Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

#141

ΑΣΚΗΣΗ 65:

: SXA4.png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 3330 φορές

Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ , την διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας

και την διχοτόμο της γωνίας

, οι οποίες τέμνονται στο

.
(α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες

και

τέμνονται καθέτως.
(β) Αν επί πλέον δοθεί ότι $\displaystyle{AB=2.BC}$ , να αποδείξετε ότι:
(1) Η γωνία $\displaystyle{DAC}$ είναι ορθή, αν και μόνο αν η γωνία

είναι $\displaystyle{60^{o}}$ .
(ΣΗΜ: Η φράση "αν και μόνο αν", σημαίνει ότι πρέπει να αποδείξουμε το ευθύ και το αντίστροφο. Δηλαδή πρώτα να δείξουμε ότι όταν η γωνία DAC

είναι ορθή τότε η γωνία

θα ισούται με $\displaystyle{60^{o}}$ και ύστερα να δείξουμε ότι όταν η γωνία

ισούται με $\displaystyle{60^{o}}$ , τότε η γωνία $\displaystyle{DAC}$ θα είναι ορθή)
(2) Αν

είναι το σημείιο τομής των ευθειών $\displaystyle{DC}$ και $\displaystyle{AH}$ , τότε η ημιευθεία $\displaystyle{BZ}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{B}$

#142

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 65:

Το συνημμένο SXA4.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ , την διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας και την διχοτόμο της γωνίας , οι οποίες τέμνονται στο .
(α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται καθέτως.
(β) Αν επί πλέον δοθεί ότι $\displaystyle{AB=2.BC}$ , να αποδείξετε ότι:
(1) Η γωνία $\displaystyle{DAC}$ είναι ορθή, αν και μόνο αν η γωνία είναι $\displaystyle{60^{o}}$ .
(ΣΗΜ: Η φράση "αν και μόνο αν", σημαίνει ότι πρέπει να αποδείξουμε το ευθύ και το αντίστροφο. Δηλαδή πρώτα να δείξουμε ότι όταν η γωνία είναι ορθή τότε η γωνία θα ισούται με $\displaystyle{60^{o}}$ και ύστερα να δείξουμε ότι όταν η γωνία ισούται με $\displaystyle{60^{o}}$ , τότε η γωνία $\displaystyle{DAC}$ θα είναι ορθή)
(2) Αν είναι το σημείιο τομής των ευθειών $\displaystyle{DC}$ και $\displaystyle{AH}$ , τότε η ημιευθεία $\displaystyle{BZ}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{B}$

Καλησπέρα!

(α) $\displaystyle{D\widehat AZ = Z\widehat AB = A\widehat ZD = H\widehat ZC = \omega }$ και $\displaystyle{AD||BC \Leftrightarrow \widehat D = Z\hat Cx = 2\varphi }$

Αλλά από το τρίγωνο ADZ

είναι: $\displaystyle{\widehat D + 2\omega = {180^0} \Leftrightarrow 2\varphi + 2\omega = {180^0} \Leftrightarrow \varphi + \omega = {90^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\hat{ZHC}=90^0}$

: Gym 65.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 3309 φορές

(β) 1. Έστω $\widehat{D}=60^0$ , τότε το τρίγωνο ADZ

είναι ισόπλευρο και επειδή AB=2BC

, θα είναι DZ=AZ=ZC

.

Οπότε $\displaystyle{\omega = {60^0} \Leftrightarrow A\widehat ZC = {120^0} \Leftrightarrow Z\widehat AC = A\widehat CZ = {30^0}}$ και κατά συνέπεια $\boxed{\hat{DAC}=90^0}$

Έστω τώρα $\hat{DAC}=90^0$ , τότε: AD=DZ=ZC

και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu D = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\hat{D}=60^0}$

2. $\displaystyle{ZC = CB \Leftrightarrow Z\widehat BC = C\widehat ZB = Z\widehat BA}$

#143

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 63: Δίνεται τρίγωνο ABC και θεωρούμε τα συμμετρικά , των κορυφών και , ως προς τις ευθείες και αντιστοίχως. Αν η γωνία ισούται με $\displaystyle{30^o}$ και η γωνία $\displaystyle{BEC}$ ισούται με $\displaystyle{50^o}$ , α αποδείξετε ότι:
(α) Η γωνία Α του τριγώνου ABC είναι διπλάσια από την γωνία C
(β)

Το συνημμένο SXHMA.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Gym 63.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 3300 φορές

α) Η

είναι μεσοκάθετος της

και η

της

. Τα τρίγωνα λοιπόν ABE, ABD, ECB

είναι ισοσκελή.

$\displaystyle{B\widehat AD = {30^0},E\widehat CZ = {40^0} = A\widehat CH \Rightarrow H\widehat AC = {50^0}}$ . Άρα: $\displaystyle{\widehat A = {30^0} + {50^0} = {80^0} = 2\widehat C}$

β) Από τα ισοσκελή ABE, ABD

προκύπτει άμεσα ότι $\boxed{AE = AB = BD}$

Eυ. N. · #144

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 59: Τέσσερις σάκοι με νομίσματα είναι τέτοιοι ώστε όλα τα νομίσματα σε κάθε σάκο να ζυγίζουν το ίδιο.
Τα νομίσματα ζυγίζουν $\displaystyle{1}$ , ή $\displaystyle{2}$ ή $\displaystyle{3}$ γραμμάρια.
Παίρνουμε ένα νόμισμα από τον πρώτο σάκο, τρία από τον δεύτερο , εννιά από τον τρίτο και 27 από τον τέταρτο σάκο.
Όλα τα νομίσματα που πήραμε ζυγίζουν $\displaystyle{95}$ γραμμάρια.
Να υπολογίσετε το βάρος του κάθε νομίσματος καθενός σάκου.

(ΠΗΓΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, των Κώστα Γκαζούλη και Γιώργου Ρίζου)

Θέτουμε ως

τα γραμμάρια κάθε νομίσματος του πρώτου σάκου, ως

ταγραμμάρια κάθε νομίσματος δεύτερου σάκου, ως

t α γραμμάρια κάθε νομίσματος του τρίτου σάκου και ώς

tα γραμμάρια κάθε νομίσματος του τέταρτου σάκου. Επομένως, ισχύει ότι a+3b+9c+27d=95

ή

Από την

προκύπτει ότι το 95-a

είναι πολλαπλάσιο του 3. Επομένως πρέπει a=2gr

(αφού οι δυνατές τιμές των a,b,c,d

είναι τα

. Η

γίνεται:

ή

Από την

προκύπτει ότι το 31-b

είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει b=1gr

(αφού οι δυνατές τιμές των a,b,c,d

είναι τα

.Επομένως η (2)

γίνεται

ή

. Από την

προκύπτει ότι το 10-c

είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει c=1gr

(αφού οι δυνατές τιμές των a,b,c,d

είναι τα

και

. Συνοψίζοντας έχουμε:
(a,b,c,d)=(2,1,1,3)

#145

Eυ. N. έγραψε: Θέτουμε ως τα γραμμάρια κάθε νομίσματος του πρώτου σάκου, ως ταγραμμάρια κάθε νομίσματος δεύτερου σάκου, ως t α γραμμάρια κάθε νομίσματος του τρίτου σάκου και ώς tα γραμμάρια κάθε νομίσματος του τέταρτου σάκου. Επομένως, ισχύει ότι ή
Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3. Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα . Η γίνεται: ή
Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα .Επομένως η γίνεται ή . Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα και . Συνοψίζοντας έχουμε:

Ευχαριστώ τον (την) Ευ. Ν. για την ενασχόληση.
Θα ήθελα να παρατηρήσω ότι είχα κατά νου πολύ απλούστερη αντιμετώπιση, εφόσον απευθύνεται σε μαθητές Α΄ Γυμνασίου.
Η βασική ιδέα είναι ο αποκλεισμός περιπτώσεων, οπότε κατόπιν απλουστεύει η όλη διαδικασία. Στοιχειώδης αριθμητική είναι αρκετή.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη που αλίευσε το θέμα, αναγράφοντας την πηγή, προσθέτοντας ότι την αρχική ιδέα την εντόπισα σε χειρόγραφες σημειώσεις που κρατούσα από μαθητής, έχοντας χάσει το αρχική πηγή της όμορφης αυτής άσκησης.

ealexiou · #146

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Θέτουμε ως τα γραμμάρια κάθε νομίσματος του πρώτου σάκου, ως ταγραμμάρια κάθε νομίσματος δεύτερου σάκου, ως t α γραμμάρια κάθε νομίσματος του τρίτου σάκου και ώς tα γραμμάρια κάθε νομίσματος του τέταρτου σάκου. Επομένως, ισχύει ότι ή
Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3. Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα . Η γίνεται: ή
Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα .Επομένως η γίνεται ή . Από την προκύπτει ότι το είναι πολλαπλάσιο του 3.Επομένως πρέπει (αφού οι δυνατές τιμές των είναι τα και . Συνοψίζοντας έχουμε:

Ευχαριστώ τον (την) Ευ. Ν. για την ενασχόληση.
Θα ήθελα να παρατηρήσω ότι είχα κατά νου πολύ απλούστερη αντιμετώπιση, εφόσον απευθύνεται σε μαθητές Α΄ Γυμνασίου.
Η βασική ιδέα είναι ο αποκλεισμός περιπτώσεων, οπότε κατόπιν απλουστεύει η όλη διαδικασία. Στοιχειώδης αριθμητική είναι αρκετή.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη που αλίευσε το θέμα, αναγράφοντας την πηγή, προσθέτοντας ότι την αρχική ιδέα την εντόπισα σε χειρόγραφες σημειώσεις που κρατούσα από μαθητής, έχοντας χάσει το αρχική πηγή της όμορφης αυτής άσκησης.

Έστω ότι ο

ος σάκος έχει νομίσματα των

γρ. τότε το μεγαλύτερο δυνατό βάρος που μπορεί να έχουν τα νομίσματα είναι: $27\cdot2+(9+3+1)\cdot3=93$ , άρα δεν μπορεί ο

ος σάκος να έχει νομίσματα των

γρ. Κατά μείζονα λόγο δεν μπορεί να έχει νομίσματα του ενός γρ.
Άρα έχει νομίσματα των

γρ. οπότε αυτά ζυγίζουν $27\cdot3= 81$ γρ. και τα υπόλοιπα 95-81=14

γρ.

Ο

ος σάκος δεν μπορεί να έχει νομίσματα των

γρ. αφού $9\cdot3=27>14$ , ούτε των

γρ. αφού $9\cdot2=18>14$ . Άρα έχει νομίσματα του ενός γρ. οπότε αυτά ζυγίζουν

γραμμάρια. Άρα τα υπόλοιπα (

ου,

ου σάκου) ζυγίζουν 14-9=5

γρ.

Ο

ος σάκος δεν μπορεί να έχει νομίσματα των

γρ. αφού $2\cdot3=6>5$ , κατά μείζονα λόγο δεν μπορεί να έχει νομίσματα των

γρ. Άρα έχει νομίσματα του ενός γρ. Μένουν 5-3=2

γρ.

Άρα ο

ος σάκος έχει νομίσματα των

γρ.

#147

ΑΣΚΗΣΗ 66:

: SX B5.png-1.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 3217 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο και $\displaystyle{DE}$ // $\displaystyle{BC}$ , $\displaystyle{AD=AB}$ και $\displaystyle{AE=\frac{3}{4} AB}$ . Αν $\displaystyle{M}$ είναι το
μέσον της $\displaystyle{BC}$ , να εξετάσετε αν το τρίγωνο $\displaystyle{DEM}$ είναι ορθογώνιο.

Eυ. N. · #148

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66:

SX B5.png-1.png
Στο παραπάνω σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο και $\displaystyle{DE}$ // $\displaystyle{BC}$ , $\displaystyle{AD=AB}$ και $\displaystyle{AE=\frac{3}{4} AB}$ . Αν $\displaystyle{M}$ είναι το
μέσον της $\displaystyle{BC}$ , να εξετάσετε αν το τρίγωνο $\displaystyle{DEM}$ είναι ορθογώνιο.

Θέτουμε το

ως

. Άρα ισχυεί ότι AD=a

, $AE=\frac{3a}{4}$ , BC=AC=AB=a

, $DE=\frac{7a}{4}$ . Τώρα φέρνουμε το ύψος-μεσοκάθετο-διάμεσο

και συνεπώς προκύπτουν τα ορθογώνια τρίγωνα AMC

,

&

. Από την εφαρμογή του Π.Θ στο AMC

λαμβάνουμε ότι $AM=\frac{a*\sqrt{3}}{2}$ .
Από την εφαρμογή του Π.Θ στο MAE

λαμβάνουμε ότι $ME=\frac{a*\sqrt{21}}{4}$ . Στη συνέχεια από την εφαρμογή του Π.Θ στο DAM

λαμβάνουμε ότι $DM=\frac{a*\sqrt{7}}{2}$ και στην συνέχεια από την εφαρμογή του αντιστρόφου του Π.Θ στο DME

προκύπτει η αληθής : $\frac{49*a^{2}}{16}=\frac{49*a^{2}}{16}$ ή 0=0

. Επομένως το DME

είναι ορθογώνιο.

#149

ΑΣΚΗΣΗ 67:

: ΣΧΑ-8.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 3148 φορές

Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με την γωνία της κορυφής

να έχει μέτρο $40^{o}$ . Στο εξωτερικό του τριγώνου αυτού και με πλευρές τις $\displaystyle{AB , AC}$ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle{ABDE}$ και $\displaystyle{ACZH}$ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{EH}$ και $\displaystyle{BC}$ είναι παράλληλες.

Ορέστης Λιγνός · #150

Για την

.

Προφανώς , $EAH=140^{o}$
Αφού EA=AH

πρέπει $HEA=EAH=20^{o}$ .

Φέρουμε την

. Τότε, $AEB=45^{o}$ και άρα $HEB=65^{o},EBC=EBA+ABC=45^{o}+70^{o}=115^{o}$ . Οπότε, $HEB+EBC=180^{o}$ και το ζητούμενο έπεται.

#151

ΑΣΚΗΣΗ 68:

: SX DIAG.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 3045 φορές

Δίνεται το τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με μεγάλη βάση την $\displaystyle{AB}$ και μικρή την $\displaystyle{CD}$ , και επί πλέον δίνεται ότι $\displaystyle{BC > CD}$ . Πάνω στην $\displaystyle{BC}$ παίρνουμε το
σημείο $\displaystyle{E}$ ώστε να είναι $\displaystyle{CD =CE}$ και πάνω στην $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{Z}$ ώστε να είναι $\displaystyle{BZ=BE}$ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο
$\displaystyle{DEZ}$ είναι ορθογώνιο.

Ορέστης Λιγνός · #152

Καλησπέρα !

Μία προσπάθεια για την

. Είναι :

( αφού το ABCD

είναι τραπέζιο ).
Τα τρίγωνα CDE , EBZ

είναι ισοσκελή με DC=CE

και

.
ας θέσουμε λοιπόν $CDE=CED = \varphi , BEZ = EZB = \omega$ .

Άρα , $CDE + CED + BEZ + EZB = 360 - DCE - EBZ = 180 \Leftrightarrow \varphi + \omega = 90$

Όμως , $DEZ + \varphi + \omega = 180 \Leftrightarrow DEZ=90$ , από όπου έχουμε το ζητούμενο .

#153

ΑΣΚΗΣΗ 69: Δίνεται κύκλος κέντρου

και θεωρούμε μια διάμετρο $\displaystyle{BC}$ αυτού και το σημείο

που είναι το μέσο

του τόξου $\displaystyle{BC}$ . Αν υποθέσουμε ότι το μήκος της χορδής $\displaystyle{AB}$ είναι ίσο με $\displaystyle{8 cm}$ ,

(a) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κύκλου
(b) Ένα σημείο

κινείται πάνω στον κύκλο, αποφεύγοντας τα σημεία

και

(1) Να υπολογίσετε όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{AMB}$
(2) Αν το

είναι σε τέτοια θέση, ώστε η χορδή $\displaystyle{CM}$ να έχει μήκος $\displaystyle{4\sqrt{6} cm}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{MBC}$

: B30.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 2916 φορές

Ορέστης Λιγνός · #154

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69: Δίνεται κύκλος κέντρου και θεωρούμε μια διάμετρο $\displaystyle{BC}$ αυτού και το σημείο που είναι το μέσο

του τόξου $\displaystyle{BC}$ . Αν υποθέσουμε ότι το μήκος της χορδής $\displaystyle{AB}$ είναι ίσο με $\displaystyle{8 cm}$ ,

(a) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κύκλου
(b) Ένα σημείο κινείται πάνω στον κύκλο, αποφεύγοντας τα σημεία και
(1) Να υπολογίσετε όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{AMB}$
(2) Αν το είναι σε τέτοια θέση, ώστε η χορδή $\displaystyle{CM}$ να έχει μήκος $\displaystyle{4\sqrt{6} cm}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{MBC}$

B30.png

Καλησπέρα!

(a) Είναι προφανές ότι $\widehat{BAC}=90^0,BA=AC=8$ (βαίνει σε ημικύκλιο,

μέσο του τόξου BAC

, και άρα με Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

λαμβάνουμε ότι $BC=8\sqrt{2}$ , δηλαδή $R=4\sqrt{2}$ , με

την ακτίνα του κύκλου.
Άρα, το εμβαδόν του κύκλου είναι $E=\pi R^2=32\pi$

(b)
(1) A) Αν το M ανήκει στο μεγάλο τόξο AB,Η $\widehat{AMB}$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την $\widehat{BCA}$ , και είναι και οι δύο εγγεγραμένες, οπότε είναι ίσες.
Όμως, $\widehat{BCA}=45^0$ (από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

), δηλαδή και $\widehat{AMB}=45$

B) Αν το Μ ανήκει στο μικρό τόξο ΑΒ, εύκολα παίρνουμε ότι η ζητούμενη είναι 135^0

(βαίνει στο τόξο ACB κλπ...)

(2) Από Π.Θ. στο ορθογώνιο BOC

, λαμβάνουμε ότι $BM=4\sqrt{2}=\frac{BC}{2}$ ,άρα λοιπόν η γωνία BMC

είναι τριάντα μοίρες, και άρα η ζητούμενη είναι εξήντα μοίρες.

Al.Koutsouridis · #155

ΑΣΚΗΣΗ 70

Να υπολογίσετε το γινόμενο

$(100-1^2)(100-2^2)(100-3^2)\cdot ... \cdot (100-25^2)$

harrisp · #156

Al.Koutsouridis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 70

Να υπολογίσετε το γινόμενο

$(100-1^2)(100-2^2)(100-3^2)\cdot ... \cdot (100-25^2)$

Ένας όρος ειναι και το 100-10^2=0

αρα όλο το γινόμενο ισούται με το 0.

#157

ΑΣΚΗΣΗ 71: Αν ο φυσικός αριθμός

διαιρούμενος με το

δίνει υπόλοιπο

, ο φυσικός αριθμός

διαιρούμενος με το

δίνει υπόλοιπο

και αν επί πλέον είναι γνωστό ότι τα πηλίκα των πιο πάνω διαιρέσεων είναι ίσα, να βρείτε
το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού $\displaystyle{7x+3y}$ με το

Ορέστης Λιγνός · #158

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 71: Αν ο φυσικός αριθμός διαιρούμενος με το δίνει υπόλοιπο , ο φυσικός αριθμός
διαιρούμενος με το δίνει υπόλοιπο και αν επί πλέον είναι γνωστό ότι τα πηλίκα των πιο πάνω διαιρέσεων είναι ίσα, να βρείτε
το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού $\displaystyle{7x+3y}$ με το

Σε hide για να προσπαθήσουν και άλλοι.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#159

ΑΣΚΗΣΗ 72: Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=(\sqrt{9^{8^9}}:81^{4^{11}}).3^{-7.2^{24}}}$

#160

ΑΣΚΗΣΗ 73: Γράφουμε σε ένα χαρτί

διαδοχικούς περιττούς φυσικούς αριθμούς. Παρατηρήσαμε ότι αν διαγράψουμε
έναν συγκεκριμένο από αυτούς, τότε το άθροισμα των υπολοίπων πέντε αριθμών, έχει άθροισμα 2017

.
Να βρείτε ποιοι είναι οι έξι αριθμοί που είχαμε γράψει.

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση