Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1281

ΑΣΚΗΣΗ 419: Έστω $\displaystyle{a=p-1 , b=3p+1}$ , όπου $\displaystyle{p\in Z}$ .

(α) Να βρεθεί ο $\displaystyle{p}$ , ώστε ο $\displaystyle{a}$ να διαιρεί τον $\displaystyle{b}$ .

(b) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{[2a+1 , b-3]=6p^2 -7p+2}$

raf616 · #1282

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 419: Έστω $\displaystyle{a=p-1 , b=3p+1}$ , όπου $\displaystyle{p\in Z}$ .

(α) Να βρεθεί ο $\displaystyle{p}$ , ώστε ο $\displaystyle{a}$ να διαιρεί τον $\displaystyle{b}$ .

(b) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{[2a+1 , b-3]=6p^2 -7p+2}$

(α) Είναι:

$\dfrac{3p + 1}{p - 1} \in \Bbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{3(p - 1) + 4}{p - 1} \in \Bbb{Z} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{4}{p - 1} \in \Bbb{Z}$

Εύκολα τώρα έχουμε τις τιμές $p \in \{-3, -1, 0, 2, 3, 5\}$ .

(β)Είναι [2a + 1, b - 3] = [2p - 1, 3p - 2]

Ας είναι

.

Τότε: d | 2p - 1

και

. Άρα:

$d | 3(2p - 1) - 2(3p - 2) \implies d |1 \implies d = 1$ .

Από την ιδιότητα $[a, b] = \dfrac{ab}{(a, b)}$ το ζητούμενο έπεται.

#1283

ΑΣΚΗΣΗ 420: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in Z}$ , ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+\frac{7x}{15}}$ , είναι ακέραιος.

#1284

ΑΣΚΗΣΗ 421

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί $\overline {abc}$ με ψηφία a,b,c

, ώστε να ισχύει :

$\displaystyle{b \cdot \overline {ac} = c \cdot \overline {ab} + 10}$

Μπάμπης ( Ρουμανία 2014)

S.E.Louridas · #1285

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 420: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in Z}$ , ο αριθμός
$\displaystyle{A=\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+\frac{7x}{15}}$ , είναι ακέραιος.

Όμορφη άσκηση:
Παρατηρούμε ότι, $3{x^5} + 5{x^3} + 7x = x\left( {3{x^4} + 5{x^2} - 8 + 15} \right),$ με $x\left( {3{x^4} + 5{x^2} - 8} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3{x^2} - 12 + 20} \right).$
Εδώ πλέον παρατηρούμε ότι:
$x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3{x^2} - 12} \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 15t,$
$20x\left( {{x^2} - 1} \right) = 4 \cdot 5x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15m.$
Στο σημείο αυτό επί της ουσίας τελειώσαμε.

(*) Χρησιμοποιήθηκε η γνωστή πρόταση:
Το γινόμενο

διαδοχικών φυσικών διαιρείται με το $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n = n!.$

(**) Λόγω των περιττών εκθετών το πρόβλημα είναι ήδη λυμένο και στην περίπτωση που ο

είναι αρνητικός ακέραιος.

Θεοδωρος Παγωνης · #1286

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 421

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί (ψηφία) , ώστε να ισχύει :

$\displaystyle{b \cdot \overline {ac} = c \cdot \overline {ab} + 10}$

Μπάμπης ( Ρουμανία 2014)

Η δοθείσα σχέση γίνεται $b\cdot \left( 10a+c \right)=c\cdot \left( 10a+b \right)+10\Leftrightarrow 10ab+bc=10ac+bc+10\Leftrightarrow$ $10ab=10ac+10\Leftrightarrow ab=ac+1\Leftrightarrow ab-ac=1\Leftrightarrow a\left( b-c \right)=1$
όμως $a\ ,\ b\ ,\ c\in \mathbb{N}$ , άρα η σχέση $a\left( b-c \right)=1$ δίνει a=1

και $b-c=1\Leftrightarrow b=c+1$ .

Μετά την υπόδειξη του κυρίου Μπάμπη η ολοκληρωμένη λύση είναι :
Ο αριθμός $\overline{abc}$ σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις μπορεί να είναι : 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 .

#1287

ΑΣΚΗΣΗ 422: (Γ Γυμνασίου) Δείξτε ότι $\displaystyle{8|9^{30}+7^{111}}$

raf616 · #1288

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 422: (Γ Γυμνασίου) Δείξτε ότι $\displaystyle{8|9^{30}+7^{111}}$

Είναι:

$9 \equiv 1 \pmod8 \Leftrightarrow 9^{30} \equiv 1 \pmod8$ '

$7 \equiv -1 \pmod8 \Leftrightarrow 7^{111} \equiv -1 \pmod8$

Με πρόσθεση παίρνουμε το ζητούμενο.

ΣΗΜ: Μπορεί να λυθεί και με την ιδιότητα $(a + b)^n = \pi o \lambda a + b^n$

#1289

raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 422: (Γ Γυμνασίου) Δείξτε ότι $\displaystyle{8|9^{30}+7^{111}}$
Είναι:

$9 \equiv 1 \pmod8 \Leftrightarrow 9^{30} \equiv 1 \pmod8$ '

$7 \equiv -1 \pmod8 \Leftrightarrow 7^{111} \equiv -1 \pmod8$

Με πρόσθεση παίρνουμε το ζητούμενο.

ΣΗΜ: Μπορεί να λυθεί και με την ιδιότητα $(a + b)^n = \pi o \lambda a + b^n$

Γράφω και άναν ακόμα τρόπο, πέραν αυτών που αναφέρει ο ταλαντούχος μαθητής Ραφαήλ:

$\displaystyle{9^{30}+7^{111}=9^{30}+7^{111}-1+1=[9^{30}-1]+[7^{111}+1]=(9-1)(9^{29}+9^{28}+...+1)+(7+1)(7^{110}-7^{109}+...+1]=}$

$\displaystyle{8k+8m=8(k+m)}$ , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{k,m}$ είναι ακέραιοι. Άρα $\displaystyle{8|9^{30}+7^{111}}$

#1290

AΣΚΗΣΗ 423

Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N}$ , 0 αριθμός:

$\displaystyle{4.6^{n+1}+5^{n+1}-9}$ , διαιρείται με το $\displaystyle{20}$

raf616 · #1291

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 423Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N}$ , 0 αριθμός:

$\displaystyle{4.6^{n+1}+5^{n+1}-9}$ , διαιρείται με το $\displaystyle{20}$

Είναι:

$4 \cdot 6^{n + 1} \equiv 0 \pmod4$

$5^{n + 1} \equiv 1 \pmod4$

Επομένως:

$4 \cdot 6^{n + 1} + 5^{n + 1} - 9 \equic -8 \equiv 0 \pmod4 \implies 4 | 4 \cdot 6^{n + 1} + 5^{n + 1} - 9$

Επίσης:

$6^{n + 1} \equiv 1\pmod5 \Leftrightarrow 4 \cdot 6^{n + 1} \equiv 4 \pmod5$

$5^{n + 1} \equiv 0 \pmod5$

Επομένως:

$4 \cdot 6^{n + 1} + 5^{n + 1} - 9 \equiv 4 - 9 \equiv -5 \equiv 0 \pmod5 \implies 5| 4 \cdot 6^{n + 1} + 5^{n + 1} - 9$

Επειδή όμως (4, 5) = 1

θα είναι και $20 | 4 \cdot 6^{n + 1} + 5^{n + 1} - 9$ και έτσι το ζητούμενο απεδείχθη.

#1292

AΣΚΗΣΗ 424: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x,k,m,n \in N^{*}-\{1\}}$ , και αν:

$\displaystyle{A=x^{3k-1}+x^{3m-2}+x^{3n-3}}$ , $\displaystyle{B=x^2 +x+1}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{B|A}$

#1293

ΑΣΚΗΣΗ 425 ( Β' Γυμνασίου)

Να αποδείξετε ότι :

$3^{33}+4^{33}+5^{33}< 6^{33}$

Μπάμπης

( Ρουμανία - 2014)

#1294

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 425 ( Β' Γυμνασίου)

Να αποδείξετε ότι :

$3^{33}+4^{33}+5^{33}< 6^{33}$

Μπάμπης

( Ρουμανία - 2014)

Βάζω δύο αποδείξεις, αν και υποψιάζομαι ότι ο Μπάμπης έχει κατά νου κάτι απλούστερο.

1η) Επειδή είναι $\displaystyle{6^3=3^3+4^3+5^3}$ έχουμε

$\displaystyle{6^{33}=(6^3)^{11}=(3^3+4^3+5^3)^{11}>(3^3)^{11}+(4^3)^{11}+(5^3)^{11}=3^{33}+4^{33}+5^{33}.}$

2η) Είναι $\displaystyle{3^{33}+4^{33}+5^{33}<5^{33}+5^{33}+5^{33}<6^{32}+6^{32}+6^{32}=3\cdot 6^{32}<6\cdot 6^{32}=6^{33}.}$

Απομένει να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{6^{32}>5^{33}.}$

Πράγματι, είναι

$\displaystyle{\frac{6^{32}}{5^{33}}=\frac{1}{5}\Big(\frac{6}{5}\Big)^{32}=\frac{1}{5}\Big(1+\frac{1}{5}\Big)^{32}>\frac{1}{5}\Big(1+\frac{32}{5}\Big)=\frac{37}{25}>1.}$

#1295

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 425 ( Β' Γυμνασίου)

Να αποδείξετε ότι :

$3^{33}+4^{33}+5^{33}< 6^{33}$

Μπάμπης

( Ρουμανία - 2014)

Βάζω και εγώ μια ακόμα απόδειξη:

$\displaystyle{3^{33}+4^{33}+5^{33}=27^{11}+64^{11}+125^{11}<125^{11}+125^{11}+125^{11}=3.125^{11}=3.125.125^{10}=375.125^{10}<375.125.125^9 =}$

$\displaystyle{=45875.125^9 <47656.216^9 =216^2 . 216^9=216^{11}=6^{33}}$

erxmer · #1296

Να λυθούν τα συστήματα

1) $\displaystyle{\begin{cases} x+y+z=18 \\ \\ 2xy=3xz=4yz\\ \end{cases}}$

2) $\displaystyle{\begin{cases} \frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{4}{z} \\ \\ xyz=64\\ \end{cases}}$

Θεοδωρος Παγωνης · #1297

erxmer έγραψε:Να λυθούν τα συστήματα

1) $\displaystyle{\begin{cases} x+y+z=18 \\ \\ 2xy=3xz=4yz\\ \end{cases}}$

2) $\displaystyle{\begin{cases} \frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{4}{z} \\ \\ xyz=64\\ \end{cases}}$

1) Προφανείς λύσεις : $\displaystyle{\left( x\ ,\ y\ ,\ z \right)=\left( 0\ ,\ 0\ ,\ 18 \right)}$ , $\displaystyle{\left( x\ ,\ y\ ,\ z \right)=\left( 0\ ,\ 18\ ,\ 0 \right)}$ , $\displaystyle{\left( x\ ,\ y\ ,\ z \right)=\left( 18\ ,\ 0\ ,\ 0 \right)}$ .
Έστω $\displaystyle{\left( x\ ,\ y\ ,\ z \right)\ne \left( 0\ ,\ 0\ ,\ 0 \right)}$ τότε το σύστημα διαιρώντας την δεύτερη εξίσωση με $\displaystyle{xyz\ne 0}$ γίνεται $\displaystyle{x+y+x=18\wedge 2xy=3xz=4yz\Leftrightarrow x+y+x=18\wedge \frac{2}{z}=\frac{3}{y}=\frac{4}{x}=\frac{2+3+4}{x+y+z}}$ \displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow x+y+x=18\wedge \frac{2}{z}=\frac{3}{y}=\frac{4}{x}=\frac{9}{18}}} $\displaystyle{\Leftrightarrow x+y+x=18\wedge \frac{2}{z}=\frac{3}{y}=\frac{4}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow z=4\ ,\ y=6\ ,x=8}$ .

2) Έστω $\displaystyle{\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{4}{z}=k\Leftrightarrow x=\frac{1}{k}\wedge y=\frac{2}{k}\wedge z=\frac{4}{k}}$ . Οπότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{xyz=64\Leftrightarrow \frac{1}{k}\cdot \frac{2}{k}\cdot \frac{4}{k}=64\Leftrightarrow {{k}^{3}}=\frac{8}{64}\Leftrightarrow {{k}^{3}}=1/8\Leftrightarrow k=1/2}$ .
Άρα $\displaystyle{x=2\wedge y=4\wedge z=8}$ ..

Al.Koutsouridis · #1298

Να λυθεί το σύστημα:

$\begin{cases} & \text x + y + xy = 2 + 3\sqrt{2} \\ & \text x^{2} + y^{2} = 6 \end{cases}$

Θεοδωρος Παγωνης · #1299

Al.Koutsouridis έγραψε:Να λυθεί το σύστημα:

$\begin{cases} & \text x + y + xy = 2 + 3\sqrt{2} \\ & \text x^{2} + y^{2} = 6 \end{cases}$

Είναι $\displaystyle{x+y+xy=2+3\sqrt{2}\wedge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=6}$ .
Η δεύτερη εξίσωση γίνεται $\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=6\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=6}$ .
Αν θέσω $\displaystyle{x+y=a\wedge xy=b}$ το αρχικό σύστημα παίρνει την μορφή $\displaystyle{a+b=2+3\sqrt{2}\wedge {{a}^{2}}-2b=6\Leftrightarrow 2a+2b=4+6\sqrt{2}\wedge {{a}^{2}}-2b=6}$ .
Οπότε με πρόσθεση κατά μέλη έχω : $\displaystyle{{{a}^{2}}+2a=4+6\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a-4-6\sqrt{2}=0}$ .
$\displaystyle{\Delta =4+40+24\sqrt{2}={{\left( 6+2\sqrt{2} \right)}^{2}}}$ , $\displaystyle{a=\frac{-2\pm \left( 6+2\sqrt{2} \right)}{2}}$ άρα $\displaystyle{{{a}_{1}}=\frac{-2+6+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{{{a}_{2}}=\frac{-2-6-2\sqrt{2}}{2}=-4-\sqrt{2}}$ .
Για $\displaystyle{{{a}_{1}}=2+\sqrt{2}}$ έχω $\displaystyle{a+b=2+3\sqrt{2}\Leftrightarrow 2+\sqrt{2}+b=2+3\sqrt{2}\Leftrightarrow b=2\sqrt{2}}$ .
Οπότε $\displaystyle{x+y=2+\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{xy=2\sqrt{2}}$ , άρα τα $\displaystyle{x,y}$ είναι λύσεις τις εξίσωσης $\displaystyle{{{x}^{2}}+\left( 2+\sqrt{2} \right)x+2\sqrt{2}=0}$ με λύσεις $\displaystyle{x=2}$ και $\displaystyle{y=\sqrt{2}}$
Για $\displaystyle{{{a}_{2}}=-4-\sqrt{2}}$ έχω $\displaystyle{a+b=2+3\sqrt{2}\Leftrightarrow -4-\sqrt{2}+b=2+3\sqrt{2}\Leftrightarrow b=6+4\sqrt{2}}$
Οπότε $\displaystyle{x+y=-4-\sqrt{2}}$ και $\displaystyle{xy=6+4\sqrt{2}}$ , άρα τα $\displaystyle{x,y}$ είναι λύσεις τις εξίσωσης $\displaystyle{{{x}^{2}}+\left( -4-\sqrt{2} \right)x+6+4\sqrt{2}=0}$ με $\displaystyle{\Delta <0}$ , άρα αδύνατη η εξίσωση.

#1300

ΑΣΚΗΣΗ 428: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}}$ , είναι πολλαπλάσιος του

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση