Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

kostas232 · #1621

Ας δούμε και το παρακάτω(ας το αφήσουμε να απαντηθεί από μαθητές μιας και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις, αλλά μόνο λίγη έξυπνη σκέψη)
α)Ποια είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $\displaystyle{15}$ που διαιρεί το $\displaystyle{60 !}$ ;
β)Σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{500!}{200!}}$ ;

#1622

ΑΣΚΗΣΗ 541
Να λυθεί το σύστημα

$\begin{cases}x+y^2=z^3 \\ x^2+y^3=z^4 \\ x^3+y^4=z^5 \end{cases}$

#1623

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 541
Να λυθεί το σύστημα

$\begin{cases}x+y^2=z^3 \\ x^2+y^3=z^4 \\ x^3+y^4=z^5 \end{cases}$

Έστω λύση του συστήματος.

Είναι

$\displaystyle{(x^2+y^3)^2=(x+y^2)(x^3+y^4)\implies \cdots \implies xy^2(x-y)^2=0\implies x=0\vee y=0\vee x=y.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x=0}$ προκύπτει $\displaystyle{y^2=z^3\wedge y^4=z^5}$ άρα $\displaystyle{z^6=z^5\implies z=0\vee z=1.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{y=0}$ προκύπτει $\displaystyle{x=z^3,x^2=z^4\implies z^6=z^4\implies z=0\vee z=1\vee z=-1.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x=y}$ οι πρώτες δύο σχέσεις γράφονται $\displaystyle{x(1+x)=z^3, x^2(1+x)=z^4\implies xz^3=z^4\implies z=0\vee x=z.}$

Όταν $\displaystyle{z=0}$ προκύπτει και $\displaystyle{x=y=0 \vee x=y=-1.}$

Όταν $\displaystyle{x=z}$ προκύπτει $\displaystyle{z=0\vee z^2=z+1\implies z=\phi \vee z=-\phi ^{-1}}$

Τελικά οι λύσεις του συστήματος είναι οι

$\displaystyle{(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(-1,0,-1),(-1,-1,0),(\phi, \phi, \phi),(-\phi ^{-1},-\phi ^{-1},-\phi ^{-1}).}$

Αρχιμήδης 6 · #1624

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 541
Να λυθεί το σύστημα

$\begin{cases}x+y^2=z^3 \\ x^2+y^3=z^4 \\ x^3+y^4=z^5 \end{cases}$

Ας δώσω άλλη μια προσέγγιση αν και του Θάνου είναι όμορφη.

Έστω οι μη μηδενικοί x,y,z

θέτω

,

για μη μηδενικούς a,b

και αντικαθιστώ οπότε μετά θα καταλήξω στις παρακάτω,

a+b^2z=z^2

Αφαιρώ συνεπώς,

a(a-1)=b^2z(1-b)

Αν υποθέσω επίσης ότι $a,b\neq1$ τότε διαιρώντας θα πρέπει a=b

συνεπώς

Άρα αρκεί να ελέγξω τις περιπτώσεις που απέκλεισα δηλαδή

x=0

..

...

δηλαδή

που βρήκα στο τέλος.

#1625

ΑΣΚΗΣΗ 542 (Βαθμός δυσκολίας 8 , με κλίμακα από 1 έως 10): Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{2(x+y)(z+x)^2 =3(z-y)}$
$\displaystyle{2(y+z)(x+y)^2 =3(x-z)}$
$\displaystyle{2(z+x)(y+z)^2 =3(y-x)}$

jason.prod · #1626

Δίνω μία λύση, η οποία όμως δεν μου αρέσει και πάρα πολύ.
Θέτω a=x+y, b=y+z, c=z+x

άρα το σύστημα γίνεται
2ac^2=3(c-a)

(1)

(2)

(3)
Λύνω την (1) ως προς

και έχω $a=\frac{3c}{2c^2 + 3}$ και ομοίως λύνοντας τις εξισώσεις (2),(3) ως προς b,c

