Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1301

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 428: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}}$ , είναι πολλαπλάσιος του

Με ισοτιμίες, η πιο πάνω άσκηση λύνεται εύκολα και την αφήνω για όποιον θελήσει να ασχοληθεί.

Θα δώσω μια λύση χωρίς να χρησιμοποιήσω τα mod:

$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}=(7.318 -4)^{5555}+(7.793 +4)^{2222}=}$ πολ

$\displaystyle{+(-4)^{5555}+}$ πολ

$\displaystyle{+4^{2222} =7k-4^{5555}+4^{2222}=}$

$\displaystyle{=7k+4^{2222}(1-4^{3333})=7k+4^{2222}[1-(4^{3})^{1111}]=7k+4^{2222}(1-64^{1111})=7k+4^{2222}[1-(1+7.9)^{1111}]=}$

$\displaystyle{7k+4^{2222}[1-(1+7m)]=7k+4^{2222}(-7m)=7(k-m.4^{2222})}$ , (όπου $\displaystyle{k , m \in Z}$ )

#1302

ΑΣΚΗΣΗ 429: (Α,Β,Γ Γυμνασίου) Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{a , b}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{a+b = 288}$ και $\displaystyle{(a , b)=24}$

#1303

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 428: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}}$ , είναι πολλαπλάσιος του

Με ισοτιμίες, η πιο πάνω άσκηση λύνεται εύκολα και την αφήνω για όποιον θελήσει να ασχοληθεί.

Θα δώσω μια λύση χωρίς να χρησιμοποιήσω τα mod:

$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}=(7.318 -4)^{5555}+(7.793 +4)^{2222}=}$ πολ $\displaystyle{+(-4)^{5555}+}$ πολ $\displaystyle{+4^{2222} =7k-4^{5555}+4^{2222}=}$

$\displaystyle{=7k+4^{2222}(1-4^{3333})=7k+4^{2222}[1-(4^{3})^{1111}]=7k+4^{2222}(1-64^{1111})=7k+4^{2222}[1-(1+7.9)^{1111}]=}$

$\displaystyle{7k+4^{2222}[1-(1+7m)]=7k+4^{2222}(-7m)=7(k-m.4^{2222})}$ , (όπου $\displaystyle{k , m \in Z}$ )

Έστω : $S = {2222^{5555}} + {5555^{2222}}$

Επειδή $2222 \equiv 3(\bmod 7)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,5555 \equiv 4(\bmod 7)$ Άρα

$S \equiv ({3^{5555}} + {4^{2222}})(\bmod 7) = ({243^{1111}} + {16^{1111}})(\bmod 7)\,\,(1)$

Αλλά $243 \equiv - 2(\bmod 7)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,16 \equiv 2(\bmod 7)$ , έτσι

$S \equiv ( - {2^{1111}} + {2^{1111}})(\bmod 7) \Rightarrow S \equiv 0(\bmod 7)$ . Δηλαδή 7/S

.

Φιλικά Νίκος

#1304

ΑΣΚΗΣΗ 430: (Γ Γυμνασίου) Να βρεθούν δύο φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ , τέτοιοι ώστε ο $\displaystyle{x}$ να είναι

οκταπλάσιος από τον Μ.Κ.Δ των αριθμών αυτών, ο $\displaystyle{y}$ να είναι κατά $\displaystyle{8}$ μικρότερος από το διπλάσιο του $\displaystyle{x}$ και το γινόμενο του $\displaystyle{y}$ με

τον Μ.Κ.Δ των αριθμών, να είναι ίσο με το Ε.Κ.Π αυτών.

simantiris j. · #1305

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 430: (Γ Γυμνασίου) Να βρεθούν δύο φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ , τέτοιοι ώστε ο $\displaystyle{x}$ να είναι

οκταπλάσιος από τον Μ.Κ.Δ των αριθμών αυτών, ο $\displaystyle{y}$ να είναι κατά $\displaystyle{8}$ μικρότερος από το διπλάσιο του $\displaystyle{x}$ και το γινόμενο του $\displaystyle{y}$ με

τον Μ.Κ.Δ των αριθμών, να είναι ίσο με το Ε.Κ.Π αυτών.

