Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

#15

Ας δούμε την (απλούστερη ίσως) απόδειξη η οποία προέκυψε στη συζήτηση της πρότασης του Σπύρου Παναγιωτόπουλου (spege) Εδώ.

$\bullet$ Ορίζουμε το σημείο

μεταξύ των $I,\ N,$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle \frac{XI}{XN} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(1)$ όπου $I,\ r,$ είναι το έγκεντρο και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (I)

και $N,\ R_{N},$ είναι το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου Euler (N)

του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Στο τρίγωνο $\vartriangle NII_{a}$ με διατέμνουσα την $AXF_{a}$ , όπου $F_{a}\equiv NI_{a}\cap AX$ , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε ότι

$\displaystyle \frac{XI}{XN}\cdot \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}}\cdot \frac{AI_{a}}{AI} =1\ \ \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}} = \frac{XN}{XI}\cdot \frac{AI}{AI_{a}} = \frac{R_{N}}{r}\cdot \frac{r}{R_{a}} = \frac{R_{N}}{R_{a}}\ \ \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}} = \frac{R_{N}}{R_{a}}\ \ \ ,(2)$

Από (2)

συμπεραίνεται ότι ο κύκλος Euler (N)

και ο

-παρεγγεγραμμένος κύκλος $(I_{a})$ του $\vartriangle ABC,$ εφάπτονται στο σημείο $F_{a}.$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (N)

εφάπτεται και στους άλλους δύο παρεγγεγραμμένους κύκλους του $\vartriangle ABC.$

: Θεώρημα Feuerbach.; f=112_t=12359(a).PNG (55.03 KiB) Προβλήθηκε 3066 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle ABT,$ λόγω των διχοτόμων $BI,\ BI_{a}$ της γωνίας $\angle B,$ έχουμε ότι η σημειοσειρά $A,\ I,\ T,\ I_{a}$ , όπου $T\equiv BC\cap AI,$ είναι αρμονική και άρα, η δέσμη $F_{a}.AITI_{a}$ είναι επίσης αρμονική και έστω το σημείο $F\equiv IN\cap F_{a}T.$

Επομένως, η σημειοσειρά $F,\ I,\ X,\ N,$ ως η τομή της ως άνω αρμονικής δέσμης από την ευθεία IN,

είναι αρμονική και προκύπτει έτσι ότι $\displaystyle \frac{FI}{FN} = \frac{XI}{XN} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(3)$

Από (3)

συμπεραίνεται ότι ο κύκλος Euler (N)

και ο εγγεγραμμένος κύκλος (I)

του $\vartriangle ABC,$ εφάπτονται στο σημείο

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

spege · #16

Κώστα πολύ ωραία
Την απόδειξη που έχω εγώ είναι με λόγο εμβαδών, πολύ μικρή. Εκείνο που με μάγεψε και εμένα είναι η αρμονικότητα που προκύπτει από το σημείο Χ.
Τι να τους κάνει τους μιγαδικούς ή την αντιστροφή αφού δεν έχουν «άρωμα» Γεωμετρίας.
Ελπίζω τώρα να ησύχασε και ο Μπάμπης
Σπύρος

#17

Σπύρο, αν δεν ησύχασε ο Μπάμπης, καλώς έκανε. Εγώ πάντως, κακώς δεν υποψιάστηκα ότι μπορεί να είναι λανθασμένη αυτή η τόσο απλή προσέγγιση.

Πράγματι υπάρχει καραμπινάτο λάθος, γιατί όπως μου επεσήμανε ο φίλτατος Στάθης Κούτρας, από τις ισότητες $(2),\ (3)$ πιο πάνω, δεν προκύπτουν τα συμπεράσματα που επικαλέστηκα.

Άνθρακες λοιπόν ο θησαυρός και δεν ξέρω αν σώζεται αυτή η απόδειξη, πάντως σίγουρα όχι από μένα.

$\bullet$ Από την (2)

για παράδειγμα, συμπεραίνεται ότι το $F_{a}$ είναι το εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των κύκλων $(N),\ (I_{a}),$ με ακτίνες $R_{N},\ R_{a}$ αντιστοίχως, αλλά δεν είναι απαραίτητο να ισχύει $NI_{a} = R_{N} + R_{a}$ ώστε οι κύκλοι να εφάπτονται εξωτερικά στο $F_{a}$ .

