάνω υπ'όψη
μα απλά ήθελα να θίξω πως είμαστε σε μικρές σχετικά τάξεις για τόση μαθηματική αυστηρότητα.
Το εκάστοτε παιδί πιστεύω πως θα λάβει το νόημα και με τη μία εκφώνηση και με την άλλη.
Καλημέρα σε όλους και καλά μαθήματα.
Χ.Κ

S.E.Louridas · #112

Και επειδή το θέμα δεν προσφέρεται για να επιβάλλουμε τα εσώψυχα μας, είναι πολύ σοβαρό για κάτι τέτοιο, θα ήθελα να πάω για λίγο στο ευρύτερο δυνατό σύνολο που τα στοιχεία του είναι οι Άνθρωποι, με κύρια και βασικά χαρακτηριστικά, τις αισθήσεις, την ψυχή και τον νου, και βέβαια το D.N.A. τους. Ταυτόχρονα έχουμε και τις δυνατότητες που αναπτύσσονται συνεχώς, όπως η καρδιά που λειτουργεί συνεχώς νύχτα μέρα και δίνει ζωή και εννοούμε τις δυνατότητες όπως η διαίσθηση, η λογική, το συναίσθημα, η συνείδηση, η φαντασία. Είναι λοιπόν γεγονός ότι για την απόκτηση γνώσης στη διαδρομή από την πρώτη επαφή με τις αισθήσεις, έως την συνειδητοποίηση της, ώστε να αρχίζει να λειτουργεί σαν μηχανισμός επέκτασης προς την πρόοδο και την επιστήμη, χρειάζεται την « συλλειτουργία » των παραπάνω.
Αναφέρομαι π.χ. στην διαδρομή από την οπτική ας πούμε επαφή με 5 δένδρα, 5 ζώα, 5 πέτρες κ.τ.λ. έως την άποψη του Hege « αριθμός είναι μία κλάση κλάσεων ».
Αυτού του τύπου οι διαδρομές είναι ιστορικές επιστημονικές διαδρομές που ίσως σαν προδιάθεση να συνυπάρχουν στο D.N.A. μας και χωρίς να το αντιλαμβανόμεθα να μας εξαρτούν τελικά.
Το πρώτο λοιπόν που πρέπει να κάνει ο διδάσκων περί τα Μαθηματικά είναι να κάνει μία αναβίωση των δικών του δυσκολιών στις αντίστοιχες στιγμές στην διαδρομή του από το Δημοτικό έως τη τάξη που διδάσκει και μετά έως και το πιθανό το διδακτορικό του. Ταυτόχρονα θα πρέπει να λάβει υπ’ όψη και αντίστοιχες εμπειρίες και όσο το δυνατό άλλων συναδέλφων. Στη συνέχεια να έρθει στο σήμερα και να ενημερώνεται μέσα από συζητήσεις με συναδέλφους πάνω στις μαθησιακές δυσκολίες στο γνωστικό αντικείμενο των Μαθηματικών μας.
Το δεύτερο που πρέπει να κάνει διαχρονικά είναι να ενημερώνεται σε θέματα ψυχολογίας, παιδοψυχολογίας, επιστημονικά θέματα έρευνας λειτουργίας του νου, ως προς την διαδικασία της λήψης και της απόδοσης γνώσεων.
Και παλαιά γινόταν αυτό μέσα από τα Μαθήματα που διδάσκονταν στα ίδια τα σχολεία, Βιολογία, Φιλοσοφία, Λογοτεχνία, Λογική κ.τ.λ.
Θεωρώ ότι η πλειονότητα των συναδέλφων και σήμερα δρα έτσι, έχει άποψη.
Όμως αναλώνεται και μεγάλη ενέργεια στην διαπίστωση και ξανά διαπίστωση και ξανά και ξανά της κακής (πού δυστυχώς είναι γεγονός) από πλευράς πολιτείας διαχείρισης της γνώσης. Πέραν των άλλων οι παραπάνω ενημερώσεις θα έπρεπε να ήταν μέλημα της πολιτείας. Αφού όμως δεν το κάνει;
Συνεπώς η προσωπικότητα που έχουν οι διδάσκοντες θα πρέπει να τους οδηγεί σε υπερβάσεις κύρια διδακτικές.
Ναι να πάρουν τις πρωτοβουλίες και να διδάξουν βάζοντας την προσωπική τους σφραγίδα (προφανώς μη αλλάζοντας την ύλη που πρέπει να διδάξουν) για να περάσουν κατανοητά απλοποιώντας τις έννοιες στα Μαθηματικά πράγματα και κτίζοντας σιγά – σιγά, επαγωγικά το οικοδόμημα της Μαθηματικής γνώσης, απλά αλλά όχι "λαϊκίστικα", δίνοντας έμφαση στις τομές από Κεφάλαιο σε Κεφάλαιο, με τις έννοιες της αξιολόγησης και της αξιοκρατίας να είναι σε ψηλά επίπεδα και εκατέρωθεν.
Κατά την άποψη μου, στο θέμα της διδασκαλίας μίας Μαθηματικής έννοιας το μόνο προαπαιτούμενο είναι να γνωρίζουμε εμείς οι διδάσκοντες καλά την έννοια αυτή, ώστε να απομακρυνθεί ο κίνδυνος της αλλοίωσης κατά την διαδικασία της απλοποίησης.
Πάντα κατά την άποψη μου ο τρόπος του περάσματος από τον Διδάσκοντα στον Μαθητή θα πρέπει να έχει την σφραγίδα της Μαθηματικής και Διδακτικής προσωπικότητας του Διδάσκοντα, είναι δικό του θέμα. Είναι και πρέπει να είναι δική του υπόθεση για το πώς θα περάσει την γνώση, αφού βέβαια είναι ενημερωμένος πάνω στο διδακτικό και επιστημονικό περιβάλλον που ζεί και πού εγώ πιστεύω ότι η μεγάλη πλειονότητα των συναδέλφων το ψάχνει. Εκείνο που χρειάζεται η διδακτική κοινότητα είναι η διεύρυνση και όχι η συρρίκνωση, να υπάρχει μεταξύ μας και σε μεγάλο βαθμό αυτό που ονομάζεται “Αμοιβαία Εμπιστοσύνη” και βέβαια καλό θα είναι να παίρνουμε κυκλικά ο ένας από τον άλλο αλλά και σαν άτομα να μη διστάζουμε να δίνουμε αυτό που διαθέτουμε.
Δεν είναι δυνατό τέτοια εγχειρήματα να στερούνται συναισθήματος και τέχνης, γιατί αν αυτό συνέβαινε, προσωπικά πιστεύω οτι δεν θα έκαναν για τον Άνθρωπο και γιά τη προόδο και θα ήταν εργαλεία μόνο για ψυχρούς τεχνοκράτες του είδους, ενός είδους που θεωρώ ότι δεν μπορεί να είναι δεξαμενή από την οποία να μπορεί να αντληθεί επιστημονική σκέψη.