αντίστοιχα, παίρνω $b=\frac{3a}{2a^2 + 3}, c=\frac{3b}{2b^2 + 3}$ . Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις καινούριες εξισώσεις κατά μέλη παίρνω $abc=\frac{27abc}{(2a^2 + 3)(2b^2 + 3)(2c^2 + 3)}$ και τώρα διακρίνω δύο περιπτώσεις: i) Κανένας από τους a,b,c

δεν είναι μηδέν. Τότε (2a^2 + 3)(2b^2 + 3)(2c^2 + 3)=27

. Όμως, $(2a^2 + 3)(2b^2 + 3)(2c^2 + 3) \ge 27$ άρα a=b=c=0

, άτοπο λόγω της υπόθεσης.
ii) Κάποιος από τους a,b,c

είναι μηδέν άρα οδηγούμαστε στην a=b=c=0

, άρα το αρχικό σύστημα έχει τη μοναδική λύση (x,y,z)=(0,0,0)

.

Αρχιμήδης 6 · #1627

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 542 (Βαθμός δυσκολίας 8 , με κλίμακα από 1 έως 10): Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{2(x+y)(z+x)^2 =3(z-y)}$
$\displaystyle{2(y+z)(x+y)^2 =3(x-z)}$
$\displaystyle{2(z+x)(y+z)^2 =3(y-x)}$

Παρατηρούμε ότι για να έχει λύσεις η εξίσωση θα πρέπει είτε

εκ των

να είναι θετικοί και ένας αρνητικός είτε

να είναι αρνητικοί και ο τρίτος θετικός είτε

θετικοί που δίνει εύκολα την (0,0,0)

είτε

αρνητικοί που δίνει πάλι την ίδια.

πχ

Αν x+y>0

,

τότε

,

άρα

και εφαρμόζουμε αυτή την λογική για όλες τις περιπτώσεις.

Στο τέλος ελέγχουμε και τις x+y=0

η

Μοναδική λύση τελικά (x,y,z)=(0,0,0)

#1628

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 542 (Βαθμός δυσκολίας 8 , με κλίμακα από 1 έως 10): Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{2(x+y)(z+x)^2 =3(z-y)}$
$\displaystyle{2(y+z)(x+y)^2 =3(x-z)}$
$\displaystyle{2(z+x)(y+z)^2 =3(y-x)}$

Μετά από τις λύσεις που έδωσαν τα ταλαντούχα μέλη μας Jasonmaths4ever και Δημήτρης (Αρχιμήδης 6), γράφω και μια ακόμα λύση, με μικρές διαφορές από αυτήν του πρώτου λύτη:

Θέτουμε $\displaystyle{x+y=a , y+z=b , z+x=c}$ . Τότε $\displaystyle{2x+2y+2z=a+b+c \Leftrightarrow x+y+z=\frac{a+b+c}{2}}$ . Έτσι, εύκολα βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{x=\frac{a-b+c}{2} , y=\frac{a+b-c}{2} , z=\frac{b+c-a}{2}}$ . Άρα το σύστημά μας γράφεται:

$\displaystyle{2ba^2 =3(a-b)}$
$\displaystyle{2cb^2 =3(b-c)}$
$\displaystyle{2ac^2 =3(c-a)}$

Εύκολα βλέπουμε ότι αν κάποιο από τα $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ίσο με μηδέν, τότε όλα θα είναι ίσα με μηδέν και άρα έχουμε την λύση $\displaystyle{x=y=z=0}$

Αν $\displaystyle{a,b,c \neq 0}$ , γράφουμε το παραπάνω σύστημα:

$\displaystyle{2ba^2 +3b=3a}$
$\displaystyle{2cb^2 +3c=3b}$
$\displaystyle{2ac^2 +3a=3c}$

και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη, παίρνουμε: $\displaystyle{abc(2a^2 +3)(2b^2 +3)(2c^2 +3)=27abc \Leftrightarrow (2a^2 +3)(2b^2 +3)(2c^2 +3)=27}$ , το οποίο είναι αδύνατον

διότι $\displaystyle{2a^2 +3 >3 , 2b^2 +3>3 , 2c^2 +3>3}$ , για κάθε $\displaystyle{a,b,c \neq 0}$ . Άρα η μοναδική λύση είναι η $\displaystyle{(x,y,z)=(0,0,0)}$

#1629

ΑΣΚΗΣΗ 543 (Βαθμός δυσκολίας 5 , με κλίμακα από 1 έως 10): Αν $\displaystyle{x\geq 2015 , y\geq -2015}$ και αν :

$\displaystyle{6\sqrt{x-2015}+4\sqrt{y+2015}=x+y+13}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $\displaystyle{K=\frac{x-2y-2016}{2}}$

(ΣΗΜ: Διόρθωσα στο τέλος, βάζοντας αντί το 1016

, το

(για να βγαίνει το αποτέλεσμα "όμορφο" ), όπως το μάντεψε ο Γιώργος Βισβίκης)

#1630

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 543 (Βαθμός δυσκολίας 5 , με κλίμακα από 1 έως 10): Αν $\displaystyle{x\geq 2015 , y\geq -2015}$ και αν :

$\displaystyle{6\sqrt{x-2015}+4\sqrt{y+2015}=x+y+13}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $\displaystyle{K=\frac{x-2y-2016}{2}}$

(ΣΗΜ: Διόρθωσα στο τέλος, βάζοντας αντί το , το (για να βγαίνει το αποτέλεσμα "όμορφο" ), όπως το μάντεψε ο Γιώργος Βισβίκης)

Καλησπέρα!

Θέτω $\displaystyle{\sqrt {x - 2015} = a}$ $\Rightarrow$ $\boxed{x-2015=a^2}$ και $\displaystyle{\sqrt {y+ 2015} = b}$ $\Rightarrow$ $\boxed{y+2015=b^2}$ ,

οπότε θα είναι $\displaystyle{x + y = x - 2015 + y + 2015 = {a^2} + {b^2}}$ .

Η δοθείσα λοιπόν σχέση γράφεται: $\displaystyle{6a + 4b = {a^2} + {b^2} + 13 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 + {b^2} - 4b + 4 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{(a - 3)^2} + {(b - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 3 \wedge b = 2}$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{x = {a^2} + 2015 = 2024}$ και $\displaystyle{y = {b^2} - 2015 = - 2011}$

$\displaystyle{K = \frac{{2024 + 4022 - 2016}}{2} = \frac{{4030}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{K=2015}$

T-Rex · #1631

kostas232 έγραψε:Ας δούμε και το παρακάτω(ας το αφήσουμε να απαντηθεί από μαθητές μιας και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις, αλλά μόνο λίγη έξυπνη σκέψη)
α)Ποια είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $\displaystyle{15}$ που διαιρεί το $\displaystyle{60 !}$ ;
β)Σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{500!}{200!}}$ ;

Τα κάναμε με τον κύριο στο σχολείο ελπίζω να μην ξεχάσω κάτι
A) Ο μεγαλύτερος διαιρέτης του 60!

είναι το

όπου υπάρχουν

πολλαπλάσια του

και

πολλαπλάσια του

και έχουμε 12+4-2=14

πεντάρια Αφαιρούμε

πεντάρια γιατί τα μέτρησα και στα πολλαπλάσια του

.
Ακόμη έχουμε

πολλαπλάσια του

και

πολλαπλάσια του

άρα εχουμε 20+12-6=26

πολλαπλάσια του

και θα έχουμε τελικά

φορές το

γιατί τα

είναι περισσότερα.
Αρα η μεγαλύτερη δύναμη του

είναι $15^{14}$
Β) $A=\frac{500!}{200!}=301......500$ εδώ υπάρχουν

πολλαπλάσια του

και

πολλαπλάσια του

άρα θα έχουμε 60+24-12=72

πεντάρια που θα μας δώσουν 72 μηδενικά και φυσικά (όπως σημειώνει ο κύριος Λάμπρου παρακάτω)ξέχασα τα πεντάρια από τα πολλαπλάσια του 125

που είναι το 375

και το

Δηλαδή άλλα δύο πεντάρια άρα

μηδενικά

#1632

ΑΣΚΗΣΗ 544 (Βαθμός δυσκολίας 3 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Ο θετικός ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a}$ , διαιρούμενος με τον $\displaystyle{2015}$ δίνει πηλίκο

τον θετικό ακέραιο $\displaystyle{b}$ και υπόλοιπο το $\displaystyle{10b^2 +4b+1967}$ . Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{a}$ .