Ομοίως, από την (3)

προκύπτει ότι το

είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των κύκλων $(N),\ (I),$ αλλά δεν τεκμηριώνεται ότι ισχύει $NI = R_{N} - r$ , ώστε οι κύκλοι να εφάπτονται εσωτερικά στο

.

Στάθη σ' ευχαριστώ θερμά για την επισήμανση της "πατάτας", την οποία δεν πήρα χαμπάρι και ζητώ συγνώμη που σας ταλαιπώρησα με την αβλεψία μου αυτή ( χαρακτηρίστε την ελεύθερα ).

Κώστας Βήττας.

spege · #18

Κώστα μάλλον έχει δίκιο ο Στάθης Δεν είχα κάποια σκέψη κάνει για το αντίστροφο που δεν το κρύβω με ενθουσίασε όταν το έγραψες.
Υπόσχομαι με τις σκέψεις σου να οδηγηθώ ίσως κάπου.
Πάντως δυο κύκλοι έχουν και δυο κέντρα ομοιοθεσίας με λόγο το λόγο των ακτίνων τους που αν εφάπτονται το ένα είναι το σημείο επαφής.
Θα δούμε.
Σπύρος

#19

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Επειδή τις μέρες αυτές βρίσκομαι στη μελέτη του θεωρήματος Feuerbach ( Ο κύκλος του Euler εφάπτεται του εγγεγραμμένου και των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου ), θεωρώ σημαντική τη συμβολή σας στην επιλογή των δυο πιο κατανοητών αποδείξεων. Θα ήθελα μια απόδειξη συνθετική και μια μετρική.
Την απόδειξη με αντιστροφή, θα την άφηνα για τρίτο τρόπο, μια και οι μικρότεροι μαθητές δεν γνωρίζουν την μέθοδο αυτή.
Ρίξτε μια ματιά στις πηγές σας και το κουβεντιάζουμε.

Μπάμπης

Λήμμα
Δίνεται κύκλος , ένα σταθερό σημείο εκτός αυτού, και η εφαπτομένη $(\epsilon)$ του κύκλου σε ένα σταθερό σημείο του . Από το σημείο φέρνουμε μεταβλητή ευθεία που τέμνει την εφαπτομένη στο σημείο και στην προέκταση της παίρνουμε ένα σημείο , ώστε το γινόμενο $\displaystyle{AM \cdot AN}$ να είναι ίσο με τη δύναμη του ως προς τον κύκλο . Ο γεωμετρικός τόπος του σημείου είναι κύκλος που εφάπτεται στον .
Απόδειξη εδώ

: Feuerbach-1.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 2523 φορές

Έστω

τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC

. Θα δείξω ότι ο κύκλος (M, N, P)

, δηλαδή ο κύκλος του Euler

, εφάπτεται των (I,r),(I_a, r_a)

.
Έστω

η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων που τέμνει την

στο

, την

στο

, τη

στο

και τη

στο

. Έστω ακόμα D, T

οι προβολές των I, I_a

στη

αντίστοιχα.
Αν η

τέμνει την

στο

, τότε η

διέρχεται από το

και

είναι το μέσον της

.

Είναι $\displaystyle{CD = s - c,BT = BD + DT = s - b + b - c \Rightarrow CD = BT}$ , οπότε το

είναι το μέσο της DT=b-c

και $\displaystyle{DM = MT = \frac{{b - c}}{2} = \frac{{AE - AB}}{2} = \frac{{EB}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{DM = MT = MK = \frac{{EB}}{2}}$ (1)

Οι ευθείες CA, CB, CE

αποτελούν κεντρική δέσμη με κέντρο το

, καθώς επίσης και οι BC, EE_1, AK

με κέντρο το

. Άρα:

$\displaystyle{\frac{{MK}}{{MN}} = \frac{{EB}}{{EA}}}$ και $\displaystyle{\frac{{MZ}}{{MK}} = \frac{{EB}}{{EA}} \Rightarrow M{K^2} = MZ \cdot MN\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$

$\boxed{M{K^2} = M{D^2} = D{T^2} = MZ \cdot MN}$ .

Αλλά MD^2

είναι η δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (I)

και

η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (I_a)

. Σύμφωνα λοιπόν με το παραπάνω Λήμμα , το

ανήκει σε κύκλο που εφάπτεται στους κύκλους (I), (I_a)

. Ομοίως και για τα σημεία M, P

και το θεώρημα απεδείχθη.

Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Re: Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Re: Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Re: Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Re: Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Re: Θεώρημα Feuerbach - Αποδείξεις

Μέλη σε σύνδεση