S.E.Louridas

Α.Κυριακόπουλος · #113

chris_gatos έγραψε: Κύριε Αντώνη καλημέρα!
Λέγοντας υπερβολικός δεν εννοούσα την πρόταση σας για τη διόρθωση
της εκφώνησης της άσκησης αλλά την εξ 'αρχής στηλίτευση του συγκεκριμένου θέματος.
Προς θεού δεν ακυρώνω επιστημονικά τα λεγόμενα σας, αντιθέτως πάντα τα λαμβάνω υπ' όψη μα απλά ήθελα να θίξω πως είμαστε σε μικρές σχετικά τάξεις για τόση μαθηματική αυστηρότητα.
Το εκάστοτε παιδί πιστεύω πως θα λάβει το νόημα και με τη μία εκφώνηση και με την άλλη.
Καλημέρα σε όλους και καλά μαθήματα.
Χ.Κ

Χρήστο, ακριβώς επειδή είμαστε σε μικρές τάξεις πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Προπαντός πρέπει να είμαστε απλοί σαφείς και κατανοητοί. Δεν πρέπει να αφήνουμε στους μαθητές και κυρίως στους μικρούς, περιθώρια για παρανοήσεις και στρέβλωση των μαθηματικών, γιατί τότε φυσικό είναι να μην τα καταλαβαίνουν, να τους φαίνονται δυσκολότερα από ότι είναι, με συνέπεια να τα απομακρύνουμε από τα μαθηματικά. Και η ευθύνη είναι ολόκληρη δική μας. Αυτά δεν νομίζω ότι είναι μαθηματική αυστηρότητα. Θα έλεγα ότι είναι υπευθυνότητα εκ μέρους της πολιτείας ( που εκδίδει τα βιβλία) και του δασκάλου.
• Θέλω να πω ακόμα ότι τα προβλήματα που από τη διατύπωσή τους δεν έχουν σαφείς απαντήσεις δεν λέγονται: « Ανοικτά προβλήματα». Λέγονται: « Λανθασμένα προβλήματα». Και ακόμα ότι δεν υπάρχουν δύο ειδών μαθηματικά. Αυτοί που ισχυρίζονται κάτι τέτοιο κάτι άλλο θέλουν να πουν ή μάλλον κάτι άλλο δεν θέλουν να πουν. Σχετικά με το θέμα αυτό σταματώ εδώ. Και δεν πρόκειται να επανέλθω. Δεν έχει νόημα.
Φιλικά.

#114

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Θέλω να πω ακόμα ότι τα προβλήματα που από τη διατύπωσή τους δεν έχουν σαφείς απαντήσεις δεν λέγονται: « Ανοικτά προβλήματα». Λέγονται: « Λανθασμένα προβλήματα». Και ακόμα ότι δεν υπάρχουν δύο ειδών μαθηματικά. Αυτοί που ισχυρίζονται κάτι τέτοιο κάτι άλλο θέλουν να πουν ή μάλλον κάτι άλλο δεν θέλουν να πουν. Σχετικά με το θέμα αυτό σταματώ εδώ. Και δεν πρόκειται να επανέλθω. Δεν έχει νόημα.
Φιλικά.

Δεν θυμάμαι ποιος και πως χρησιμοποίησε τον όρο "ανοικτά προβλήματα" στην συζήτηση μας, αλλά θα ήταν χρήσιμο να θυμηθούμε εδώ πως η Αγγλική γλώσσα κάνει διάκριση ανάμεσα σε "open problem" ("ανοικτό πρόβλημα") και "open-ended problem" (;"πρόβλημα ανοικτού ορίζοντα";): το πρώτο είναι πρόβλημα πολύ συγκεκριμένο που δεν γνωρίζουμε την λύση του, το δεύτερο είναι πρόβλημα που η διατύπωση του επηρεάζεται από την προσπάθεια λύσης ή μάλλον διερεύνησης του.

[Η απόδοση "πρόβλημα ανοικτού ορίζοντα" δική μου.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#115

Γιώργο καλημέρα.
Στο ερώτημά σου, ποιός έθεσε στο διάλογο αυτό το ζήτημα των "ανοιχτών προβλημάτων", δεν ξέρω αλλά εγώ χθες το βράδυ,
σε μια ανάρτηση λίγο πιο πάνω, έκανα μια μικρή αναφορά, ίσως όμως να έγινε και από κάποιον άλλο που δεν το γνωρίζω αυτή
τη στιγμή αν και παρακολουθώ όσο μπορώ το θέμα.
Ό όρος "ανοιχτό πρόβλημα" όπως φαίνεται κι από τα τρία παραδείγματα που ανάρτησα είναι καθιερωμένος και στη χώρα μας.
Μια σύντομη αναφορά γίνεται στο εγχειρίδιο του ΟΕΔΒ με τίτλο: "Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των μαθημάτων
στο Γυμνάσιο και το Λύκειο κατά το σχολικό έτος 2003-2004" Τεύχος Β'. Σελ. 21.(Αυτό βρήκα εύκολα στη βιβλιοθήκη μου)
Το εγχειρίδιο αυτό είναι έκδοση του Υπουργείου Παιδείας και μάλιστα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.
Η ανωτέρω σελίδα του εγχειριδίου αυτού γράφει μεταξύ άλλων:
"Από όσα έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα είναι φανερό ότι ένα μεγάλο μέρος της προσοχής μας εστιάζεται στην επίλυση προβλημάτων.
Όμως με τον όρο "πρόβλημα" δεν εννοούμε μόνον τα γνωστά προβλήματα των σχολικών βιβλίων αλλά και τα λεγόμενα "ανοικτά προβλήματα".
Γενικά, θα ονομάσουμε ανοικτό το πρόβλημα το πρόβλημα που μπορεί να ερμηνευτεί με πολλούς τρόπους και επομένως δέχεται διαφορετικές
λύσεις. Το γεγονός αυτό αναγκάζει το μαθητή να πάρει πρωτοβουλίες κατά τη διάρκεια τη επίλυσής του"
..............................
"Από την άλλη μεριά είναι σαφές ότι οι πιο πολλές ασκήσεις και τα προβλήματα των σχολικών βιβλίων είναι κλειστά. Όμως, το να δίνουμε
μερικές φορές, στους μαθητές μας ανοικτές δραστηριότητες αντί για ασκήσεις των δύο ή τριών λεπτών, είναι ένα βήμα προς τη μεταφορά
της υπευθυνότητας της διαδικασίας της μάθησης από το δάσκαλο στο μαθητή"

Αν θελήσει κανείς να διευρύνει το νόημα των ανοιχτών προβλημάτων μπορεί να δεί στο ξενόγλωσσο διαδίκτυο πολλά και χρήσιμα άρθρα.

Κύριε Αντώνη,
δεν ξέρω γιατί αυτά τα προβλήματα τα αποκαλείς "λανθασμένα προβλήματα". Υπάρχει κάπου καταγεγραμμένη μια τέτοια άποψη;
Και γιατί να μη συνεχιστεί έστω κι έτσι η κουβέντα στο θέμα αυτό, αφού έτσι κι αλλιώς μας ενδιαφέρει το "τι σημαίνει διδάσκω μαθηματικά".

Δεν είναι αλήθεια ότι η στείρα ασκησιολογία τύπου λύσης ενός "sudoku" δεν οδηγεί και πολύ μακριά την όλη ιστορία;

Δεν είναι αλήθεια ότι μια άσκηση κομμένη και ραμμένη από το δάσκαλο
σε μια σταδιακή επεξεργασία ερωτημάτων(μια μορφή δήθεν κατευθυνόμενης πρωτοβουλίας) παγιδεύει την πρωτοβουλία του μαθητή
και τον αναγκάζει, θέλει δε θέλει, να ακολουθήσει την προδιαγεγραμμένη στράτα;

Δεν είναι αλήθεια ότι κατά την νεαρή ηλικία των μαθητών μας εμφυτεύονται μια και καλή στάσεις και συμπεριφορές για όλη τους τη ζωή;

Μήπως δεν είναι αληθές ότι η πρωτοβουλία, ο πειραματισμός και γενικά η ελευθερία της σκέψης οδηγούν σε έναν
αυριανό πολίτη ενεργό και δραστήριο κι όχι σε έναν "φιλήσυχο" και ουδέτερο.(...ουκ απράγμονα αλλ' αχρείον νομίζομεν...Θουκυδίδης:Επιτάφιος του Περικλέους)

Κώστας Δόρτσιος

#116

Κώστα ευχαριστώ για την διευκρίνηση, καταλαβαίνω τώρα πως ο όρος "ανοικτό πρόβλημα" σημαίνει "open-ended problem" -- οπότε μας μένει το "άλυτο πρόβλημα" για το "open problem" (που, εδώ που τα λέμε, δεν νοείται στο σχολικό περιβάλλον).

Γιώργος Μπαλόγλου

#117

Σχετικό με το σκεπτικό του ανοικτού προβλήματος είναι και τούτο από παλιά ανάρτησή μου: Δραστηριότητα

Κώστας Δόρτσιος

#118

Αντιγράφω και μεταφράζω από τον πρόλογο του "How to Solve it" του Polya

Studying the methods of solving problems we perceive another face of mathematics. Yes, mathematics has two faces; it is the rigorous science of Euclid but it is also something else. Mathematics presented in the Euclidean ways appears as a systematic, deductive science; but mathematics in the making appears as an experimental, inductive science. Both aspects are as old as the science of mathematics itself. But the second aspect is new in one respect; mathematics "in statu nascendi," in the process of being invented, has never before been presented in quite this manner to the student or to the teacher, or to the general public.

Μετάφραση «Μελετώντας τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων αντιλαμβανόμαστε ένα άλλο πρόσωπο των μαθηματικών. Ναι, τα μαθηματικά έχουν δύο πρόσωπα. Είναι η αυστηρή επιστήμη του Ευκλείδη αλλά είναι και κάτι άλλο. Τα μαθηματικά, όταν παρουσιάζονται με τις Ευκλείδιες μεθόδους εμφανίζονται σαν μια συστηματική και συμπερασματική επιστήμη. Τα μαθηματικά στην κατασκευή όμως, εμφανίζονται σαν μια πειραματική και επαγωγική επιστήμη. Και οι δύο πτυχές είναι τόσο παλιές όσο και η ίδια η επιστήμη των μαθηματικών. Η δεύτερη όμως πτυχή είναι καινούργια σε σχέση με ένα σημείο. Τα μαθηματικά «in statu nascendi», στην διαδικασία δηλαδή κατά την οποία ανακαλύπτονται, δεν έχουν ποτέ πριν παρουσιαστεί κατ' αυτόν τον τρόπο στον μαθητή ή στον δάσκαλο ή στο ευρύ κοινό.»

S.E.Louridas · #119

Γιώργο, Κώστα, Δημήτρη
παρακολούθησα με πολύ ενδιαφέρον τις τοποθετήσεις σας και θα ήθελα να μου επιτρέψετε και την δική μου πάνω στην τεράστια πραγματικότητα Μαθηματικά και στην έννοια ανοικτό Μαθηματικό Πρόβλημα.
Θεωρώ ότι η Μαθηματική σκέψη είναι μία και είναι η σκέψη με βάση τη λογική διαδικασία που έχουμε στη διάθεση μας, ο χειρισμός της οποίας ξεκινά σε κάποιες φάσεις όταν θελήσουμε να ανταποκριθούμε σε ένα Μαθηματικό ερέθισμα, ενίοτε αφού έχει προηγηθεί ένα είδος «διαισθητικής αντίληψης» για αυτό.
Το θέμα είναι ότι οι επιστήμες ζητούν από τα Μαθηματικά και τα Μαθηματικά ζητούν από τον εαυτό τους για να μπορέσουν να ανταποκριθούν στο κάλεσμα να βοηθήσουν τις επιστήμες που ζητούν. Και αυτό έτσι ή αλλιώς είναι πλέον μία συνεχής κίνηση με αυξανόμενη συνεχώς ταχύτητα μη διακοπτόμενη και που δεν μπορεί κανείς να σταματήσει και αυτό ΠΙΘΑΝΟΝ να έχει και κατά σημεία κάποιο κόστος, αρέσει δεν αρέσει.
Κυρίαρχο μέχρι τώρα κριτήριο για το αν έγινε κατανοητό ένα θεωρητικό διδαγμένο περιβάλλον είναι η δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων που αναφέρονται στο περιβάλλον αυτό. Δηλαδή ο Μαθητής Α λύνει προβλήματα περισσότερα και καλλίτερα από τον μαθητή Β άρα έχει καλλίτερη αντίληψη της θεωρίας που χρησιμοποιείται από ότι ο μαθητής Β.
Άλλο αν οι τεχνοκράτες των εξετάσεων προσανατολίζουν τις εξετάσεις σε συγκεκριμένο στυλ προβλημάτων προς εξέταση (και μάλιστα για αρκετές χρονιές).
Εδώ κατά την άποψη μου συντελείται και το έγκλημα αφού έτσι η σκοπιμότητα αντικαθιστά την αναγκαιότητα.
Δεν έχει σημασία αν τα προς εξέταση προβλήματα στις ευρύτερες επίσημες εξετάσεις γίνουν πιο εύκολα, σημασία έχει να επιφυλάσσουν και κάποιες εκπλήξεις ή καινούριες ίδέες επίλυσης και σκέψεις που θα στρέψουν τους υποψήφιους και τους διδάσκοντες προς την πληρέστερη και ουσιαστική κάλυψη.
Προσωπικά ως επί σειρά ετών θεματολόγος των διαγωνισμών της Ε. Μ. Ε. το εφάρμοζα σε τακτά χρονικά διαστήματα, δηλαδή άλλαζα το στυλ των προβλημάτων και μάλιστα στις περισσότερες περιπτώσεις σε πιο εύκολα. Οι διαπιστώσεις σε αυτές τις αλλαγές ήταν ανεπανάληπτες, αλλά σίγουρα έτσι ή αλλιώς δημιουργούσαν την αίσθηση ότι το S.O.S. δεν αποτελούσε δεδομένο.
Τι σημασία έχει αν χαρακτηρίσουμε το άγνωστο για μας πρόβλημα που ξεκινάμε να λύσουμε σαν οτιδήποτε πρόβλημα; Κατά την άποψη μου κάθε πρόβλημα άγνωστο για τον λύτη που ξεκινά την διαδικασία επίλυσης του είναι ανοικτό. Πιθανόν μάλιστα να περιέχει και κάποιο λάθος σημείο που να το καθιστά μη επιλύσιμο και να χρειάζεται κάποιες διορθώσεις.
Η ανακάλυψη του πιθανού λάθους προβλήματος που δίνεται δεν χρειάζεται Μαθηματικές γνώσεις;
Η διαχείριση του λάθους, που γίνεται από έναν μαθητή ή φοιτητή, από τον διδάσκοντα δεν απαιτεί από αυτόν Μαθηματικές γνώσεις;
Ακόμα και η διαχείρηση των κατ’ αρχήν λαθεμένων σκέψεων που κάνει ένας λύτης κατά την διαδικασία επίλυσης ενός καινούργιου για αυτόν προβλήματος, ώστε να οδηγηθεί στην λύση του (αν τελικά οδηγηθεί) απαιτεί Μαθηματικές γνώσεις.
Εκτός και αν έχουμε περιπτώσεις σοφών λυτών που αμέσως επιλύουν ένα καινούργιο μαθηματικό, χωρίς να έχουν μπει στην διαδικασία να απορρίψουν πιθανό λάθος αρχικές σκέψεις τους, ώστε η απορρίψεις αυτές να ανοίξουν την οδό προς την λύση, όσο δύσκολο και αν είναι το πρόβλημα.
Προσωπικά, επιτρέψτε μου να επαναλάβω πως πιστεύω ότι κάθε καινούργιο πρόβλημα για ένα λύτη που κάθεται απέναντι του είναι για αυτόν ένα open problem.
Απλά κλείνοντας τη παρέμβαση μου αυτή , θα ήθελα να αναφέρω ότι από την διεθνή εμπειρία μου, έχω την αίσθηση ότι οι χαρακτηρισμοί Open problem και
research problem είναι επί της ουσίας γιά το ίδιο είδος προβλήματος.

Πάντα με στόχο τη δημιουργία διαλόγου

S.E.Louridas

kalfokat · #120

Χρόνια πολλά στους συμμετέχοντες!

Ευχές και σε όσους απαντούν, αλλά και σε όσους απλώς διαβάζουν τα τόσο ενδιαφέροντα σχόλια που γράφονται εδώ.
Ομολογώ πως δεν φανταζόμουν ποτέ ότι θα προκαλέσει μια τόσο χρήσιμη και εποικοδομητική κουβέντα η ασκησούλα που επινόησα, για να δείξω στους μαθητές μου ότι το πρόσημο πλην μπροστά από ένα γράμμα δεν δηλώνει κατ' ανάγκην αρνητικό αριθμό! Ήταν μια άσκηση της στιγμής σαν κι αυτές που συχνά "επινοώ" και τις αποκαλώ "ασκήσεις της ώρας", κατά το "ψητά της ώρας", για να εστιάσουμε, όλοι μαζί μέσα στην τάξη και όχι σε τεστ ή διαγώνισμα, την προσοχή μας σε ένα συγκεκριμένο σημείο, το οποίο δημιουργεί προβλήματα κατανόησης. Άλλοτε πετυχαίνει περισσότερο η μέθοδος και άλλοτε λιγότερο..
Αυτό που αναμφιβόλως πετυχαίνει όμως μια τέτοια διαδικασία είναι να καλλιεργεί την εντύπωση στους μαθητές πως έχουν το δικαίωμα του λόγου, του προβληματισμού και του .. πειραματισμού ακόμη και στα μαθηματικά! Ή πιο σωστά κυρίως στα μαθηματικά. Αν κάποιοι τολμηροί δεν πειραματίζονταν στα μαθηματικά, ακόμη θα χαράζαμε τη σφήνα και το καρφί.. ή περίπου.

Θα έλεγα για τα constructing "open ended problems", αλλά αναφέρθηκαν προηγουμένως από τον κο Δόρτσιο και τον κο Μπαλόγλου οι οποίοι με κάλυψαν πλήρως.
Θα πω μόνο πως ως μαθήτρια και ως φοιτήτρια είχα την ατυχία να μελετώ αποκλειστικά και μόνο προβλήματα κλειστού τύπου, όπως και πολλοί άλλοι συνάδελφοί μου. Ως φροντίστρια στη συνέχεια, επί σειρά ετών, δίδασκα επίσης μόνο τέτοιου είδους προβλήματα, προετοιμάζοντας τους μαθητές μου για τις εξετάσεις, κυρίως πανελλαδικές, οπότε τώρα, επιτέλους, έχω την ευκαιρία να απολαμβάνω μαζί με τους μαθητές μου ασκήσεις με περισσότερες από μια 'σωστές' απαντήσεις!
Αυτό βέβαια συμβαίνει μόνο στην Α' Λυκείου, γιατί η Β' είναι μια 'πονεμένη ιστορία', το έχουμε ξανασυζητήσει, και η Γ', είτε εντός είτε εκτός σχολείου, παραμένει προσηλωμένη στις Παννελαδικές..

Αν δεν υπήρχαν οι ασκήσεις με τις περισσότερες από μια σωστές απαντήσεις δεν θα είχε αναπτυχθεί ο κλάδος των στοχαστικών μαθηματικών και κανείς δεν θα αναζητούσε τις βέλτιστες απαντήσεις.. Ευτυχώς όμως κάποιοι εκεί έξω τις αναζητούν και ίσως τα καταφέρουν να τις βρουν και να βγούμε από το αδιέξοδο στο οποίο έχουμε από κάθε άποψη, ως κοινωνία, περιέλθει.

Ευχές για ελπίδα και αντοχές.

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μέλη σε σύνδεση