Καλησπέρα,
έχουμε ότι $y\begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x,y \end{bmatrix}\Rightarrow y\begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}^2=\begin{bmatrix} x,y \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}=xy\Rightarrow \begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}^2=x$
Όμως δίνεται $x=8\begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x,y \end{pmatrix}^2=\frac{x^2}{64}$
Άρα $\frac{x^2}{64}=x\Rightarrow x=64$ και επομένως y=2x-8=120

#1306

ΑΣΚΗΣΗ 431: (Γ Γυμνασίου)Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{8p-1}$ είναι πρώτοι , τότε ο αριθμός

$\displaystyle{8p+1}$ είναι σύνθετος.

#1307

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 431: (Γ Γυμνασίου)Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{8p-1}$ είναι πρώτοι , τότε ο αριθμός

$\displaystyle{8p+1}$ είναι σύνθετος.

Έστω ότι ο αριθμός $\displaystyle{8p + 1}$ είναι πρώτος. Αν $\displaystyle{p \ne 3,}$ τότε κανένας από τους

διαδοχικούς ακεραίους $\displaystyle{8p - 1,8p}$ και $\displaystyle{8p + 1}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του

, πράγμα άτοπο. Αν $\displaystyle{p = 3,}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{8p + 1 = 25}$ είναι σύνθετος, πράγμα άτοπο. Ώστε, ο αριθμός $\displaystyle{8p + 1}$ είναι σύνθετος.

#1308

ΑΣΚΗΣΗ 432: (Γ Γυμνασίου) Να βρεθούν οι τιμές του θετικού ακεραίου $\displaystyle{n}$ , για τις οποίες οι αριθμοί

$\displaystyle{5^n +1}$ και $\displaystyle{39}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους.

simantiris j. · #1309

Καλημέρα
Πρόκειται για εξαιρετική άσκηση για όσους κάνουν τα πρώτα τους βήματα στα διαγωνιστικά μαθηματικά και ειδικά στη θεωρία αριθμών(μακάρι να την ήξερα και εγώ όταν βρισκόμουν σε αυτό το επίπεδο)

Αν ο

είναι περιττός έχουμε ότι $5^n+1\equiv (-1)^n+1\equiv 0( mod 3 )$ οπότε οι δυο αριθμοί έχουν
κοινό διαιρέτη τον

,άτοπο.
Άρα ο

είναι άρτιος,οπότε $5^n+1=25^m+1\equiv (-1)^m+1 (mod13)$ συνεπώς ο

είναι άρτιος άρα το ζητούμενο ισχύει για κάθε αριθμό που διαιρείται με το

(έχουμε τελειώσει γιατί οι μόνοι διαιρέτες του

είναι το

)

Ηλιας Φραγκάκος · #1310

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 429: (Α,Β,Γ Γυμνασίου) Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{a , b}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{a+b = 288}$ και $\displaystyle{(a , b)=24}$

Για να έχουν οι δύο αριθμοί ΜΚΔ το

τότε πάει να πει ότι είναι ίσοι με 24*p

όπου

πρώτος.

και αφού το άθροισμα των δύο αριθμών είναι (p1+p2)*24

τότε

Οι μόνοι πρώτοι αριθμοί που έχουν άθροισμα

είναι το

και το

. Άρα

και

. Επίσης υπάρχει η περίπτωση ένας από τους αριθμούς p1,p2

να είναι 1 γιατί το 24 δεν έχει μεγαλύτερο διαιρέτη από το 24. Άρα σε αυτήν την περίπτωση a=24

και

#1311

Ηλιας Φραγκάκος έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 429: (Α,Β,Γ Γυμνασίου) Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{a , b}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{a+b = 288}$ και $\displaystyle{(a , b)=24}$
Για να έχουν οι δύο αριθμοί ΜΚΔ το τότε πάει να πει ότι είναι ίσοι με όπου πρώτος. και αφού το άθροισμα των δύο αριθμών είναι τότε Οι μόνοι πρώτοι αριθμοί που έχουν άθροισμα είναι το και το . Άρα και . Επίσης υπάρχει η περίπτωση ένας από τους αριθμούς να είναι γιατί το δεν έχει μεγαλύτερο διαιρέτη από το . Άρα σε αυτήν την περίπτωση και

Πολύ ωραία Ηλία

(Να προσθέσω μόνο, ότι έχουμε και τα αποτελέσματα $\displaystyle{a=168, b=120}$ και $\displaystyle{a=11.24 =264 , b=24}$ )

(Υπάρχει και μια μικρή απροσεξία στον πολλαπλασμό $\displaystyle{11.24}$ , που ισούται με $\displaystyle{264}$ , αντί $\displaystyle{244}$ )

#1312

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 432: (Γ Γυμνασίου) Να βρεθούν οι τιμές του θετικού ακεραίου $\displaystyle{n}$ , για τις οποίες οι αριθμοί

$\displaystyle{5^n +1}$ και $\displaystyle{39}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Εκτός από την όμορφη λύση που έγραψε ο simantiris j , ας δούμε και μια ακόμα , χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τις ισοτιμίες.

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{n=4k+3}$ ή $\displaystyle{n=4k+2}$ ,ή $\displaystyle{n=4k+1}$ , ή $\displaystyle{n=4k}$ , με $\displaystyle{k \in N}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n=4k+3}$ . Τότε $\displaystyle{5^n +1 =(5+1)(5^{n-1}-5^{n-2}+ ... +1)=}$ πολ $\displaystyle{6=}$ πολ $\displaystyle{3}$ . Άρα $\displaystyle{3|5^n +1}$ και επειδή $\displaystyle{3|39}$ , συμπεραίνουμε

ότι οι αριθμοί $\displaystyle{5^n +1 , 39}$ δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους, πράγμα άτοπο.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n=4k+2}$ . Tότε $\displaystyle{5^n +1 =5^{4k+2}+1=25^{2k+1}+1=(25+1)(25^{2k}-25^{2k-1}+ ... +1)=}$ πολ $\displaystyle{26=}$ πολ $\displaystyle{13}$ . Όμως και ο $\displaystyle{39}$

είναι και αυτός πολλαπλάσιο του $\displaystyle{13}$ , πράγμα και πάλι άτοπο.

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n=4k+1}$ . Τότε $\displaystyle{5^n +1 =(5+1)(5^{n-1}-5^{n-2}+ ... +1)=}$ πολ $\displaystyle{6=}$ πολ $\displaystyle{3}$ , και αφού και ο $\displaystyle{39}$ είναι και αυτός πολλαπλάσιο

του $\displaystyle{3}$ , καταλήγουμε και πάλι σε άτοπο.

4η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n=4k}$ . Τότε $\displaystyle{5^n +1 =5^{4k}+1 =25^{2k}+1 =(-1 +26)^{2k}+1 =(-1)^{2k}+}$ πολ $\displaystyle{26 +1=}$ πολ $\displaystyle{26 +2=}$ πολ $\displaystyle{13+2}$

Άρα ο $\displaystyle{13}$ δεν διαιρεί τον $\displaystyle{5^n +1}$ . Θα αποδείξουμε ότι ούτε και ο $\displaystyle{3}$ διαιρεί τον $\displaystyle{5^n +1}$ .

Πράγματι, έχουμε: $\displaystyle{5^n +1 = 5^{4k}+1 =25^{2k}+1 =(1+24)^{2k}+1=1+}$ πολ $\displaystyle{24 +1=}$ πολ $\displaystyle{3 +2}$ .

Τέλος, αφού οι αριθμοί $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{13}$ δεν διαιρούν τον $\displaystyle{5^n +1}$ , άρα ούτε και ο $\displaystyle{3.13}$ θα διαιρεί τον $\displaystyle{5^n +1}$ (μην ξεχνάμε ότι αν ο αριθμός

$\displaystyle{a}$ δεν διαιρεί τον $\displaystyle{b}$ , τότε και ο $\displaystyle{ka}$ δεν θα διαιρεί επίσης τον $\displaystyle{b}$ , για κάθε ακέραιο $\displaystyle{k}$ )

Επειδή λοιπόν οι μόνοι διαιρέτες του $\displaystyle{39}$ είναι οι αριθμοί $\displaystyle{1 , 3 , 13 , 39}$ και επειδή (όταν $\displaystyle{n=4k}$ ) κανένας από αυτούς δεν διαιρεί τον

$\displaystyle{5^n +1}$ , έπεται ότι οι αριθμοί $\displaystyle{5^n +1}$ και $\displaystyle{39}$ , όταν $\displaystyle{n=4k}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους.

#1313

ΑΣΚΗΣΗ 433: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{3^n +4^n }$ και $\displaystyle{3^{n+1}+4^{n+1}}$ είναι

μεταξύ τους πρώτοι, για κάθε $\displaystyle{n\in N}$

Ηλιας Φραγκάκος · #1314

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Ηλιας Φραγκάκος έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 429: (Α,Β,Γ Γυμνασίου) Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{a , b}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{a+b = 288}$ και $\displaystyle{(a , b)=24}$
Για να έχουν οι δύο αριθμοί ΜΚΔ το τότε πάει να πει ότι είναι ίσοι με όπου πρώτος. και αφού το άθροισμα των δύο αριθμών είναι τότε Οι μόνοι πρώτοι αριθμοί που έχουν άθροισμα είναι το και το . Άρα και . Επίσης υπάρχει η περίπτωση ένας από τους αριθμούς να είναι γιατί το δεν έχει μεγαλύτερο διαιρέτη από το . Άρα σε αυτήν την περίπτωση και
Πολύ ωραία Ηλία

(Να προσθέσω μόνο, ότι έχουμε και τα αποτελέσματα $\displaystyle{a=168, b=120}$ και $\displaystyle{a=11.24 =264 , b=24}$ )

(Υπάρχει και μια μικρή απροσεξία στον πολλαπλασμό $\displaystyle{11.24}$ , που ισούται με $\displaystyle{264}$ , αντί $\displaystyle{244}$ )

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Είναι πάντοτε καλοδεχούμενα. Την αβλεψία την έκανα επειδή ήθελα να προλάβω την απάντηση πριν την ανεβάσει κάποιος άλλος. Έχει τύχει να γράφω μια απάντηση και όταν τελείωσα, κάποιος άλλος είχε ανεβάσει λύση της ίδιας άσκησης. Τέτοιες ασκήσεις θεωρίας αριθμών μου αρέσουν, αν και μου φαίνονται απλές. Και πάλι σας ευχαριστώ, εσάς και όλους τους μεγάλους, για το χρόνο που αφιερώνετε στο Μαθεμάτικα για όσους μικρούς το έχουμε ανάγκη.

S.E.Louridas · #1315

Καλημέρα
Παρατηρούμε ότι:
${3^{n + 1}} + {4^{n + 1}} = 3\left( {{3^n} + {4^n}} \right) + {4^n} = 4\left( {{3^n} + {4^n}} \right) - {3^n}.$
Αυτό οδηγεί στο ότι αν ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης $\left( {{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}},\;{3^n} + {4^n}} \right)$ είναι μεγαλύτερος του 1 θα έπρεπε και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης $\left( {{3^n},{4^n}} \right)$ να είναι επίσης μεγαλύτερος του 1 πράγμα που είναι άτοπο.

S.E.Louridas · #1316

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 428: (Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός
$\displaystyle{2222^{5555}+5555^{2222}}$ , είναι πολλαπλάσιος του

Ας δούμε και άλλη μία λύση χωρίς mod, σε αυτή την όμορφη άσκηση που δίνει το στίγμα μίας άλλης εποχής στην Μαθηματική παιδεία της χώρας και που εξηγεί πολλά (*).

$A \equiv {2222^{5555}} + {5555^{2222}} = {2222^{5555}} + {5555^{5555}} + {5555^{2222}} - {5555^{5555}} \Rightarrow$ $A \equiv 7u - {5555^{2222}}\left( {{{5555}^{3333}} - 1} \right),$ με ${5555^{3333}} - 1 = {5555^{3333}} - {4^{3333}} + {4^{3333}} - 1 = 7t + {64^{1111}} - 1 = 7u.$

( Προφανώς έγινε εφαρμογή των: ${a^n} - {b^n} = \left( {a - b} \right)t,\quad {a^{2k + 1}} + {b^{2k + 1}} = \left( {a + b} \right)r$ )

(*) Με το σχόλιο μου πάνω θέλω να πω ότι τέτοιου είδους ασκήσεις υπήρχαν στο επίσημο βιβλίο του Οργανισμού των Μαθηματικών Επιλογής της Β΄ Λυκείου το 1980 (Κ. Ιορδανίδης και λοιπών όπου ή άσκηση αυτή ήταν μία από τις περιεχόμενες στο βιβλίο αυτό) με επιπλέον ύλη επιλογής από εκείνη της Άλγεβρας και Γεωμετρίας, για τους Μαθητές που ήθελαν να εισαχθούν στις θετικές σχολές. Τότε ελαμβάνετο υπ’ όψιν και ο βαθμός της Β΄ Λυκείου. Τα κεφάλαια που περιείχε το βιβλίο αυτό ήταν:
Μιγαδικοί Αριθμοί (Το σύνολο των μιγάδων ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών πραγματικών…, Γεωμετρική παράσταση Μιγάδων…, Γεωμετρικές εφαρμογές του μέτρου των Μιγάδων…, Πολικές συντεταγμένες…, Τριγωνομετρική μορφή…, Ρίζες μιγάδων…, Ανακεφαλαίωση και βέβαια πολλές «δυνατές» ασκήσεις),
Αλγεβρικές δομές (Διμελείς πράξεις…, Ημιομάδες - ομάδες…, Δακτύλιοι…, Σώματα…, Διανυσματικοί Χώροι , Ανακεφαλαίωση και βέβαια πολλές «δυνατές» ασκήσεις),
Θεωρία αριθμών (Διαιρετότητα…, Διοφαντικές εξισώσεις……, Ανακεφαλαίωση και βέβαια πολλές «δυνατές» ασκήσεις),
Πλήρης θεωρία Πολυωνύμων έως και επίλυση Γενικής εξίσωσης 3ου και 4ου βαθμού με πολλές «δυνατές» ασκήσεις…
Αυτά για την τότε Β΄ Λυκείου !!!!
Στη Γ΄ Λυκείου εδιδάσκετο και η Στερεομετρία στο δέον βέβαια επίπεδο.

mathxl · #1317

Καλημέρα Σωτήρη!
Να ρωτήσω από καθαρή περιέργεια, αυτή η έκταση της ύλης από πόσες ώρες υποστηρίζονταν εβδομαδιαία στο σχολείο;; Επίσης, είχε θετικά αποτελέσματα πχ στις εθνικές ομάδες για τις ολυμπιάδες μαθηματικών;

#1318

ΑΣΚΗΣΗ 434: (Γ Γμνασίου) Μετά τις καταπληκτικές λύσεις που μας χάρισε ο Σωτήρης πιο πάνω, συνεχίζουμε

με μια ακόμα πάνω στον Μ.Κ.Δ:

Αν $\displaystyle{x , y \in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(x,y)\leq (x+y , 2x-3y)}$

S.E.Louridas · #1319

mathxl έγραψε:Καλημέρα Σωτήρη!
Να ρωτήσω από καθαρή περιέργεια, αυτή η έκταση της ύλης από πόσες ώρες υποστηρίζονταν εβδομαδιαία στο σχολείο;; Επίσης, είχε θετικά αποτελέσματα πχ στις εθνικές ομάδες για τις ολυμπιάδες μαθηματικών;

Το εβδομαδιαίο πρόγραμμα για την Β΄ Λυκείου τότε ήταν 4 ώρες Άλγεβρα(Ντζιώρα) και τριγωνομετρία (Πανάκη), 3 ώρες τα Μαθηματικά επιλογής στα οποία αναφέρθηκα και 3 ώρες Γεωμετρία (ΣΠ. Κανέλλου), αν δεν μου διαφεύγει καμιά ώρα. Όμως το βασικό είναι ότι το περιβάλλον τότε ήταν εκείνο πριν τις Δέσμες το 1981. Τότε τα Πανεπιστήμια ήταν λίγα η τριτοβάθμια εκπαίδευση είχε λίγες θέσεις προσβασιμότητας με πολλές όμως τεχνικές σχολές που απορροφούσαν τους πολλούς Αποτυχόντες (αλλά και χειρονακτικές δουλειές αφού δεν υπήρχαν αλλοδαποί) έως τις εισαγωγικές στην Γ΄ Λυκείου, σκληρές δηλαδή εποχές για «πρίγκιπες». Οι αντίστοιχοι διαγωνισμοί της Ε.Μ.Ε. είχαν σαν βραβείο ένα πιστοποιητικό και κάποια χρήματα από χορηγίες όπως των φροντιστηρίων του Πάλλα ή της καπνοβιομηχανίας «Παπαστράτος» κ.τ.λ. ( ΒΜΟ ή ΙΜΟ, που τέτοια πολυτέλεια). Και βέβαια Δημοκρατία και Εκπαίδευση ούτε καν «αρραβωνιασμένες»
Αλλά τι να την κάνεις αυτή τη κατοχύρωση (ευρύτεροι διαγωνισμοί) αφού υπήρχαν τα θέματα της Σ.Μ.Α. ή του Πολυτεχνείου ή και της Φυσικομαθηματικής;
Οι εξετάσεις γίνονταν βέβαια επί της διδακτέας και όχι επί της διδαχθείσας ύλης (και όμως Ναι).
Αυτά εν ολίγοις φίλε Βασίλη

mathxl · #1320

Ενδιαφέρον, άρα συγκρίνοντας την τάση που επικρατεί τώρα στο άπλωμα της ύλης στην α λυκείου ( για την ώρα) με τις 3 ώρες στην Άλγεβρα έχω την αίσθηση ότι κρατάμε την συνταγή της πολλής ύλης αλλά γράφουμε στα ...φρύδια μας τις διδακτικές ώρες που πρέπει να αντιστοιχούν σε αυτήν.

Διαβάζοντας εδώ http://www.alfavita.gr/arthron/%CF%80%C ... E%B1%CF%82 την δήλωση του Υπουργού «κάποιοι εκπαιδευτικοί δεν εξαντλούσαν τη διδακτέα ύλη, σπρώχνοντας τα παιδιά στα ιδιαίτερα και τα φροντιστήρια»! Τι συμπέρασμα να βγάλω; Προσπαθούμε να γυρίσουμε το σύστημα τουλάχιστον 35 χρόνια πριν (εκεί που έχει γυρίσει και η οικονομία μας περίπου) αλλά με πρόχειρο σχεδιασμό;; Για παράδειγμα, η αφεντιά μου πρέπει να απολυθεί χθες γιατί ΘΑ ΜΠΩ στις ανισώσεις β βαθμού από εβδομάδα (εκτός των ωρών που έχουν χαθεί για τους συνηθισμένους λόγους στα υπόλοιπα σχολεία στο δικό μου σχολείο, το τμήμα που ανέλαβα δεν είχε καθηγητή για ένα περίπου μήνα!!) Ωστόσο πρέπει να τιμωριθώ εγώ και όχι το υπουργείο (;) για την ολιγωρία του στην κάλυψη του κενού...
Κάποιοι που είναι κοντά στον υπουργό και τον συμβουλεύουν για τέτοιες δηλώσεις πρέπει να χαστουκίζονται καθημερινά πρωί μεσημέρι βράδυ προ φαγητού....Τι είδους στοχοθεσία είναι αυτή;;!!!
Αν θέλουν, μπορούμε να βγάλουμε την ύλη μέσα σε μια εβδομάδα αλλά ο μόνος που θα την καταλάβει θα είναι (ίσως) εμείς...
Στην αξιολόγηση πως θα αξιολογείται ο εκπαιδευτικός φεράρι που θα έχει μικρή αποτελεσματικότητα και δυσαρεστημένο το μεγαλύτερο ποσοστό της τάξης;;; Άριστα γιατί έβγαλε την ύλη;; Είμαστε σοβαροί;;!!!

Είμαι τις άποψης ότι τα μαθηματικά πρέπει να γίνονται φιλικά για τον μαθητή που είναι συνεπής(τηρούν το διδακτικό συμβόλαιο-κανόνες στην αρχή της χρονιάς) και όχι υποχρεωτικά ταλέντο. Μόνο τα παιδιά με έφεση στα μαθηματικά θα μπορέσουν να ακολουθήσουν τέτοιο ρυθμό. Αν στόχος είναι η κατεύθυνση να αποτελείται από 5 άτομα, να βγάζουμε την ύλη και τα μαθηματικά να φαντάζουν ως μάθημα για πεφωτισμένους μαθητές τότε κινούμαστε προς την σωστή κατεύθυνση.

Επίσης έχει φανεί σε άλλες δημοσιεύσεις από κάποια μέλη μια λαγνεία για το παρελθόν, όπου οι μαθητές ήξεραν απλά την έννοια που θα εξεταστούν και διδάσκονταν από όποιο βιβλίο πίστευε ο καθένας...για να συμπληρώσει τις γνώσεις του στις διδασκόμενες έννοιες με απροσδιόριστη ύλη. Αν το κατάλαβα σωστά, τότε αυτό για εμένα είναι εγκληματικό ... αφού έτσι η διδασκαλία - παρεχόμενη γνώση δεν είναι "δίκαιη".

Συγνώμη που είμαι εκτός θέματος των δημοσιεύσεων...αλλά μου βγήκε αυθόρμητα και φυσικά δεν απευθύνομαι μόνο στον φίλο Σωτήρη.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Αυτός ο σχεδιασμός, έχω την αίσθηση ότι οδηγεί εκεί που περιέγραψε παραπάνω ο Σωτήρης...έμμεσα διαρροή μαθητικού δυναμικού από τα ΓΕΛ αλλά και του πολυπληθέστατου(θα είναι) καθηγητικού δυναμικού.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση