Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

freyia · #141

14. Έχουμε έναν αριθμό με $\displaystyle{1000}$ ψηφία της μορφής $\displaystyle{20082008 ... 2008}$ (συνεχής επανάληψη του $\displaystyle{2008}$ ). Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός από ψηφία που πρέπει να σβήσουμε ώστε το άθροισμα τψν υπολοίπων να είναι $\displaystyle{2008}$ ;

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2008)[/quote]

Για να σβήσουμε όσα περισσότερα μποροιύμε ψηφία, πρέπει να κρατήσουμε τα πιο μεγάλα. Τα μεγαλύτερα από όλα τα ψηφία είναι τα οκτάρια, που όλα μαζί είναι $\displaystyle{1000:4=250}$ . Άμα προσθέσουμε τα $\displaystyle{250}$ αυτά οκτάρια, θα βρούμε άθροισμα $\displaystyle{250.8=2000}$ . Μέχρι το $\displaystyle{2008}$ μας λείπει το άθροισμα $\displaystyle{8}$ και έτσι θα κρατήσουμε τέσσερα δυάρια.
Επομένως θα σβήσουμε όλα τα μηδενικά που είναι $\displaystyle{1000:2=500}$ και όλα τα δυάρια εκτός από τέσσερα που κρατήσαμε που είναι $\displaystyle{250-4=246}$ . Επομένως θα σβήσουμε τελικά $\displaystyle{500+246=746}$ ψηφία.

#142

Για την Α και Β Γυμνασίου

1. Πέντε σημεία , τα $\displaystyle{A=(2006,2007) , B=(2007,2006) , C=(-2006,-2007) , D=(2006,-2007) , E=(2007,-2006)}$ , είναι σημειωμένα σε ένα σύστημα αξόνων. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα που είναι οριζόντιο είναι το

Α) $\displaystyle{AD}$ , Β) $\displaystyle{BE}$ , Γ) $\displaystyle{BC}$ , Δ) $\displaystyle{CD}$ , Ε) $\displaystyle{AB}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

2. Αν ο $\displaystyle{x}$ είναι ακέραιος αριθμός μικρότερος του $\displaystyle{0}$ , ποιος από τους ακόλουθους είναι ο πιο μεγάλος;

Α) $\displaystyle{x+1}$ , Β) $\displaystyle{2x}$ , Γ) $\displaystyle{-2x}$ , Δ) $\displaystyle{6x+2}$ , Ε) $\displaystyle{x-2}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

3. Πόσους διαιρέτες έχει ο $\displaystyle{3600}$ ;

Α) $\displaystyle{6}$ , Β) $\displaystyle{9}$ , Γ) $\displaystyle{27}$ , Δ) $\displaystyle{45}$ , Ε) $\displaystyle{300}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

4. Γράφουμε στη σειρά τους διαδοχικούς αριθμούς :

$\displaystyle{216 , 217 , 218 , ... , 682 , 683 , 684}$ . Ποιος από αυτούς έχει την ιδιότητα: "Οι αριθμοί στην παραπάνω σειρά που είναι μεγαλύτεροί του είναι διπλάσιοι από αυτούς που είναι μικρότεροί του"

Α) $\displaystyle{341}$ , Β) $\displaystyle{371}$ , Γ) $\displaystyle{372}$ , Δ) $\displaystyle{373}$ , Ε) $\displaystyle{374}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

5. Ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός διαιρέθηκε με το $\displaystyle{9}$ . Το αποτέλεσμα ήταν ένας φυσικός αριθμός του οποίου το άθροισμα των ψηφίων μειώθηκε κατά $\displaystyle{9}$ . Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί έχουν αυτήν την ιδιότητα;

Α) $\displaystyle{1}$ , Β) $\displaystyle{2}$ , Γ) $\displaystyle{4}$ , Δ) $\displaystyle{5}$ , Ε) $\displaystyle{11}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ 2007)

6. Ένα περίεργο κομπιουτεράκι μπορεί να κάνει μόνο τα εξής: αν γράψουμε έναν αριθμό στην οθόνη του τότε είτε α) τον πολλαπλασιάζει επί $\displaystyle{2}$ ή επί $\displaystyle{3}$ , είτε β) τον υψώνει στην δύναμη $\displaystyle{2}$ ή στην δύναμη $\displaystyle{3}$ . Αρχίζοντας από τον αριθμό $\displaystyle{15}$ , ποιος από τους ακόλουθους αριθμούς μπορεί να προκύψει χρησιμοποιόντας το περίεργο κομπιουτεράκι $\displaystyle{5}$ φορές διαδοχικά;

Α) $\displaystyle{2^{8}.3^{5}.5^{6}}$ , Β) $\displaystyle{2^{8}.3^{4}.5^{2}}$ , Γ) $\displaystyle{2^{3}.3^{3}.5^{3}}$ , Δ) $\displaystyle{2^{6}.3^{6}.5^{4}}$ , Ε) $\displaystyle{2.3^{2}.5^{6}}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

freyia · #143

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

1. Πέντε σημεία , τα $\displaystyle{A=(2006,2007) , B=(2007,2006) , C=(-2006,-2007) , D=(2006,-2007) , E=(2007,-2006)}$ , είναι σημειωμένα σε ένα σύστημα αξόνων. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα που είναι οριζόντιο είναι το

Α) $\displaystyle{AD}$ , Β) $\displaystyle{BE}$ , Γ) $\displaystyle{BC}$ , Δ) $\displaystyle{CD}$ , Ε) $\displaystyle{AB}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

2. Αν ο $\displaystyle{x}$ είναι ακέραιος αριθμός μικρότερος του $\displaystyle{0}$ , ποιος από τους ακόλουθους είναι ο πιο μεγάλος;

Α) $\displaystyle{x+1}$ , Β) $\displaystyle{2x}$ , Γ) $\displaystyle{-2x}$ , Δ) $\displaystyle{6x+2}$ , Ε) $\displaystyle{x-2}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

Για το 1.

Η σωστή απάντηση είναι το Δ) δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα

Για το 2.

Η σωστή απάντηση είναι το Γ) δηλαδή ο αριθμός -2x

freyia · #144

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

3. Πόσους διαιρέτες έχει ο $\displaystyle{3600}$ ;

Α) $\displaystyle{6}$ , Β) $\displaystyle{9}$ , Γ) $\displaystyle{27}$ , Δ) $\displaystyle{45}$ , Ε) $\displaystyle{300}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

ΛΥΣΗ

$\displaystyle{3600=36.100=4.9.4.25=2^{4}.3^{2}.5^{2}}$ . Επομένως οι διαιρέτες είναι οι αριθμοί:

$1 , 2 , 2^{2} , 2^{3} , 2^{4} , 3 , 3^{2} , 5 , 5^{2} , 2.3 , 2^{2}.3 , 2^{3}.3 , 2^{4}.3 , 2.3^{2} , 2^{2}.3^{2} ,$ $2^{3}.3^{2} , 2^{4}.3^{2} , 2.5 , 2^{2}.5 , 2^{3}.5 , 2^{4}.5 , 2.5^{2} , 2^{2}.5^{2} , 2^{3}.5^{2} , 2^{4}.5^{2} ,$ $3.5 , 3^{2}.5 , 3.5^{2} ,$
$3^{2}.5^{2} , 2.3.5 , 2^{2}.3.5 , 2^{3}.3.5 , 2^{4}.3.5 , 2.3^{2}.5 , 2^{2}.3^{2}.5 , 2^{3}.3^{2}.5 , 2^{4}.3^{2}.5 ,$ $2.3.5^{2} , 2^{2}.3.5^{2} , 2^{3}.3.5^{2} ,$
$2^{4}.3.5^{2} , 2.3^{2}.5^{2} , 2^{2}.3^{2}.5^{2} , 2^{3}.3^{2}.5^{2} , 2^{4}.3^{2}.5^{2}$

Το σωστό πρέπει να είναι το Δ) δηλαδή

διαιρέτες.

Υπάρχει κάποιος πιο απλός τρόπος;

#145

freyia έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

3. Πόσους διαιρέτες έχει ο $\displaystyle{3600}$ ;

Α) $\displaystyle{6}$ , Β) $\displaystyle{9}$ , Γ) $\displaystyle{27}$ , Δ) $\displaystyle{45}$ , Ε) $\displaystyle{300}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)
ΛΥΣΗ

$\displaystyle{3600=36.100=4.9.4.25=2^{4}.3^{2}.5^{2}}$ . Επομένως οι διαιρέτες είναι οι αριθμοί:

$1 , 2 , 2^{2} , 2^{3} , 2^{4} , 3 , 3^{2} , 5 , 5^{2} , 2.3 , 2^{2}.3 , 2^{3}.3 , 2^{4}.3 , 2.3^{2} , 2^{2}.3^{2} ,$ $2^{3}.3^{2} , 2^{4}.3^{2} , 2.5 , 2^{2}.5 , 2^{3}.5 , 2^{4}.5 , 2.5^{2} , 2^{2}.5^{2} , 2^{3}.5^{2} , 2^{4}.5^{2} ,$ $3.5 , 3^{2}.5 , 3.5^{2} ,$
$3^{2}.5^{2} , 2.3.5 , 2^{2}.3.5 , 2^{3}.3.5 , 2^{4}.3.5 , 2.3^{2}.5 , 2^{2}.3^{2}.5 , 2^{3}.3^{2}.5 , 2^{4}.3^{2}.5 ,$ $2.3.5^{2} , 2^{2}.3.5^{2} , 2^{3}.3.5^{2} ,$
$2^{4}.3.5^{2} , 2.3^{2}.5^{2} , 2^{2}.3^{2}.5^{2} , 2^{3}.3^{2}.5^{2} , 2^{4}.3^{2}.5^{2}$

Το σωστό πρέπει να είναι το Δ) δηλαδή διαιρέτες.

Υπάρχει κάποιος πιο απλός τρόπος;

Ναι υπάρχει. Έχεις δείξει ότι ο αριθμός $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ έχει 45 = (4+1)(2+1)(2+1)

διαιρέτες. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Αντί όμως να εξηγήσω γιατί ισχύει θα σε αφήσω πρώτα να το σκεφτείς για λίγο.

#146

freyia έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

3. Πόσους διαιρέτες έχει ο $\displaystyle{3600}$ ;

Α) $\displaystyle{6}$ , Β) $\displaystyle{9}$ , Γ) $\displaystyle{27}$ , Δ) $\displaystyle{45}$ , Ε) $\displaystyle{300}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)
ΛΥΣΗ

$\displaystyle{3600=36.100=4.9.4.25=2^{4}.3^{2}.5^{2}}$ . Επομένως οι διαιρέτες είναι οι αριθμοί:

$1 , 2 , 2^{2} , 2^{3} , 2^{4} , 3 , 3^{2} , 5 , 5^{2} , 2.3 , 2^{2}.3 , 2^{3}.3 , 2^{4}.3 , 2.3^{2} , 2^{2}.3^{2} ,$ $2^{3}.3^{2} , 2^{4}.3^{2} , 2.5 , 2^{2}.5 , 2^{3}.5 , 2^{4}.5 , 2.5^{2} , 2^{2}.5^{2} , 2^{3}.5^{2} , 2^{4}.5^{2} ,$ $3.5 , 3^{2}.5 , 3.5^{2} ,$
$3^{2}.5^{2} , 2.3.5 , 2^{2}.3.5 , 2^{3}.3.5 , 2^{4}.3.5 , 2.3^{2}.5 , 2^{2}.3^{2}.5 , 2^{3}.3^{2}.5 , 2^{4}.3^{2}.5 ,$ $2.3.5^{2} , 2^{2}.3.5^{2} , 2^{3}.3.5^{2} ,$
$2^{4}.3.5^{2} , 2.3^{2}.5^{2} , 2^{2}.3^{2}.5^{2} , 2^{3}.3^{2}.5^{2} , 2^{4}.3^{2}.5^{2}$

Το σωστό πρέπει να είναι το Δ) δηλαδή διαιρέτες.

Υπάρχει κάποιος πιο απλός τρόπος;

Να δώσω και εγώ μια υπόδειξη παρόμοια με αυτήν του Demetres, όπως είναι γραμμένη στο βιβλίο που δίνεται σε όλους όσους παίρνουν μέρος στον διαγωνισμό ΚΑΓΚΟΥΡΟ:

Οι διαιρέτες του $\displaystyle{3600}$ είναι της μορφής $\displaystyle{2^{a}.3^{b}.5^{c}}$ , όπου ο $\displaystyle{a}$ παίρνει τις τιμές $\displaystyle{0 , 1 , 2 , 3 , 4}$ , ο $\displaystyle{b}$ παίρνει τις τιμές $\displaystyle{0 , 1 ,2}$ και ο $\displaystyle{c}$ παίρνει τις τιμές $\displaystyle{0 , 1 , 2}$ .
Κάνε τώρα τον κατάλληλο συλλογισμό...

freyia · #147

Ευχαριστώ για τις υποδείξεις

. Πραγματικά έξυπνη η λύση.
Το $\displaystyle{2^{a}}$ , έχει $\displaystyle{5}$ δυνατές τιμές, το $\displaystyle{3^{b}}$ , $\displaystyle{3}$ και το $\displaystyle{5^{c}}$ , $\displaystyle{3}$ δυνατές τιμές. Άρα το
$\displaystyle{2^{a}.3^{b}.5^{c}}$ έχει $\displaystyle{5.3.3=45}$ δυνατές τιμές.

freyia · #148

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

4. Γράφουμε στη σειρά τους διαδοχικούς αριθμούς :

$\displaystyle{216 , 217 , 218 , ... , 682 , 683 , 684}$ . Ποιος από αυτούς έχει την ιδιότητα: "Οι αριθμοί στην παραπάνω σειρά που είναι μεγαλύτεροί του είναι διπλάσιοι από αυτούς που είναι μικρότεροί του"

Α) $\displaystyle{341}$ , Β) $\displaystyle{371}$ , Γ) $\displaystyle{372}$ , Δ) $\displaystyle{373}$ , Ε) $\displaystyle{374}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

5. Ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός διαιρέθηκε με το $\displaystyle{9}$ . Το αποτέλεσμα ήταν ένας φυσικός αριθμός του οποίου το άθροισμα των ψηφίων μειώθηκε κατά $\displaystyle{9}$ . Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί έχουν αυτήν την ιδιότητα;

Α) $\displaystyle{1}$ , Β) $\displaystyle{2}$ , Γ) $\displaystyle{4}$ , Δ) $\displaystyle{5}$ , Ε) $\displaystyle{11}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ 2007)

Για την 4. μήπως λείπει κάτι από την εκφώνηση;

Για την 5. Θα υποθέσω ότι ο τριψήφιος αριθμός έχει τα ψηφία $\displaystyle{x,y, z}$ , $\displaystyle{x}$ το ψηφίο των εκατοντάδων και $\displaystyle{z}$ αυτό των μονάδων. Αφού ο τριψήφιος αριθμός διαιρείται ακριβώς με τον $\displaystyle{9}$ πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ και επομένως το πηλίκο είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ μείον $\displaystyle{9}$ δηλαδή το πηλίκο της διαίρεσης είναι $\displaystyle{9k-9=9(k-1)}$ . Επομένως το πηλίκο είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ . Και επειδή ο διαιρετέος αριθμός είναι τριψήφιος, το πηλίκο δεν πρέπει να είναι πιο μεγάλο από τον $\displaystyle{111}$ επειδή $\displaystyle{111.9=999}$
Τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{9}$ που είναι κάτω από τον $\displaystyle{111}$ είναι: $\displaystyle{9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 , 90 , 99 , 108}$ και αυτοί οι αριθμοί είναι τα πιθανά πηλίκα της διαίρεσης. Επομένως οι τριψήφιοι αριθμοί που επαληθεύουν την απαίτηση της άσκησης είναι: $\displaystyle{18.9 , 27.9 , ... , 108.9}$ και είναι $\displaystyle{11}$ το πλήθος τους

ΣΩΣΤΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ Ε)

#149

freyia έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

4. Γράφουμε στη σειρά τους διαδοχικούς αριθμούς :

$\displaystyle{216 , 217 , 218 , ... , 682 , 683 , 684}$ . Ποιος από αυτούς έχει την ιδιότητα: "Οι αριθμοί στην παραπάνω σειρά που είναι μεγαλύτεροί του είναι διπλάσιοι από αυτούς που είναι μικρότεροί του"

Α) $\displaystyle{341}$ , Β) $\displaystyle{371}$ , Γ) $\displaystyle{372}$ , Δ) $\displaystyle{373}$ , Ε) $\displaystyle{374}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

Για την 4. μήπως λείπει κάτι από την εκφώνηση;

Ναι, πρέπει να δώσω μια προσθήκη: Το πλήθος των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από τον ζητούμενο αριθμόι (δηλαδή αυτών που βρίσκονται από τα δεξιά του) να είναι διπλάσιο από το πλήθος αυτών που είναι μικρότεροί του (δηλαδή αυτών που βρίσκονται από τα αριστερά του.)

Τώρα νομίζω ότι θα την λύσεις

#150

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου

(1) Η ώρα είναι $\displaystyle{9}$ το πρωί και οδηγώ ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα $\displaystyle{100}$ Km/h. Με αυτήν την ταχύτητα έχω βενζίνα για απόσταση $\displaystyle{80}$ Km. Η ποσότητα της βενζίνας που καταναλώνει το αυτοκίνητό μου είναι αντιστρόφως ανάλογη της ταχύτητάς του. Αν το πλησιέστερο βενζινάδικο είναι σε απόσταση $\displaystyle{100}$ Km , πότε το νωρίτερο μπορώ να φτάσω στο βενζινάδικο;.

Α) Στις $\displaystyle{10}$ η ώρα και $\displaystyle{12}$ ΄ , Β) Στις $\displaystyle{10}$ η ώρα και $\displaystyle{15}$ ΄, Γ) Στις $\displaystyle{10}$ η ώρα και $\displaystyle{20}$ ΄

Δ) Στις $\displaystyle{10}$ η ώρα και $\displaystyle{25}$ ΄, Ε) Στις $\displaystyle{10}$ η ώρα και $\displaystyle{30}$ ΄.

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2007)

(2) Κατασκευάζουμε ένα τραπέζιο αφαιρώντας μία γωνία από ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Κατόπιν τοποθετούμε δύο αντίγραφα του τραπεζίου το ένα δίπλα στο άλλο, ώστε να σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι κατά $\displaystyle{10}$ cm ,μεγαλύτερη από την περίμετρο του αρχικού τριγώνου. Πόση είναι η περίμετρος του αρχικού τριγώνου;

Α) $\displaystyle{10}$ cm , Β) $\displaystyle{30}$ cm , Γ) $\displaystyle{40}$ cm, Δ) $\displaystyle{60}$ cm , Ε)δεν επαρκούν οι πληροφορίες

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2007)

(3) Μια σειρά από γράμματα ΚΑΓΚΟΥΡΟΚΑΓΚΟΥΡΟΚΑΓΚΟΥΡΟ...ΚΑΓΚΟΥΡΟ περιέχει $\displaystyle{20}$ φορές , χωρίς κενά, την λέξη ΚΑΓΚΟΥΡΟ. Πρώτα σβήνουμε όλα τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις. Από αυτά που μένουν, σβήνουμε πάλι όλα τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να μείνει στο τέλος μόνο ένα γράμμα. Ποιο είναι αυτό το γράμμα;

Α) Κ , Β) Α , Γ) Γ , Δ) Ρ , Ε) Ο

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

(4) Δύο σχολεία παίρνουν μέρος στο ενδοσχολικό πρωτάθλημα πινγκ - πονγκ. Κάθε σχολείο έχει από $\displaystyle{5}$ αθλητές. Σε κάθε ματς παίζουν δύο αθλητές του ενός σχολείου εναντίον δύο αθλητών του άλλου σχολείου, και αυτό γίνεται με όλους τους δυνατούς τρόπους. Κάθε ζευγάρι από το ένα σχολείο αντιμετωπίζει κάθε ζευγάρι του άλλου σχολείου ακριβώς μία φορά. Σε πόσα ματς θα παίξει ο κάθε μαθητής;

Α) σε $\displaystyle{10}$ , Β) σε $\displaystyle{20}$ , Γ) σε $\displaystyle{30}$ , Δ) σε $\displaystyle{40}$ , Ε) σε $\displaystyle{50}$

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

5) Ένα κέρμα διαμέτρου $\displaystyle{1}$ cm κυλά (χωρίς να γλυστρά) εξωτερικά γύρω από την περίμετρο ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $\displaystyle{1}$ cm. Πόσα εκατοστά είναι το μήκος της καμπύλης που διατρέχει το κέντρο του κέρματος όταν ξαναβρεθεί στην αρχική του θέση;

Α) $\displaystyle{6+\frac{\pi }{2}}$ , Β) $\displaystyle{6+\pi}$ , Γ) $\displaystyle{12+\pi}$ , Δ) $\displaystyle{6+2\pi}$ , Ε) $\displaystyle{12+2\pi}$

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

(6) Πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στους $\displaystyle{843650}$ και $\displaystyle{843723}$ που να είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{18}$ ;

Α) $\displaystyle{1}$ , Β) $\displaystyle{2}$ , Γ) $\displaystyle{3}$ , Δ) $\displaystyle{4}$ , Ε) $\displaystyle{5}$

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2007)

(7) Έστω $\displaystyle{A}$ ο μικρότερος φυσικός αριθμός με την ακόλουθη ιδιότητα: Ο $\displaystyle{10A}$ είναι τέλειο τετράγωνο και ο $\displaystyle{6A}$ είναι τέλειος κύβος. Αν τώρα γράψουμε τον $\displaystyle{A}$ ως γινόμενο παραγόντων στην μορφή $\displaystyle{A=2^{a}3^{b}5^{c}}$ , με πόσο ισούται το άθροισμα $\displaystyle{a+b+c}$ ;

Α) $\displaystyle{2}$ , Β) $\displaystyle{4}$ , Γ) $\displaystyle{6}$ , Δ) $\displaystyle{9}$ , Ε) $\displaystyle{10}$

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2007)

(8) Αν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^{2}-3x+1=0}$ είναι $\displaystyle{r}$ και $\displaystyle{s}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $\displaystyle{r^{3}+s^{3}}$

A) $\displaystyle{4}$ , Β) $\displaystyle{8}$ , Γ) $\displaystyle{9}$ , Δ) $\displaystyle{11}$ , Ε) Άλλη απάντηση

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

(9) Ένας αριθμός έχει $\displaystyle{100}$ ψηφία. Τα $\displaystyle{10}$ τελευταία ψηφία του είναι τα $\displaystyle{5792365435}$ . Πόσο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσής του διά $\displaystyle{8}$ ;

Α) $\displaystyle{0}$ , Β) $\displaystyle{1}$ , Γ) $\displaystyle{2}$ , Δ) $\displaystyle{3}$ , Ε) $\displaystyle{4}$

Ch.Chortis · #151

Άσκηση 8 παίρνοντας τους τύπους Vieta έχουμε: $\displaystyle \frac {-b} {a}=r+s=\frac {-(-3)} {1}=3$ και $\displaystyle \frac {c} {a}=rs=1$ .Ξέροντας τώρα $\displaystyle(r+s)^3=3^3=27$ απλά αντικαθιστούμε με τις τιμές: $\displaystyle r^3+s^3+3rs^2+3sr^2=27 \leftrightarrow r^3+s^3+3rs(s+r)=27 \leftrightarrow r^3+s^3+3*3=27 \leftrightarrow r^3+s^3=27-9=18$ .Άρα το Ε

Ch.Chortis · #152

Άσκηση 6Από το

ως το

υπάρχουν $\displaystyle \frac {843723} {18}=46873$ πολλαπλάσια του

ενώ από το

ως το

υπάρχουν $\displaystyle \frac {843650} {18}=46869$ (πολλ. του

).Αφαιρώντας τα δύο αποτελέσματα βρίσκουμε: $\displaystyle 46873-46869=4$ .Επομένως σωστή απάντηση η Δ.

#153

Ch.Chortis έγραψε:Άσκηση 6Από το ως το υπάρχουν $\displaystyle \frac {843723} {18}=46873$ πολλαπλάσια του ενώ από το ως το υπάρχουν $\displaystyle \frac {843650} {18}=46869$ (πολλ. του ).Αφαιρώντας τα δύο αποτελέσματα βρίσκουμε: $\displaystyle 46873-46869=4$ .Επομένως σωστή απάντηση η Δ.

Ωραία. Ξαναδές την τώρα χωρίς να κάνεις καμία διαίρεση. Άλλωστε το γεγονός ότι οι αριθμοί που δίνονται είναι μεγάλοι, είναι ένα μήνυμα για να ΜΗΝ κάνεις διαίρεση.

Θα δώσω μόνο υπόδειξη: Απο κριτήριο διαιρετότητας του 9, τι υπόλοιπο δίνει ο αρχικός αριθμός (δηαλαδή ο 843650

) ὀταν διαιρεθεί με το 9;
Μετά αιτιολόγησε γιατί τι πρώτο πολλαπλάσιο του 18 μετά τον 843650

είναι το

. Ποιό είναι το μεθεπόμενο; Και λοιπά.

Μ.

Ch.Chortis · #154

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ch.Chortis έγραψε:Άσκηση 6Από το ως το υπάρχουν $\displaystyle \frac {843723} {18}=46873$ πολλαπλάσια του ενώ από το ως το υπάρχουν $\displaystyle \frac {843650} {18}=46869$ (πολλ. του ).Αφαιρώντας τα δύο αποτελέσματα βρίσκουμε: $\displaystyle 46873-46869=4$ .Επομένως σωστή απάντηση η Δ.
Ωραία. Ξαναδές την τώρα χωρίς να κάνεις καμία διαίρεση. Άλλωστε το γεγονός ότι οι αριθμοί που δίνονται είναι μεγάλοι, είναι ένα μήνυμα για να ΜΗΝ κάνεις διαίρεση.
Θα δώσω μόνο υπόδειξη: Απο κριτήριο διαιρετότητας του 9, τι υπόλοιπο δίνει ο αρχικός αριθμός (δηαλαδή ο ) ὀταν διαιρεθεί με το 9;
Μετά αιτιολόγησε γιατί τι πρώτο πολλαπλάσιο του 18 μετά τον είναι το . Ποιό είναι το μεθεπόμενο; Και λοιπά.
Μ.

Αν κατάλαβα καλά (το ελπίζω) προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού 843650

και βρίσκουμε: 8+4+3+6+5+0=26

που σημαίνει οτι χρειάζεται ακόμα

ο αριθμός για να γίνει πολλ. του

.Δηλαδή το 843651

και το

είναι τα επόμενα πολλ. του

.Από αυτά τα δύο το δεύτερο είναι πολλ. του

αφού το

διαιρεί μόνο τα ζυγά πολλ. του

.Κάνοντας απλή πρόσθεση στη συνέχεια, με το +18

βρίσκουμε οτι τα πολλαπλάσια του

ανάμεσα στο 843650

και το

είναι

.ΥΣ:Σας ευχαριστώ για την προσοχή Κ.Λάμπρου

#155

Ch.Chortis έγραψε: Αν κατάλαβα καλά (το ελπίζω) προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού και βρίσκουμε: που σημαίνει οτι χρειάζεται ακόμα ο αριθμός για να γίνει πολλ. του .Δηλαδή το και το είναι τα επόμενα πολλ. του .Από αυτά τα δύο το δεύτερο είναι πολλ. του αφού το διαιρεί μόνο τα ζυγά πολλ. του .Κάνοντας απλή πρόσθεση στη συνέχεια, με το βρίσκουμε οτι τα πολλαπλάσια του ανάμεσα στο και το είναι .ΥΣ:Σας ευχαριστώ για την προσοχή Κ.Λάμπρου

freyia · #156

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Α και Β Γυμνασίου

4. Γράφουμε στη σειρά τους διαδοχικούς αριθμούς :

$\displaystyle{216 , 217 , 218 , ... , 682 , 683 , 684}$ . Ποιος από αυτούς έχει την ιδιότητα: "Οι αριθμοί στην παραπάνω σειρά που είναι μεγαλύτεροί του είναι διπλάσιοι από αυτούς που είναι μικρότεροί του"

Α) $\displaystyle{341}$ , Β) $\displaystyle{371}$ , Γ) $\displaystyle{372}$ , Δ) $\displaystyle{373}$ , Ε) $\displaystyle{374}$
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

ΛΥΣΗ

Άμα θεωρήσω ότι ο αριθμός που ψάχνω να βρώ είναι ο $\displaystyle{x}$ τότε γράφω όλους τους αριθμούς ως εξής:

$\displaystyle{216 , 217 , 218 , . . . , x-1 , x , x+1 , x+2 , . . . , 684}$ . Τώρα φαίνεται ότι οι αριθμοί που βρίσκονται από τα δεξιά του $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{684-x}$ και οι αριθμοί που βρίσκονται από τα αριστερά είναι $\displaystyle{x-1-215}$ .
Επομένως έχω να λύσω την εξής εξίσωση:

$\displaystyle{684-x=2(x-1-215)\Leftrightarrow 684-x=2x-2-430\Leftrightarrow 3x=1118\Leftrightarrow x=372}$

Συμπέρασμα: Σωστό είναι το Γ)

Νομίζω ότι την έλυσα σωστά.

freyia · #157

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου[/size=150]

(3) Μια σειρά από γράμματα ΚΑΓΚΟΥΡΟΚΑΓΚΟΥΡΟΚΑΓΚΟΥΡΟ...ΚΑΓΚΟΥΡΟ περιέχει $\displaystyle{20}$ φορές , χωρίς κενά, την λέξη ΚΑΓΚΟΥΡΟ. Πρώτα σβήνουμε όλα τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις. Από αυτά που μένουν, σβήνουμε πάλι όλα τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να μείνει στο τέλος μόνο ένα γράμμα. Ποιο είναι αυτό το γράμμα;

Α) Κ , Β) Α , Γ) Γ , Δ) Ρ , Ε) Ο

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

ΛΥΣΗ

Θα γράψω την λέξη ΚΑΓΚΟΥΡΟ δύο μόνο φορές και έτσι θα βγάλω το γενικό συμπέρασμα:

Επόμένως γράφω: ΚΑΓΚΟΥΡΟΚΑΓΚΟΥΡΟ. Διαγράφω τώρα το πρώτο, το τρίτο, το πέμπτο και γενικά όλα τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις. Έτσι θα μείνουνε τα γράμματα: ΑΚΥΟΑΚΥΟ. Ξαναδιαγράφω τα γράμματα που είναι στις περιττές θέσεις και θα μείνουνε τα γράμματα: ΚΟΚΟ. Και άμα ξαναδιαγράψω ομοίως, θα μείνουνε μόνο τα όμικρον.
Μετά, όσες διαγραφές και να κάνω, άμα μείνει ένα γράμμα θα είναι το όμικρον.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Πρέπει να κυκλώσω το Ε)

gauss1988 · #158

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου
(2) Κατασκευάζουμε ένα τραπέζιο αφαιρώντας μία γωνία από ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Κατόπιν τοποθετούμε δύο αντίγραφα του τραπεζίου το ένα δίπλα στο άλλο, ώστε να σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι κατά $\displaystyle{10}$ cm ,μεγαλύτερη από την περίμετρο του αρχικού τριγώνου. Πόση είναι η περίμετρος του αρχικού τριγώνου;

Α) $\displaystyle{10}$ cm , Β) $\displaystyle{30}$ cm , Γ) $\displaystyle{40}$ cm, Δ) $\displaystyle{60}$ cm , Ε)δεν επαρκούν οι πληροφορίες

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2007)

Έστω $\displaystyle{x}$ η πλευρά του τραπεζίου και $\displaystyle{y}$ η μικρή βάση του (αυτή που μένει όταν αποκόψουμε την γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου. Τότε η μεγάλη βάση του τραπεζίου είναι $\displaystyle{x+y}$ . Οπότε το παραλληλόγραμμο έχει πλευρές $\displaystyle{2x+2y}$ και $\displaystyle{x}$ . Άρα πρέπει $\displaystyle{2(x+2y)+2x=3(x+y)+10}$ και από εδώ βρίσκουμε
$\displaystyle{x+y=10}$ . Άρα η περίμετρος του ισοπλεύρου τριγώνου είναι $\displaystyle{3(x+y)=3.10=30}$

freyia · #159

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου
5) Ένα κέρμα διαμέτρου $\displaystyle{1}$ cm κυλά (χωρίς να γλυστρά) εξωτερικά γύρω από την περίμετρο ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $\displaystyle{1}$ cm. Πόσα εκατοστά είναι το μήκος της καμπύλης που διατρέχει το κέντρο του κέρματος όταν ξαναβρεθεί στην αρχική του θέση;

Α) $\displaystyle{6+\frac{\pi }{2}}$ , Β) $\displaystyle{6+\pi}$ , Γ) $\displaystyle{12+\pi}$ , Δ) $\displaystyle{6+2\pi}$ , Ε) $\displaystyle{12+2\pi}$

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

ΛΥΣΗ
Άμα δεν κάνω λάθος, έτσι όπως το φαντάζομαι, το κέντρο του κέρματος διαγράφει έξι εθύγραμμα τμήματα μήκους $\displaystyle{1 cm}$ το κάθε ένα και έξι τόξα με ακτίνα $\displaystyle{0,5 cm}$ και επίκεντρη γωνία $\displaystyle{60}$ μοίρες. Επομένως η διαδρομή που θα κάνει ΄΄εχει μήκος $\displaystyle{6+\frac{\pi .0,5.60}{180}=6+\pi }$

ΣΩΣΤΟ είναι το Β)

Ch.Chortis · #160

Άσκηση 7.Θα πρέπει $\displaystyle a+b+c \leq 10$ καθώς και όλοι οι αριθμοί ακέραιοι $\geq 0$ διαφορετικά ο αριθμός

δε θα ήταν τέλειο τετράγωνο ακεραίου.Επίσης: $\displaystyle 6A=6*2^a*3^b*5^c=6*6^{3n-1}*5^c$ με a=b=3n-1

και $\displaystyle 10A=10*2^a*3^b*5^c=10*10^{2k-1}*3^b$ με a=c=2k-1

αφού

δεν είναι ούτε κύβοι ούτε τετράγωνα.Κάνοντας δοκιμές καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα: Για $\displaystyle a+b+c=2$ είναι τέλειο τετράγωνο (μόνο) ο αριθμός 10A=10*10*1

όμως ο άλλος αριθμός ( $\displaystyle 6A=6*10*1$ δεν είναι τέλειος κύβος.Για $\displaystyle a+b+c=4$ ο αριθμός $\displaystyle 10A=10*10*3^2$ είναι τέλειο τετράγωνο ο οποίος όμως δε δίνει τέλειοι κύβο,ενώ τέλοιος κύβος είναι ο αριθμός: $\displaystyle 6A=6*6^2*1$ ο οποίος με τη σειρά του ΔΕ δίνει τέλειο τετράγωνο.Για $\displaystyle a+b+c=6$ ο αριθμός $\displaystyle 10*10*3^4$ μπορεί να θεωρηθεί τέλειο τετράγωνο αλλά δε δίνει ούτε αυτός τέλειο κύβο.Δεν υπάρχει κανένας αριθμός(όπως τον θέλουμε) για τον οποίο να ισχύει $\displaystyle a+b+c=9$ .Άρα αναγκαστικά σωστή απάντηση είναι το Ε ( $\displaystyle a+b+c=10$ ) και ένας από τους αριθμούς $\displaystyle 10A=10*10*3^8,10*10^3*3^4,10*10^5*10,6A=6*6^5*1$ δίνει και τέλειο τετράγωνο και τέλειο κύβο.ΥΣ:Είμαι σίγουρος οτι υπάρχει και ευκολότερη λύση όμως δεν μπορώ να τη βρώ.

Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Re: Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

Μέλη σε σύνδεση