#1633

ΑΣΚΗΣΗ 545: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{n+3|n^2 +12 }$ , να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{n}$ , ( $\displaystyle{n\in N}$ )

#1634

T-Rex έγραψε: Β) $A=\frac{500!}{200!}=301......500$ εδώ υπάρχουν πολλαπλάσια του και πολλαπλάσια του άρα θα έχουμε πεντάρια που θα μας δώσουν 72 μηδενικά

Μην ξεχάσεις και τα πολλαπλάσια του 125=5^3

.

jason.prod · #1635

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 544 (Βαθμός δυσκολίας 3 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Ο θετικός ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a}$ , διαιρούμενος με τον $\displaystyle{2015}$ δίνει πηλίκο

τον θετικό ακέραιο $\displaystyle{b}$ και υπόλοιπο το $\displaystyle{10b^2 +4b+1967}$ . Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{a}$ .

Πρέπει να είναι $\displaystyle{10b^2 +4b+1967} < 2015$ άρα b=1

και

.

kostas232 · #1636

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 545: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{n+3|n^2 +12 }$ , να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{n}$ , ( $\displaystyle{n\in N}$ )

Καλησπέρα!
Έχουμε $Εικόνα$
Προκύπτει λοιπόν $Εικόνα$ , επειδή n φυσικός.
Από τις παραπάνω περιπτώσεις έχουμε δεκτές τις λύσεις $Εικόνα$ .

#1637

ΑΣΚΗΣΗ 546
Έστω P(x)

πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν P(8) = 2008,

είναι δυνατόν ο αριθμός P(2008)

να είναι τέλειο τετράγωνο;

gavrilos · #1638

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 546
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν είναι δυνατόν ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#1639

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 546
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν είναι δυνατόν ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο;

Και λίγο διαφορετικά, χωρίς ισοτιμίες:
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής πρόταση: $\displaystyle{x^n - y^n =(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 + ... +y^{n-1})=}$ πολ $\displaystyle{(x-y)}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y\in N}$ και $\displaystyle{n\in N^{*}}$

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{P(2008)=k^2}$ , με $\displaystyle{k\in N}$ . Από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{P(8)=2008}$ .

Αν λοιπόν είναι $\displaystyle{P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1 x +a_{0}}$ , τότε θα έχουμε:

$\displaystyle{a_n 2008^n +a_{n-1}2008^{n-1}+ ... +a_1 2008 +a_0 =k^2}$ και $\displaystyle{a_n 8^n +a_{n-1}8^{n-1}+ ... +a_1 8 +a_{0}=2008}$ .

Με αφαίρεση των πιο πάνω σχέσεων, παίρνουμε: $\displaystyle{a_n (2008^n -8^n )+a_{n-1}(2008^{n-1}-8^{n-1})+ ... +a_1 (2008-8)=k^2 -2008}$ .

Άρα: $\displaystyle{a_n 2000p_n +a_{n-1}2000p_{n-1}+ ... +a_1 2000 +2008=k^2}$ ,

όπου $\displaystyle{p_n , p_{n-1} , ... \in N}$ . Άρα: $\displaystyle{2000(a_n p_n +a_{n-1}p_{n-1}+ ...+a_1)+2008=k^2}$ .

Τούτο όμως είναι άτοπο, αφού ο αριθμός στο πρώτο μέλος λήγει σε $\displaystyle{8}$ και συνεπώς δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

#1640

ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση