Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Broly · #1641

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

Μετά από πάρα πολύ καιρό απουσιας έχω ξεχάσει τα πάντα με λίγα λόγια ....βάζω μία σκέψη που έκανα

Η αρχική εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται :

(x-y)(x^2+xy+y^2+1)=5*403

Αν

τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι x>y

,άρα

,όπου

φυσικός.

Μετά από τις απαραίτητες πράξεις η εξίσωση γίνεται :

k(3y^2+3ky+k^2+1)=5*403

. Το πολυώνυμο P(y)=3y^2+3yk+k^2+1

,έχει διακρίνουσα D=-3(k^2+4)<0

, άρα έχει μιγαδικές ρίζες και άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ??

Υπάρχει βέβαια το ενδεχόμενο να είναι συζυγείς ? Αυτή την σκέψη έκανα....δεν ξέρω αν βγάζει κάπου

Αρχιμήδης 6 · #1642

Broly έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

Μετά από πάρα πολύ καιρό απουσιας έχω ξεχάσει τα πάντα με λίγα λόγια ....βάζω μία σκέψη που έκανα

Η αρχική εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται :

Αν τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι ,άρα ,όπου φυσικός.

Μετά από τις απαραίτητες πράξεις η εξίσωση γίνεται :

. Το πολυώνυμο ,έχει διακρίνουσα , άρα έχει μιγαδικές ρίζες και άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ??

Υπάρχει βέβαια το ενδεχόμενο να είναι συζυγείς ? Αυτή την σκέψη έκανα....δεν ξέρω αν βγάζει κάπου

Καλημέρα Broly.
(Εγώ έχω τις πιο πολλές απορίες γενικά...)

Ναι ισχύει ότι το τριώνυμο ως προς

,

θα έχει

ρίζες μιγαδικές σε συνάρτηση με το

άρα αναγκαστικά και συζυγείς (αφού είναι γνωστό ότι αν ένα τριώνυμο έχει

μιγαδικές ρίζες τότε θα είναι συζυγείς) άρα θα μπορούσες να πεις p(y)=(y-f(k)-ig(k))(y-f(k)+ig(k))

Και μετά?

Φιλικά,
Δημήτρης

G.Bas · #1643

Broly έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

Μετά από πάρα πολύ καιρό απουσιας έχω ξεχάσει τα πάντα με λίγα λόγια ....βάζω μία σκέψη που έκανα

Η αρχική εξίσωση μετά από πράξεις γίνεται :

Αν τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι ,άρα ,όπου φυσικός.

Μετά από τις απαραίτητες πράξεις η εξίσωση γίνεται :

. Το πολυώνυμο ,έχει διακρίνουσα , άρα έχει μιγαδικές ρίζες και άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ??

Υπάρχει βέβαια το ενδεχόμενο να είναι συζυγείς ? Αυτή την σκέψη έκανα....δεν ξέρω αν βγάζει κάπου

Μα είναι $\displaystyle{(x-y)(x^2+xy+y^2+5)=2015}$

!

jason.prod · #1644

Δίκιο έχει ο Γιώργος. Το ότι το πολυώνυμο αυτό έχει μιγαδικές ρίζες θα είχε νόημα στην περίπτωση που σύμφωνα με την άσκηση γινόταν μηδέν. Τώρα, έτσι κι αλλιώς αναζητούμε μια ή περισσότερες θετικές τιμές του. Ο ισχυρισμός αυτός, επομένως, είναι μεν σωστός αλλά από την άλλη δεν λύνει το πρόβλημα και επομένως η λύση είναι ελλειπής.

Αρχιμήδης 6 · #1645

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

$5*403=x^3-y^3+5(x-y)=0mod2\neq{5*403}$

#1646

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 547: (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 -y^3 =5(403-x+y)}$ , δεν έχει λύση.

Γράφω και μια λύση χωρίς ισοτιμίες:

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^3 +5x=2015+y^3 +5y}$ . Άρα: $\displaystyle{x(x^2 +5)=2015+y(y^2 +5)}$ (ΣΧΕΣΗ 1) . Θα δείξω ότι ο αριθμός $\displaystyle{x(x^2 +5)}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$

Διακρίνω τις περιπτώσεις:

(1) $\displaystyle{x=3k}$ , $\displaystyle{k\in N}$ . Τότε $\displaystyle{x(x^2 +5)=}$ πολλ

(2) $\displaystyle{x=3k+1}$ . Τότε $\displaystyle{x^2 +5=9k^2 +6k+1+5=9k^2 +6k+6=3(3k^2 +2k+1)=}$ πολλ

. Άρα $\displaystyle{x(x^2 +5)=}$ πολλ

(3) $\displaystyle{x=3k+2}$ . Τότε $\displaystyle{x^2 +5=9k^2 +12k+4+5=9k^2 +12k+9=3(3k^2 +4k+3)=}$ πολλ

. Άρα $\displaystyle{x(x^2 +5)=}$ πολλ

.

Ομοίως και $\displaystyle{y(y^2 +5)=}$ πολλ

. Συνεπώς η ΣΧΕΣΗ 1 γράφεται:

$\displaystyle{3m=2015+3n}$ , όπου $\displaystyle{m,n\in N}$ . Άρα $\displaystyle{3(m-n)=2015}$ . Άρα $\displaystyle{3|2015}$ , το οποίο είναι αδύνατο. Συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη.

#1647

ΑΣΚΗΣΗ 548: (Βαθμός δυσκολίας 4 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10) Αν $\displaystyle{x,y \in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 +6y =x+ 1+2+3+ ...+55}$ είναι αδύνατη.

jason.prod · #1648

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 548: (Βαθμός δυσκολίας 4 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10) Αν $\displaystyle{x,y \in N}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$\displaystyle{x^3 +6y =x+ 1+2+3+ ...+55}$ είναι αδύνατη.

Η εξίσωση γράφεται x^3 + 6y -x = 1 + 2 + ... + 55

και είναι εύκολο να δούμε ότι το αριστερό μέλος διαιρείται με 3 ενώ το δεξί όχι.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#1649

ΑΣΚΗΣΗ 549: (Βαθμός δυσκολίας 7, με κλίμακα από τo 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\geq 0}$ και $\displaystyle{x+y=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{x(x^3 y^2 -1)\leq y(1-x^2 y^3 )}$

G.Bas · #1650

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 549: (Βαθμός δυσκολίας 7, με κλίμακα από τo 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\geq 0}$ και $\displaystyle{x+y=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{x(x^3 y^2 -1)\leq y(1-x^2 y^3 )}$

Αρκεί να αποδείξουμε την Ανισότητα

$\displaystyle{x^2y^2(x^2+y^2)\leq x+y=2.}$

Αυτή ισχύει αφού σύμφωνα με την Ανισότητα AM-GM θα έχουμε

$\displaystyle{x^2y^2(x^2+y^2)\leq\frac{(x+y)^2}{4}xy(x^2+y^2)=xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}\cdot (2xy)(x^2+y^2)\leq\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2xy+(x^2+y^2)}{2}\right]^2=\frac{2^4}{8}=2.}$

#1651

G.Bas έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 549: (Βαθμός δυσκολίας 7, με κλίμακα από τo 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\geq 0}$ και $\displaystyle{x+y=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{x(x^3 y^2 -1)\leq y(1-x^2 y^3 )}$
Αρκεί να αποδείξουμε την Ανισότητα

$\displaystyle{x^2y^2(x^2+y^2)\leq x+y=2.}$

Αυτή ισχύει αφού σύμφωνα με την Ανισότητα AM-GM θα έχουμε

$\displaystyle{x^2y^2(x^2+y^2)\leq\frac{(x+y)^2}{4}xy(x^2+y^2)=xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}\cdot (2xy)(x^2+y^2)\leq\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2xy+(x^2+y^2)}{2}\right]^2=\frac{2^4}{8}=2.}$

Μετά την όμορφη λύση που έδωσε ο Γιώργος (ο οποίος "παίζει στα δάκτυλά του" τις ανισώσεις

), γράφω και την δική μου λύση:

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{x^4 y^2 -x\leq y-x^2 y^4 \Leftrightarrow x^4 y^2 +x^2 y^4 \leq x+y \Leftrightarrow x^2 y^2 (x^2 +y^2 )\leq 2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2 y^2 [(x+y)^2 -2xy]\leq 2 \Leftrightarrow x^2 y^2 (4-2xy)\leq 2 \Leftrightarrow x^3 y^3 -2x^2 y^2 +1 \geq 0 \Leftrightarrow x^3 y^3 -x^2 y^2 -x^2 y^2 +1 \geq 0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2 y^2 (xy-1)-(xy-1)(xy+1)\geq 0 \Leftrightarrow (xy-1)(x^2 y^2 -xy-1)\geq 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(xy-1)[(xy-1)(xy+1)-xy]\geq 0 \Leftrightarrow (xy-1)^2 (xy+1)+xy(1-xy)\geq 0}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Θα αποδείξουμε ότι η (ΣΧΕΣΗ 1) είναι αληθής. Επειδή $\displaystyle{x,y \geq 0}$ , αρκεί μόνο να δείξουμε ότι $\displaystyle{xy\leq 1}$ . Πράγματι, έστω ότι είναι $\displaystyle{xy >1}$ . Τότε

$\displaystyle{xy+x^2 >1+x^2 \Rightarrow x(y+x)>1+x^2 \Rightarrow 2x>1+x^2 \Rightarrow x^2 -2x+1<0\Rightarrow (x-1)^2 <0,}$ το οποίο είναι άτοπο. Άρα πράγματι είναι

$\displaystyle{xy\leq 1}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#1652

ΑΣΚΗΣΗ 550: (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από 1 μέχρι το 10). Σε μια εκδρομή πήραν μέρος άνδρες, γυναίκες και

παιδιά.

Όλοι οι εκδρομείς ήταν περισσότεροι από 100

και λιγότεροι από 200

, ενώ οι άνδρες ήταν το $23\%$ των γυναικών. Πόσοι ήταν όλοι μαζί οι εκδρομείς;

#1653

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 549: (Βαθμός δυσκολίας 7, με κλίμακα από τo 1 έως το 10) Αν $\displaystyle{x,y\geq 0}$ και $\displaystyle{x+y=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{x(x^3 y^2 -1)\leq y(1-x^2 y^3 )}$

Και αλλιώς:

Υπάρχει $\displaystyle{a\in [-1,1]}$ ώστε $\displaystyle{x=1-a,y=1+a,}$ οπότε

$\displaystyle{x^2y^2(x^2+y^2)=2(1-a^4)(1-a^2)\leq 2.}$

#1654

ΑΣΚΗΣΗ 551
Βρείτε τον $\displaystyle{ 2015}$ ο όρο της ακολουθίας $\displaystyle{1,2,-2,3,-3,3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,...}$

jason.prod · #1655

Όταν λέμε βαθμός δυσκολίας 10, τι επίπεδο εννοούμε σε σχέση με τους διαγωνισμούς νέων;

jason.prod · #1656

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 551
Βρείτε τον $\displaystyle{ 2015}$ ο όρο της ακολουθίας $\displaystyle{1,2,-2,3,-3,3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,...}$

Απάντηση: -63

Λύση
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός n εμφανίζεται στην ακολουθία n φορές με εναλλαγή προσήμων. Αν ο n είναι περιττός, τότε η ακολουθία των προσήμων είναι +,-,+,-,+...,-,+ ενώ αν είναι άρτιος αυτή είναι +,-,+,-,+...,+,-. Επίσης είναι 1+2+...+62=1953 < 2015 < 1+2+...+63= 2016

άρα η απόλυτη τιμή του ζητούμενου όρου είναι 63. Επίσης, ο 63 είναι περιττός, άρα ο τελευταίος όρος με απόλυτη τιμή 63 έχει πρόσημο +. Αυτός είναι ο 2016ος όρος, άρα ο 2015ος όρος έχει πρόσημο - και απόλυτη τιμή 63, άρα είναι ίσος με -63.

#1657

jasonmaths4ever έγραψε:Όταν λέμε βαθμός δυσκολίας 10, τι επίπεδο εννοούμε σε σχέση με τους διαγωνισμούς νέων;

Για τους διαγωνισμούς της ΕΜΕ στο Γυμνάσιο, (ΘΑΛΗΣ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ) η κλίμακα από το 1 έως το 10 καλύπτει όλα τα θέματα από τα εύκολα μέχρι και τα πιο δύσκολα που μπορούν να τεθούν.

Όμως για επίπεδο διεθνών διαγωνισμών νέων, είναι μόνο εισαγωγικό το θέμα. Για προχωρημένους, υπάρχει το "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ"

Soteris · #1658

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 550: (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από 1 μέχρι το 10). Σε μια εκδρομή πήραν μέρος άνδρες, γυναίκες και παιδιά.

Όλοι οι εκδρομείς ήταν περισσότεροι από και λιγότεροι από , ενώ οι άνδρες ήταν το $23\%$ των γυναικών. Πόσοι ήταν όλοι μαζί οι εκδρομείς;

Έστω ότι στην εκδρομή αυτή πήραν μέρος

άνδρες και

γυναίκες, με τα x, y

να είναι θετικοί ακέραιοι. Έχουμε: $x=\dfrac{23}{100}y\Leftrightarrow y=\dfrac{100x}{23}=\dfrac{2^2 5^2 x}{23}$ . Αφού το

είναι θετικός ακέραιος, τότε $23\mid x$ . Έχουμε: x=23, 46, 69, ...

, με τις τιμές x=23, y=100

να είναι οι μοναδικές που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος. Τελικά, στην εκδρομή πήραν μέρος 136

άτομα.

#1659

ΑΣΚΗΣΗ 552 (Βαθμός δυσκολίας 8, με κλίμακα από 1 έως 10). Να ΄λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{9y^2 -4x^2 = 12y +17x - 42}$ , με $\displaystyle{x,y \in N}$

#1660

ΑΣΚΗΣΗ 553
Έστω x,y,z

μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x+y+z=xyz

. Να δείξετε ότι $\displaystyle{x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{3}(x+y+z)}$

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση