Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #161

72.

$2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}$

Απάντηση: $\frac{911}{480}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #162

dimplak έγραψε: 70.

$\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 + 1}$

Απάντηση:

Καταρχάς παρατηρούμε ότι $x\geq -1$ (1)

Θα αποδείξουμε ότι $\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1}\geq \sqrt{x^2 + 1}$

Υψώνουμε την εξίσωση στο τετράγωνο και έχουμε ότι $(\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1})^2\geq x^2+1$

Όμως ισχύει ότι $(\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1})^2$ $\geq (x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)$ με ισότητα αν x+1=0

ή

, δηλαδή όταν x=-1

ή

. Από τη σχέση (1) όμως προκύπτει ότι η ισότητα ισχύει όταν x=-1

.

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)\geq x^2+1\Leftrightarrow$ $3x^2+12x+11\geq x^2+1\Leftrightarrow 2x^2+12x+10\geq 0\Leftrightarrow x^2+6x+5\geq 0$

Επειδή $x\geq -1$ , θέτουμε όπου

το

με $y\geq 0$

Έχουμε $(y-1)^2+6(y-1)+5\geq 0\Leftrightarrow y^2+4y\geq 0$ που ισχύει και η ισότητα προκύπτει αναγκαστικά όταν y=0

και

, επειδή $y\geq 0$

Άρα $(\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1})^2\geq$ $(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)\geq x^2+1$ $\Rightarrow \sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1}$ $\geq \sqrt{x^2 + 1}$ με ισότητα όταν x=-1

.

Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι x=-1

dimplak · #163

73.

$1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$

Απάντηση: x = 1

dimplak · #164

74.

$x + 1 = \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{4(x+1)}}}$

Απάντηση: x=3

ή

dimplak · #165

75.

$\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7$

Απάντηση: $x = \sqrt{1 + \sqrt{6}} - 1$ ή $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - 1$

dimplak · #166

76.

$\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\sqrt{x^2 - 2}}{x^4 + 2x^2 + 1} = 11$

Απάντηση: $x = \pm \sqrt{2}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #167

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 11:06 am 73.

$1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$

Απάντηση:

Θέτουμε $\rm x=t+1$ οπότε γίνεται $\rm 2\sqrt{t^2-7t+10}=t+\sqrt{t^2-12t+40}$ ,από το πρώτο ριζικό πρέπει $\rm t\in (-\infty,2]\cup[5,+\infty)$ .
Υψώνουμε στο τετράγωνο $\rm 4t^2-28t+40=2t^2-12t+40+2t\sqrt{t^2-12t+40}\Leftrightarrow t^2-8t=t\sqrt{t^2-12t+40}$ .
Για $\rm t=0$ έχουμε λύση $\boxed {\rm x=1}$ .Αν $\m t\neq 0$ γίνεται $\rm t-8=\sqrt{t^2-12+40}$ , που προϋποθέτει $\rm t\geq 8$ .Υψώνουμε στο τετράγωνο και παίρνουμε $\rm t^2-12t+64=t^2-12t+40\Leftrightarrow t=6<8$ άτοπο.
Μοναδική λύση λοιπόν η $\boxed {\rm x=1}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #168

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 11:19 am 74.

$x + 1 = \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{4(x+1)}}}$

Απάντηση: ή

Πρέπει $\rm x\geq -1$ ,θέτω $\rm x=k^2-1$ με $\rm k\geq 0$ και η εξίσωση γίνεται

$\rm k^2=\sqrt{2k^2+2\sqrt{2k^2+4k}}$ .Αν $\rm k>2$ τότε $\rm 2k^2+4k<2k^2+2k^2=4k^2$ οπότε $\rm RHS<\sqrt{2k^2+2\cdot 2k}=\sqrt{2k^2+4k}<\sqrt{4k^2}<2k<k^2$ .
Αν $\rm 0<k<2$ τότε όλες οι παραπάνω ανισότητες αλλάζουν φορά και πάλι έχουμε άτοπο.
Για $\rm k=0,2$ ισχύει η ισότητα οπότε λύσεις της εξίσωσης οι $\rm x=0-1=-1,x=4-1=3$

#169

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 10:19 pm 75.

$\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7$

Απάντηση: $x = \sqrt{1 + \sqrt{6}} - 1$ ή $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - 1$

Θέτουμε

. Tο δεύτερο μέλος γίνεται t^2-t-7

και το υπορριζο 2 t+7

Υψώσουμε στο τετράγωνο πράξεις κ.λπ.

(t^2-6)(t^2-2t-7)=0

κ.λπ.

#170

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 10:31 pm 76.

$\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\sqrt{x^2 - 2}}{x^4 + 2x^2 + 1} = 11$

Απάντηση: $x = \pm \sqrt{2}$

Ας θέσουμε x^2=a

και στη συνέχεια a-1=b^2

. Από περιορισμούς είναι a>=2, b>=1

.

Μεταφέρουμε το 11 στο πρώτο μέλος, και το αφαιρούμε από το πρώτο κλάσμα, οπότε προκύπτει κλάσμα μη αρνητικό αφού ο αριθμητής του γράφεται

b^4+5b^2-11b+5

, που γίνεται (b-1)(b^3+b^2+6b-5)

, μη αρνητικό για τις τιμές του b.

Επομένως, με τον τρόπο αυτό έχουμε άθροισμα δύο μη αρνητικών κλασμάτων ίσο με μηδέν, που συμβαίνει όταν a=2, b=1

κ.λπ.

#171

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 11:06 am 73.

$1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$

Απάντηση:

$1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}\Leftrightarrow \sqrt{4x^2 - 36x + 72}-\sqrt{x^2 - 14x + 53}=x-1\Leftrightarrow 4x^2-36x+72-x^2+14x-53=\left ( x-1 \right )\cdot\left ( \sqrt{4x^2 - 36x + 72}+\sqrt{x^2 - 14x + 53} \right ) \Leftrightarrow 3x^2-22x+19=\left ( x-1 \right )\cdot\left ( \sqrt{4x^2 - 36x + 72}+\sqrt{x^2 - 14x + 53} \right ) \Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( 3x-19 \right )=\left ( x-1 \right )\cdot\left ( \sqrt{4x^2 - 36x + 72}+\sqrt{x^2 - 14x + 53} \right ) \Leftrightarrow x=1 \vee 3x-19=\sqrt{4x^2 - 36x + 72}+\sqrt{x^2 - 14x + 53}$ (1).
Άρα έχουμε $\sqrt{4x^2 - 36x + 72}-\sqrt{x^2 - 14x + 53}=x-1$ (2)
Από (1)+(2)

έχουμε
$\sqrt{4x^2 - 36x + 72}=2x-10\Leftrightarrow 4x^2-36x+72=4x^2-40x+100\Leftrightarrow x=7$ .
Η οποία απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει την αρχική (βγάζει 2=6

)
Άρα μοναδική ρίζα η x=1

#172

dimplak έγραψε: Σάβ Δεκ 17, 2016 10:19 pm 75.

$\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7$

Απάντηση: $x = \sqrt{1 + \sqrt{6}} - 1$ ή $\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - 1$

$\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 7\Leftrightarrow 4\cdot \sqrt{2x^2 + 4x + 7} = 4x^4 + 16x^3 + 12x^2 - 8x - 28\Leftrightarrow \left ( 2x^2+4x+7 \right )^2-16\left ( 2x^2+4x+7 \right )-4\sqrt{2x^2 + 4x + 7}+35=0$
Αν θέσουμε $\sqrt{2x^2 + 4x + 7} =y>0$ η εξίσωση γίνεται y^4-16y^2-4y+35=0

με την μέθοδο προσδιοριστέων συντελεστών βρίσκουμε ότι $y^4-16y^2-4y+35=0\Leftrightarrow \left ( y^2+2y-5 \right )\cdot \left ( y^2-2y-7 \right )=0\Leftrightarrow y_{1}=-1+\sqrt{6},y_{2}=1+2\sqrt{2}$
Έτσι έχουμε $\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = -1+\sqrt{6}\Leftrightarrow x^2+2x=-\sqrt{6}\Leftrightarrow (x+1)^2=1-\sqrt{6}$ Αδύνατη
και $\sqrt{2x^2 + 4x + 7} = -1+\sqrt{8}\Leftrightarrow x^2+2x=1+\sqrt{8}\Leftrightarrow (x+1)^2=2+\sqrt{8}\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{2+\sqrt{8}}$

#173

Υπάρχουν αναπάντητες;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #174

rek2 έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm Υπάρχουν αναπάντητες;

Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72

.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.

#175

Η 42 λύνεται και με αντίστροφη και κανονικά, έχει λυθεί στο εργαστήρι

#176

socrates έγραψε: Τετ Νοέμ 16, 2016 6:45 pm 39.

$\displaystyle{\displaystyle \root5\of{x^3+2x}=\root3\of{x^5-2x}}$

http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/21-10-2016_20.html

Θέτουμε $\sqrt[5]{x^3+2x}= a$
και $\sqrt[3]{x^5-2x}=b$ και τότε έχουμε: x^3+2x=a^5

,

οπότε

και $x^5+x^3=a^5+b^3\Leftrightarrow x^5+x^3=a^5+a^3\Leftrightarrow (x-a)(x^4+x^3a+x^2(a^2+1)+x(a^3+a)+a^2+a^4)\Leftrightarrow x=a$ .
Άρα $\sqrt[5]{x^3+2x}=x\Leftrightarrow x^5-x^3-2x=0\Leftrightarrow x=0 \vee x^2=2 \Leftrightarrow x=0 \vee x=\sqrt{2}$

#177

dimplak έγραψε: Πέμ Νοέμ 17, 2016 9:57 pm 43.

$2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1$

$2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1\Leftrightarrow x^2-2x-1+2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2x+1-2+x^2+2x-1+2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2+2x-1\Leftrightarrow (x-1+\sqrt{x^2+2x-1})^2=(x+1)^2\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x^2+2x-1}=x+1 \vee x-1+\sqrt{x^2+2x-1}=-x-1$ ......

#178

dimplak έγραψε: Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am 20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$

Δεν νομίζω ότι λύνεται.

#179

dimplak έγραψε: Τρί Νοέμ 29, 2016 9:36 pm 49.

$4x^2 - 4x - 10 = \sqrt{8x^2 - 6x - 10}$

Απάντηση: $x= \frac{5}{2}$ ή $x = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{4}$

Με $x\leq \frac{1-\sqrt{11}}{2} \vee x\geq \frac{1+\sqrt{11}}{2}$ έχουμε
Θέτουμε την $\sqrt{8x^2-6x-10}=t\geq 0\Leftrightarrow 8x^2-6x-10=t^2\Leftrightarrow 4x^2-4x-10+4x^2-2x=t^2\Leftrightarrow$
$4x^2-4x-10=t^2-(4x^2-2x)\Leftrightarrow t^2-(4x^2-2x)=t\Leftrightarrow t^2-(2x)^2-(t-2x)=0\Leftrightarrow$
$(t-2x)\cdot (t+2x-1)=0\Leftrightarrow t=2x \vee t=1-2x$
$t=2x\Leftrightarrow 8x^2-6x-10=4x^2\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$
ή $t=1-2x\Leftrightarrow 8x^2-6x-10=1-4x+4x^2\Leftrightarrow 4x^2-2x-11=0\Leftrightarrow x=\frac{1-\sqrt{11}}{2}$

#180

dimplak έγραψε: Τρί Νοέμ 29, 2016 11:52 pm 51.

$\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}$

Απάντηση:

Αφήνω προς το παρόν τους περιορισμούς. Θέτω $\displaystyle \sqrt x = a \ge 0,2 - x = b$ και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b - 2a} = \sqrt {4a + 5b}$ και υψώνοντας στο τετράγωνο

$\displaystyle a + 4b + 2\sqrt {3a + b} \sqrt {3b - 2a} = 4a + 5b \Leftrightarrow 2\sqrt {3a + b} \sqrt {3b - 2a} = 3a + b \Leftrightarrow$

$\displaystyle 3a + b = 0 \vee 2\sqrt {3b - 2a} = \sqrt {3a + b} \Leftrightarrow b = - 3a \vee a = b$

$\displaystyle \bullet$ Αν b = - 3a,

τότε $\displaystyle x - 2 = 3\sqrt x \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$ και $\boxed{x = \frac{{13 + 3\sqrt {17} }}{2}}$ που επαληθεύει την αρχική.

$\displaystyle \bullet$ Αν a=b,

τότε $\displaystyle \sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=1}$ που επίσης επαληθεύει την αρχική.

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση