Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

hlkampel · #101

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 98

Έστω ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega = \{ 1,2,...,\nu \} }$ που οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα .

Αν $\displaystyle{\nu }$ είναι η μέση βαθμολογία ενος μαθητή στα $\displaystyle{5}$ μαθήματα, στα οποία οι βαθμοί ήταν $\displaystyle{12,10,16,18,14}$ και οι συντελεστές βαρύτητας $\displaystyle{2,3,1,1,3}$ αντίστοιχα.

Α. Να βρείτε το $\displaystyle{{\rm N}(\Omega )}$

Β. Έστω τα ενδεχόμενα $\displaystyle{{\rm A} = \{ \alpha \in \Omega ,\alpha \ \alpha \rho \tau \iota o\varsigma }\}$

και $\displaystyle{{\rm B} = \{ \alpha \in \Omega ,\begin{array}{*{20}c} {\kappa \alpha \dot \iota } & \alpha & {\rho \dot \iota \zeta \alpha } & {\begin{array}{*{20}c} {\tau \eta \varsigma } & {x^3 - 5x^2 + 4x = 0\} } \\ \end{array}} \\ \end{array}}$

i.Να βρεθούν $\displaystyle{P(A)}$ και $\displaystyle{P(B)}$

ii.Να βρεθούν τα ενδεχόμενα $\displaystyle{A \cup B,A \cap B}$ καθώς και οι πιθανότητες αυτών.

Α. Ο Σταθμικός μέσος των

μαθημάτων είναι:

$\bar x = \frac{{12 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + 16 \cdot 1 + 18 \cdot 1 + 14 \cdot 3}}{{2 + 3 + 1 + 1 + 3}} = \frac{{130}}{{10}} = 13$

Άρα v = 13

οπότε $\Omega = \left\{ {1,2,3,...,13} \right\}$ και ${N\left( \Omega \right)}} =13$

Β. i. Είναι $A = \left\{ {2,4,6,8,10,12} \right\}$ και $P\left( A \right) = \frac{{N\left( A \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{13}}$

${x^3} - 5{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

Άρα x = 1

ή

ή $x = 0 \notin \Omega$

Έτσι $B = \left\{ {1,4} \right\}$ και $P\left( A \right) = \frac{{N\left( A \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{13}}$

ii. Είναι $A \cup B = \left\{ {1,2,4,6,8,10,12} \right\}$ και $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{N\left( {A \cup B} \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{13}}$

$A \cap B = \left\{ 4 \right\}$ και $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{N\left( {A \cap B} \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{13}}$

Πρόταση: Αφού πλησιάζουμε τις 100 ασκήσεις, προτείνω την 100η άσκηση να την προτείνει "Τιμής ένεκεν" ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ που ξεκίνησε το topic και έγινε μια χρήσιμη, πιστεύω, για όλους συλλογή.

Γιώργος Απόκης · #102

ΑΣΚΗΣΗ 99η

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\Omega=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ και οι πιθανότητες $\displaystyle{P(k)=\frac{2|k|-k}{100},~k\in \Omega,~k\ne 0}$ .

α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του $\Omega$ .

β. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου

: " H εξίσωση x^2-4kx+12=0

έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες"

γ. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου

: " H συνάρτηση f(x)=3x^4-6x^2+k

παρουσιάζει ακρότατο στο x_0=k

"

δ. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων $A\cap B,~A\cup B$ .

hlkampel · #103

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 99η

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\Omega=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ και οι πιθανότητες $\displaystyle{P(k)=\frac{2|k|-k}{100},~k\in \Omega,~k\ne 0}$ .

α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του $\Omega$ .

β. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου : " H εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες"

γ. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου : " H συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο "

δ. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων $A\cap B,~A\cup B$ .

α.

Αν

, τότε $P\left( k \right) = \frac{{ - 3k}}{{100}}$

Αν k > 0

, τότε $P\left( k \right) = \frac{k}{{100}}$

Έτσι: $P\left( { - 3} \right) = \frac{9}{{100}}$ , $P\left( { - 2} \right) = \frac{6}{{100}}$ , $P\left( { - 1} \right) = \frac{3}{{100}}$

$P\left( 1 \right) = \frac{1}{{100}}$ , $P\left( 2 \right) = \frac{2}{{100}}$ και $\displaystyle{P\left( 3 \right) = \frac{3}{{100}}}$

$P\left( { - 3} \right) + P\left( { - 2} \right) + P\left( { - 1} \right) + P\left( 0 \right) + P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) = 1 \Rightarrow$

$P(0) = 1 - \frac{9}{{100}} - \frac{6}{{100}} - \frac{3}{{100}} - \frac{1}{{100}} - \frac{2}{{100}} - \frac{3}{{100}} \Rightarrow$

$P(0) = \frac{{76}}{{100}}$

β. Για να έχει η εξίσωση ${x^2} - 4kx + 12 = 0$ δύο άνισες πραγματικές ρίζες, πρέπει

$\Delta > 0 \Leftrightarrow 16{k^2} - 48 > 0 \Leftrightarrow {k^2} > 3 \Leftrightarrow k < - \sqrt 3 \quad \dot \eta \quad k > \sqrt 3$

Επειδή $k \in \Omega$ θα είναι $A = \left\{ { - 3, - 2,2,3} \right\}$ , οπότε:

$P\left( A \right) = P\left( { - 3} \right) + P\left( { - 2} \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) \Rightarrow$

$P(A) = \frac{9}{{100}} + \frac{6}{{100}} + \frac{2}{{100}} + \frac{3}{{100}} \Rightarrow$

$P(A) = \frac{{20}}{{100}}$

γ. $f\left( x \right) = 3{x^4} - 6{x^2} + k$ , $x \in R$

$f'\left( x \right) = 12{x^3} - 12x$

Αν η

παρουσιάζει ακρότατο στο ${x_0} = k$ θα ισχύει:

$f'\left( k \right) = 0 \Rightarrow 12{k^3} - 12k = 0 \Leftrightarrow k\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right) = 0 \Rightarrow$

k = 0

ή

Εύκολα διαπιστώνουμε, με τη βοήθεια της μονοτονίας, ότι η

παρουσιάζει ακρότατο για τις τιμές αυτές.

Έτσι $B = \left\{ { - 1,0,1} \right\}$

$\displaystyle{P\left( B \right) = P\left( { - 1} \right) + P\left( 0 \right) + P\left( 1 \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{P\left( B \right) = \frac{3}{{100}} + \frac{6}{{100}} + \frac{{76}}{{100}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{P\left( B \right) = \frac{{85}}{{100}}}$

δ. $A \cap B = \emptyset$ , οπότε $P\left( {A \cap B} \right) = 0$

$A \cup B = \Omega$ , οπότε $P\left( {A \cup B} \right) = 1$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #104

ΑΣΚΗΣΗ 100η

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega = \{ 1,2,3,4,5\} }$ .

Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του $\displaystyle{\Omega }$ ισχύει οτι $\displaystyle{{\rm P}(\kappa ) = \alpha \kappa + \beta ,\kappa \in \Omega }$

Θεωρούμε επίσης το ενδεχόμενο $\displaystyle{ {\rm A} = \{ \kappa \in \Omega /\begin{array}{*{20}c} {o\iota } & {\pi \alpha \rho \alpha \tau \eta \rho \dot \eta \sigma \varepsilon \iota \varsigma } & {1,2,\kappa ,2\kappa + 4,2\kappa + 3} & {\begin{array}{*{20}c} {\dot\varepsilon \chi o\upsilon \nu } & {CV < \frac{{\sqrt {14} }}{5}} \\ \end{array}} \\ \end{array}\} }$ για το οποίο ισχύει $\displaystyle{{\rm P}({\rm A}) = \frac{3}{{10}}}$

Α.Να βρεθούν τα $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

Β. Θεωρούμε το ενδεχόμενο $\displaystyle{ B = \{ \kappa \in \Omega /\begin{array}{*{20}c} {\tau o} & {\varepsilon \lambda\dot \alpha \chi \iota \sigma \tau o} & {\tau \eta \varsigma } & {f(x) = x^2 - 2\ln x + \kappa ^2 - 5\kappa \begin{array}{*{20}c} {\varepsilon \iota \nu \alpha \iota } & {\mu \varepsilon \gamma \alpha \lambda \dot \upsilon \tau \varepsilon \rho o\begin{array}{*{20}c} {} & {\begin{array}{*{20}c} {\tau o\upsilon } & { - 5\} } \\ \end{array}} \\ \end{array}} \\ \end{array}} \\ \end{array} }$

ι.Να βρείτε την πιθανότητα $\displaystyle{{\rm P}({\rm B})}$

Ιι.Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{g(x) = P((A - B) \cup (B - A))x^3 + \frac{{x^2 }}{{P(A \cup B')}} - 7x + 1 }$ που σχηματίζουν με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ γωνία $\displaystyle{135^0 }$

hlkampel · #105

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 100η

Α. $\displaystyle{P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) + P\left( 4 \right) + P\left( 5 \right) = 1 \Rightarrow }$

$\alpha + \beta + 2\alpha + \beta + 3\alpha + \beta + 4\alpha + \beta + 5\alpha + \beta = 1 \Rightarrow$

$15\alpha + 5\beta = 1 \Rightarrow 3\alpha + \beta = 0,2$ (1)

Η μέση τιμή των παρατηρήσεων $1,\;2,\;\kappa ,\;2\kappa + 4,\;2\kappa + 3$ είναι:

$\bar x = \frac{{1 + 2 + \kappa + 2\kappa + 4 + 2\kappa + 3}}{5} \Rightarrow \bar x = \kappa + 2$

Η διακύμανση τους είναι:

${s^2} = \frac{{{{\left( {1 - \kappa - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - \kappa - 2} \right)}^2} + {{\left( {2\kappa + 4 - \kappa - 2} \right)}^2} + {{\left( {\kappa - \kappa - 2} \right)}^2} + {{\left( {2\kappa + 3 - \kappa - 2} \right)}^2}}}{5} \Rightarrow\displaystyle{{s^2} = \frac{{4{\kappa ^2} + 8\kappa + 10}}{5}$

Ο συντελεστής μεταβολής τους είναι: $CV = \frac{s}{{\bar x}} \Rightarrow CV = \frac{{\sqrt {4{\kappa ^2} + 8\kappa + 10} }}{{\sqrt 5 \left( {\kappa + 2} \right)}}$

$CV < \frac{{\sqrt {14} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{\kappa ^2} + 8\kappa + 10} }}{{\sqrt 5 \left( {\kappa + 2} \right)}} < \frac{{\sqrt {14} }}{5} \Leftrightarrow$

$\frac{{4{\kappa ^2} + 8\kappa + 10}}{{5{{\left( {\kappa + 2} \right)}^2}}} < \frac{{14}}{{25}} \Leftrightarrow \frac{{2{\kappa ^2} + 4\kappa + 5}}{{{{\left( {\kappa + 2} \right)}^2}}} < \frac{7}{5} \Leftrightarrow$ (πράξεις)

$3{\kappa ^2} - 8\kappa - 3 < 0$ (2)

$\Delta = 64 + 36 = 100$ οπότε οι ρίζες της (2) είναι $\kappa = - \frac{1}{3}$ και $\kappa = 3$

Για να ισχύει η (2) πρέπει $- \frac{1}{3} < \kappa < 3$ και επειδή $\kappa \in \Omega$ θα είναι $\kappa = 1$ ή $\kappa = 2$ .

Με $\kappa = 1$ είτε $\kappa = 2$ θα είναι $A = \left\{ {1,2} \right\}$

$P\left( A \right) = \frac{3}{{10}} \Rightarrow P\left( A \right) = \alpha + \beta + 2\alpha + \beta = \frac{3}{{10}} \Rightarrow 3\alpha + 2\beta = 0,3$ (3)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (3) βρίσκουμε ότι $\alpha = \frac{1}{{30}}$ και $\beta = \frac{1}{{10}}$ οπότε $P(\kappa ) = \frac{1}{{30}}\kappa + \frac{1}{{10}}$

Β. i. Με x > 0

είναι:

$f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{x} \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{x}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\quad \dot \eta \quad x = - 1 < 0$ απορρίπτεται

Η

είναι γν. φθίνουσα για $x \in \left( {0,1} \right]$ και γν. αύξουσα για $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ και παρουσιάζει ελάχιστο για x = 1

το $f\left( 1 \right) = {\kappa ^2} - 5\kappa + 1$

Πρέπει $f\left( 1 \right) > - 5 \Leftrightarrow {\kappa ^2} - 5\kappa + 6 > 0 \Leftrightarrow \left( {\kappa - 3} \right)\left( {\kappa - 2} \right) > 0$

Έτσι $\kappa < 2$ ή $\kappa > 3$ και επειδή $\kappa \in \Omega$ θα είναι $\kappa = 1$ ή $\kappa = 4$ ή $\kappa = 5$ .

Άρα $B = \left\{ {1,4,5} \right\}$

$\displaystyle{P\left( B \right) = P\left( 1 \right) + P\left( 4 \right) + P(5) = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{4}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{5}{{30}} + \frac{1}{{10}} \Rightarrow }$

$P\left( B \right) = \frac{{10}}{{30}} + \frac{3}{{10}} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{19}}{{30}}$

ii. $A - B = \left\{ 2 \right\}$ , $B - A = \left\{ {4,5} \right\}$ και $\left( {A - B} \right) \cup \left( {B - A} \right) = \left\{ {2,4,5} \right\}$

οπότε $P\left( {\left( {A - B} \right) \cup \left( {B - A} \right)} \right) = P\left( 2 \right) + P\left( 4 \right) + P\left( 5 \right) = \frac{2}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{4}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{5}{{30}} + \frac{1}{{10}} = \frac{2}{3}}$

$B' = \left\{ {2,3} \right\}$ και $A \cup B' = \left\{ {1,2,3} \right\}$ οπότε

$P\left( {A \cup B'} \right) = P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{2}{{30}} + \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{30}} + \frac{1}{{10}} = \frac{1}{2}$

Άρα $g(x) = \frac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} - 7x + 1$

Έτσι $g'\left( x \right) = 2{x^2} + 4x - 7$ με $x \in R$

Πρέπει $g'\left( x \right) = \varepsilon \varphi 135^\circ \Rightarrow 2{x^2} + 4x - 7 = - 1 \Rightarrow 2{x^2} + 4x - 6 = 0 \Rightarrow$

${x^2} + 2x - 3 = 0 \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Rightarrow x = - 3$ ή x = 1

$g\left( { - 3} \right) = \frac{2}{3}\left( { - 27} \right) + 2 \cdot 9 - 7 \cdot ( - 3) + 1 = - 18 + 18 + 21 + 1 = 22$

$g\left( 1 \right) = \frac{2}{3} + 2 - 7 + 1 = \frac{2}{3} - 4 = \frac{{ - 10}}{3}$

Άρα η εφαπτομένη στο σημείο $A\left( { - 3,g\left( { - 3} \right)} \right)$ είναι η: ${\varepsilon _1}:y - g\left( { - 3} \right) = g'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \Rightarrow y - 22 = - x - 3 \Rightarrow y = - x + 19$

Η εφαπτομένη στο σημείο $B\left( {1,g\left( 1 \right)} \right)$ είναι η: ${\varepsilon _2}:y - g\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) \Rightarrow y + \frac{{10}}{3} = - x + 1 \Rightarrow y = - x - \frac{7}{3}$

Edit: Έγινε διόρθωση σε αριθμητικό στο Βi και Bii. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Κατσίποδα για την επισήμανση.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #106

Μετά την συμπλήρωση 100 ασκήσεων στα μαθηματικά γενικής παιδείας, ας σταματήσουμε προσωρινά την συλλογή. Συνεχίζουμε αργότερα (αρχες Μαρτίου) με συνδυαστικά θέματα,αλλώστε αρκετά απο τα θέματα που προτάθηκαν ήταν συνδυαστικά.

Νομίζω πως έγινε άψογή δουλεία και δημιουργήθηκε ένα αρχείο χρήσιμο για όλους.Αν κάποιος έχει γράψει τα θέματα σε word και PDF,ας τα προσθέσει στην συλλογή.

Ευχαριστώ όλους για την συμμετοχή

parmenides51 · #107

Καλό θα ήταν να ενημερώσει δημόσια όποιος ξεκινάει να τα γράφει σε word/pdf, για να μην τα ετοιμάζουν ταυτόχρονα δυο άτομα.

Γιώργος Απόκης · #108

Πολύ καλή και χρήσιμη συλλογή!

Απλώς παραπέμπω για τα προηγούμενα αρχεία...
Διαφορικός Λογισμός εδώ
Στατιστική εδώ

#109

Πιστεύω αύριο το βραδάκι να είναι έτοιμο

Χρήστος

pana1333 · #110

Μετά από συνεννόηση με το Χρήστο (τσιφάκη) δίνω και το τελευταίο μέρος της σειράς των ασκήσεων για τα μαθηματικά γενικής.

1η διόρθωση: Πρόσθεσα ένα ερώτημα στην άσκηση 88 από τον φίλο parmenides

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΕΦ 3ο.pdf: (373.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 154 φορές

Υ.Σ
Το αρχείο word θα το προσθέσω (στα αρχεία γιατί εδώ ξεπερνάει τα όρια σε ΚB) όταν γίνουν οι απαραίτητες διορθώσεις (αν χρειαστεί). Αν κάποιος το χρειάζεται άμεσα ας μου στείλει το email του μέσω π.μ να του το στείλω.

Χαιρετώ

pana1333 · #111

Καλησπέρα. Δεν υπήρξαν διορθώσεις. Πρόσθεσα μόνο στην άσκηση 28 το β) ερώτημα από τον parmenides

Οπότε δίνω το αρχείο και σε word.

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΕΦ 3ο.zip: (236.66 KiB) Μεταφορτώθηκε 155 φορές

parmenides51 · #112

Καλημέρα
Όπως είχα προτείνει κι εδώ πιστεύω πως θα ήταν να μην συμπεριλαμβάνονται θέματα της ΟΕΦΕ στην παρούσα συλλογή.
Αφού τα κοίταξα ένας προς ένα έχουμε την άσκηση 22 (ΟΕΦΕ 2002 2ο), την άσκηση 39 (ΟΕΦΕ 2002 4ο), την άσκηση 64 (ΟΕΦΕ 2006 4ο) και την άσκηση 66 (ΟΕΦΕ 2003 4ο). Επειδή τα θέματα ΟΕΦΕ είχαν αποσυρθεί το 2002 (και το 2001) και δεν υπάρχουν στο site της ΟΕΦΕ αλλά υπάρχουν κι εδώ, δεν μας πειράζει τόσο η επανάληψη των ασκήσεων 22 και 39 στην λογική ότι δεν είναι τόσο άμεσα προσβάσιμα όσο τα άλλα.
Η πρόταση μου είναι να προστεθούν στην παρούσα συλλογή δυο νέες ασκήσεις πιθανοτήτων τα ονόματα πχ. 64 (Β΄ εκδοχή) και 66 (Β΄ εκδοχή) ή κάτι παρενφερές αντί για τις ασκήσεις 64 και 66. Το νέο φυλλάδιο ας ονομαστεί πχ. 40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΕΦ 3ο (Β' εκδοχη).
Καλύτερα να μην σβηστούν οι παραπάνω ασκήσεις, ούτε οι λύσεις τους ούτε και τα προηγούμενα φυλλάδια.
Περιμένω την γνώμη σας.

Υ.Γ.Δεν θα είμαι μέσα για να απαντήσω άμεσα, πριν το μεσημέρι.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #113

parmenides51 έγραψε:
Η πρόταση μου είναι να προστεθούν στην παρούσα συλλογή δυο νέες ασκήσεις πιθανοτήτων τα ονόματα πχ. 64 (Β΄ εκδοχή) και 66 (Β΄ εκδοχή) ή κάτι παρενφερές αντί για τις ασκήσεις 64 και 66. Το νέο φυλλάδιο ας ονομαστεί πχ. 40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΚΕΦ 3ο (Β' εκδοχη).
Καλύτερα να μην σβηστούν οι παραπάνω ασκήσεις, ούτε οι λύσεις τους ούτε και τα προηγούμενα φυλλάδια.
Περιμένω την γνώμη σας..

Συμφωνώ ,καλύτερα να αντικατασταθούν από δύο νέες ασκήσεις και οι ασκήσεις 64 και 66, να μετακινηθούν σαν ξεχωριστά θέματα στα θάκελο της γενικής (όπως έγινε και με την άσκηση της κατεύθυνσης).

Προτείνω επίσης, τά δύο μέλη μας, που έχουν δημοσιεύσει τις δύο ασκήσεις, να είναι και αυτά που θα προτείνουν τα νέα θέματα.

#114

ΑΣΚΗΣΗ 64 ΝΕΑ
Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $f(x)=\frac{\alpha x^3}{3}-\beta x + 2$ με $\alpha ,\beta \in R$
να παίρνουν τιμές από το σύνολο $S = \left\{1,2,3,4 \right\}$ .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο σημείο με τετμημένη $x_{o}=1$ .
ii) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

= {η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα των x'x

γωνία $\omega =\frac{3\pi }{4}$ }

= {η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο $M\left(-\frac{2}{3},2 \right)$ }
$\Gamma$ = {πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα A, B

}
iii) Αν τα ενδεχόμενα A, B

πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Χρήστος

hlkampel · #115

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 64 ΝΕΑ
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\frac{\alpha x^3}{3}-\beta x + 2$ με $\alpha ,\beta \in R$
να παίρνουν τιμές από το σύνολο $S = \left\{1,2,3,4 \right\}$ .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο με τετμημένη $x_{o}=1$ .
ii) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
= {η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα των γωνία $\omega =\frac{3\pi }{4}$ }
= {η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο $M\left(-\frac{2}{3},2 \right)$ }
$\Gamma$ = {πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα }
iii) Αν τα ενδεχόμενα πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Χρήστος

i. Είναι $f'\left( x \right) = \alpha {x^2} - \beta$ με $x \in R$ .

$f\left( 1 \right) = \frac{\alpha }{3} - \beta + 2$

$f'\left( 1 \right) = \alpha - \beta$

Έτσι η εφαπτομένη στο σημείο με ${x_0} = 1$ έχει εξίσωση:

$\varepsilon :\;y - f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) \Rightarrow y - \left( {\frac{\alpha }{3} - \beta + 2} \right) = \left( {\alpha - \beta } \right)\left( {x - 1} \right) \Rightarrow$

$y = \left( {\alpha - \beta } \right)x - \frac{{2\alpha }}{3} + 2$

ii. Τα ενδεχόμενα $A,B,\Gamma$ , έχουν δειγματικό χώρο όλα τα δυνατά ζεύγη $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ , δηλαδή:

$\Omega = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,1} \right),\left( {2,2} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,1} \right),\left( {4,2} \right),\left( {4,3} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}$

Έτσι $N\left( \Omega \right) = 16$

Για το

: Πρέπει $f'\left( 1 \right) = \varepsilon \varphi \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \alpha - \beta = - 1 \Rightarrow \alpha = \beta - 1$

Άρα $A = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}$ , οπότε

$P\left( A \right) = \frac{{N\left( A \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{{16}}$

Για το

: Με $x = - \frac{2}{3}$ και y = 2

η εφαπτομένη γίνεται:

$2 = - \frac{2}{3}\left( {\alpha - \beta } \right) - \frac{{2\alpha }}{3} = 2 \Leftrightarrow - \frac{{2\alpha }}{3} + \frac{{2\beta }}{3} - \frac{{2\alpha }}{3} = 0 \Leftrightarrow 4\alpha = 2\beta \Leftrightarrow \alpha = \frac{\beta }{2}$

Άρα $B = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {2,4} \right)} \right\}$ οπότε

$P\left( B \right) = \frac{{N\left( B \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{16}}$

Για το $\Gamma$ : Είναι $\displaystyle{A - B = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}}$ και $B - A = \left\{ {\left( {2,4} \right)} \right\}$

$\Gamma = \left( {A - B} \right) \cup \left( {B - A} \right) \Rightarrow \Gamma = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}$ οπότε

$P\left( \Gamma \right) = \frac{{N\left( \Gamma \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{{16}}$

iii. Αφού τα A,B

πραγματοποιούνται συγχρόνως, θα πραγματοποιείται η τομή τους.

$A \cap B = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right\}$

Έτσι $\alpha = 1$ και $\beta = 2$ και η παράγωγος γίνεται:

$f'\left( x \right) = {x^2} - 2$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2$

$f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < - \sqrt 2$ ή $x > \sqrt 2$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα αν $x \in \left( { - \infty , - \sqrt 2 } \right] \cup \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)$
και γνησίως φθίνουσα αν $x \in \left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$

Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για $x = - \sqrt 2$ το $\displaystyle{f\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{1}{3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 2\sqrt 2 + 2 = - \frac{2}{3}\sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 2 = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + 2}$

και τοπικό ελάχιστο για $x = \sqrt 2$ το

$\displaystyle{f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} - 2\sqrt 2 + 2 = \frac{2}{3}\sqrt 2 - 2\sqrt 2 + 2 = - \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + 2}$

Μάκης Χατζόπουλος · #116

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 64 ΝΕΑ
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\frac{\alpha x^3}{3}-\beta x + 2$ με $\alpha ,\beta \in R$
να παίρνουν τιμές από το σύνολο $S = \left\{1,2,3,4 \right\}$ .
i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο με τετμημένη $x_{o}=1$ .
ii) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
= {η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα των γωνία $\omega =\frac{3\pi }{4}$ }
= {η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο $M\left(-\frac{2}{3},2 \right)$ }
$\Gamma$ = {πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα }
iii) Αν τα ενδεχόμενα πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Χρήστος

Κυρίως λόγω τύψεων που δεν βοήθησα όσο θα ήθελα αυτή την προσπάθεια, δίνω την παρακάτω λύση:

i) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

στο σημείο ${x_0} = 1$ είναι της μορφής $y = mx + k,\,\,\,\,m,k \in R$ , όπου $m = f'\left( 1 \right) = \alpha - \beta$ , ενώ το σημείο επαφής $K\left( {1,f\left( 1 \right)} \right) = \left( {1,\frac{\alpha }{3} - \beta + 2} \right)$ ανήκει στην ευθεία, οπότε, $\frac{\alpha }{3} - \beta + 2 = \left( {\alpha - \beta } \right) \cdot 1 + k \Rightarrow k = 2 - \frac{{2\alpha }}{3}$

Άρα $\left( \varepsilon \right):y = \left( {\alpha - \beta } \right)x + 2 - \frac{{2\alpha }}{3}$

ii) Αρχικά ο δειγματικός χώρος περιέχει 16 στοιχεία που δίνονται από τον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου (είναι διατεταγμένα τα ζεύγη)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \backslash \beta } & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & {\left( {1,1} \right)} & {\left( {1,2} \right)} & {\left( {1,3} \right)} & {\left( {1,4} \right)} \\ 2 & {\left( {2,1} \right)} & {\left( {2,2} \right)} & {\left( {2,3} \right)} & {\left( {2,4} \right)} \\ 3 & {\left( {3,1} \right)} & {\left( {3,2} \right)} & {\left( {3,3} \right)} & {\left( {3,4} \right)} \\ 4 & {\left( {4,1} \right)} & {\left( {4,2} \right)} & {\left( {4,3} \right)} & {\left( {4,4} \right)} \\ \end{array}$

Για το ενδεχόμενο Α:
Επίσης, $f'\left( 1 \right) = \varepsilon \varphi \frac{{3\pi }}{4} = - 1$ άρα $\alpha - \beta = - 1 \Leftrightarrow \alpha = \beta - 1\,\,\,\,\,\left( {\alpha < \beta } \right)$ οπότε οι λύσεις είναι:

$\left( {1,2} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,4} \right)$ άρα $P\left( A \right) = \frac{3}{{16}}$

Για το ενδεχόμενο Β:
Έχουμε ότι το σημείο $\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{ - 2}}{3},2} \right)$ επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης, δηλαδή, $2 = \left( {\alpha - \beta } \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right) + 2 - \frac{{2\alpha }}{3} \Leftrightarrow \beta = 2\alpha \,\,\,\,\left( {\beta > \alpha } \right)$

άρα οι λύσεις του συστήματος είναι $\left( {1,2} \right),\left( {2,4} \right)$ οπότε $P\left( B \right) = \frac{2}{{16}} = \frac{1}{8}$

Για το ενδεχόμενο Γ:
Οι λύσεις του ενδεχομένου $\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)}$ είναι οι $\left( {2,4} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,4} \right)$ , οπότε $P\left( \Gamma \right) = \frac{3}{{16}}$

iii) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β πραγματοποιούνται ταυτόχρονα (άρα το ενδεχόμενο είναι το $A\bigcap B$ ) τότε η λύση είναι η $\left( {1,2} \right)$ δηλαδή $\alpha = 1$ και $\beta = 2$ οπότε η συνάρτηση είναι $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + 2$ με $f'\left( x \right) = {x^2} - 2$ , με λύσεις τις ${x_1} = - \sqrt 2$ και ${x_2} = \sqrt 2$ .

Βρίσκουμε ότι: $f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty , - \sqrt 2 } \right]\bigcup {\left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)}$

άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( { - \infty , - \sqrt 2 } \right]$ και ${\left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)}$ , ενώ γνησίως φθίνουσα στο $\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$ .

Ως προς τα ακρότατα έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο με τετμημένη ${x_2} = \sqrt 2$ και τοπικό μέγιστο στο σημείο με τετμημένη ${x_1} = - \sqrt 2$

pana1333 · #117

Θα πρότεινα στους θεματοδότες των συλλογών να δίνουν την πηγή των ασκήσεων όπως αρχικά είχε αρχίσει να γίνεται ώστε να μην υπάρχουν τέτοια ζητήματα.

Ακόμα καλύτερο θα ήταν όμως να βάζουμε δικές μας ασκήσεις ρε παιδιά. Με τα λάθη τους με τις ασάφειες τους (αν υπάρχουν δε πειράζει). Έτσι μαθαίνουμε όλοι. Θα την προτιμούσα από μια τέτοια συλλογή ασκήσεων........

Δηλαδή

Άσκηση 1

Από Μπάρλα

Άσκηση 2

Από Μαυρίδη

Άσκηση 3

Από Οεφέ

και λοιπά και λοιπά. Τα ονόματα που έβαλα είναι τυχαία.

pito · #118

ΑΣΚΗΣΗ 66 (ΝΕΑ)

Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ .
Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του $\Omega$ ισχύει ότι:
$P(k)=ak, k\in [1,5], P(k)=\frac{1}{10}, k\in [6,10]$

α) Να δείξετε ότι $a=\frac{1}{30}$ .

β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων :
i) $A=\{k\in \Omega$ |η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=x^{3}+k^{2}x^{2}-6kx+5$ στο σημείο της M(1,f(1))

τέμνει τον xx'

στο σημείο με τετμημένη 2 $\}$

ii) $B=\{k\in \Omega |lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-(k+2)x+2k}{\sqrt{x+2}-2}=k^{2}-11k+18\}$

iii) $\Gamma =\{k\in \Omega$ |η μέση τιμή των αριθμών $k,2-4k,5-3k,k^{2}-6k,k+1$ είναι μικρότερη ή ίση του $-4\}$

(Πηγή : Παπαδάκης Βασίλης, εκδόσεις Σαββάλας)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #119

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66 (ΝΕΑ)

Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ .

Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του $\Omega$ ισχύει ότι: $P(k)=ak, k\in [1,5], P(k)=\frac{1}{10}, k\in [6,10]$

α) Να δείξετε ότι $a=\frac{1}{30}$ .

β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων :

i) $A=\{k\in \Omega$ |η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=x^{3}+k^{2}x^{2}-6kx+5$ στο σημείο της τέμνει τον στο σημείο με τετμημένη 2 $\}$

ii) $B=\{k\in \Omega |lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-(k+2)x+2k}{\sqrt{x+2}-2}=k^{2}-11k+18\}$

iii) $\Gamma =\{k\in \Omega$ |η μέση τιμή των αριθμών $k,2-4k,5-3k,k^{2}-6k,k+1$ είναι μικρότερη ή ίση του $-4\}$

(Πηγή : Παπαδάκης Βασίλης, εκδόσεις Σαββάλας)

ΛΥΣΗ

α. Έχουμε $\displaystyle{{\rm P}(1) = \alpha ,{\rm P}(2) = 2\alpha ,{\rm P}(3) = 3\alpha ,{\rm P}(4) = 4\alpha ,{\rm P}(5) = 5\alpha }$ και $\displaystyle{{\rm P}(6) = ... = {\rm P}(10) = \frac{1}{{10}}}$
Οπότε $\displaystyle{{\rm P}(1) + ... + {\rm P}(5) + {\rm P}(6) + ... + {\rm P}(10) = 1 \Leftrightarrow \alpha + 2\alpha + 3\alpha + 4\alpha + 5\alpha + 5 \cdot \frac{1}{{10}} = 1 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{15\alpha + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow 15\alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{{30}}}$

β.i. $\displaystyle{f(x) = x^3 + \kappa ^2 x^2 - 6\kappa x + 5,x \in R}$

Η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $\displaystyle{ f'(x) = 3x^2 + 2\kappa ^2 x - 6\kappa ,x \in R}$

$\displaystyle{f(1) = \kappa ^2 - 6\kappa + 6}$ και $\displaystyle{f'(1) = 2\kappa ^2 - 6\kappa + 3}$

Η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f }$ στο $\displaystyle{M(1,f(1))}$ είναι η

$\displaystyle{y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - (\kappa ^2 - 6\kappa + 6) = (2\kappa ^2 - 6\kappa + 3)(x - 1)}$ $\displaystyle{(1)}$

Η $\displaystyle{(1)}$ τέμνει τον $\displaystyle{x'x}$ στο $\displaystyle{2}$ , οπότε $\displaystyle{0 - (\kappa ^2 - 6\kappa + 6) = (2\kappa ^2 - 6\kappa + 3)(2 - 1) \Leftrightarrow - \kappa ^2 + 6\kappa - 6 = 2\kappa ^2 - 6\kappa + 3 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{3\kappa ^2 - 12\kappa + 9 = 0 \Leftrightarrow \kappa ^2 - 4\kappa + 3 = 0 \Leftrightarrow \kappa = 1}$ ή $\displaystyle{\kappa = 3}$

Επομένως $\displaystyle{{\rm A} = \{ 1,3\} }$ και $\displaystyle{{\rm P}({\rm A}) = {\rm P}(1) + {\rm P}(3) = \frac{1}{{30}} + \frac{3}{{30}} = \frac{4}{{30}} = \frac{2}{{15}} }$

β.ii. $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x^2 - (\kappa + 2)x + 2\kappa }}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x(x - 2) - \kappa (x - 2)}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - \kappa )(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ((x - \kappa )(\sqrt {x + 2} + 2)) = 4(2 - \kappa ) }$

Οπότε $\displaystyle{\kappa ^2 - 11\kappa + 18 = 4(2 - \kappa ) \Leftrightarrow \kappa ^2 - 7\kappa + 10 = 0 \Leftrightarrow \kappa = 2}$ ή $\displaystyle{\kappa = 5}$

Οπότε $\displaystyle{{\rm B} = \{ 2,5\} }$ και $\displaystyle{{\rm P}({\rm B}) = {\rm P}(2) + {\rm P}(5) = \frac{2}{{30}} + \frac{5}{{30}} = \frac{7}{{30}}}$

β.iii. $\displaystyle{\overline x \le - 4 \Leftrightarrow \frac{{\kappa + 2 - 4\kappa + 5 - 3\kappa + \kappa ^2 - 6\kappa + \kappa + 1}}{5} \le - 4 \Leftrightarrow \frac{{\kappa ^2 - 12\kappa + 8}}{5} \le - 4 \Leftrightarrow \kappa ^2 - 12\kappa + 8 \le - 20 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\kappa ^2 - 12\kappa + 28 \le 0 \Leftrightarrow \kappa \in [6 - 2\sqrt 2 ,6 + 2\sqrt 2 ]}$

Όμως $\displaystyle{\kappa \in \Omega }$ οπότε $\displaystyle{\kappa = \{ 4,5,6,7,8\} }$ , διότι $\displaystyle{3 < 6 - 2\sqrt 2 < 4}$ και $\displaystyle{8 < 6 + 2\sqrt 2 < 9}$

Επομένως $\displaystyle{{\rm P}(\Gamma ) = {\rm P}(4) + {\rm P}(5) + {\rm P}(6) + {\rm P}(7) + {\rm P}(8) = \frac{4}{{30}} + \frac{5}{{30}} + 3 \cdot \frac{1}{{10}} = \frac{4}{{30}} + \frac{5}{{30}} + \frac{9}{{30}} = \frac{{18}}{{30}} = 0,6 }$

pana1333 · #120

Ωραία αφού αναπληρώθηκαν οι ασκήσεις, θα στείλω τα νέα αρχεία το βράδυ!

Χαιρετώ

Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 3ο κεφάλαιο.

Μέλη σε σύνδεση