mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 18, 2023 7:58 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pm Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε $k\in \mathbb N$ , όπου οι αριθμοί Fibonacci

Αν υπήρχε τέτοιο πολυώνυμο, θα είχαμε

$\displaystyle{f(k+1)=F_{k+1}}$ και $\displaystyle{f(k+2)=F_{k+2}}$ για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{N}}$ , οπότε θα ήταν

$\displaystyle{f(k+1)+f(k)=f(k+2)}$ για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{N}}$ , άρα

$\displaystyle{f(x+1)+f(x)=f(x+2)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .

Θέτοντας $\displaystyle{f(x)=a_n x^n +\cdots }$ , βλέπουμε ότι αυτό είναι αδύνατο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 18, 2023 12:14 pm**

Άσκηση 52
Ένα πολυώνυμο εκατοστού βαθμού έχει την μορφή $x^{100} - 100x^{99} +$ ####################.
Δυστυχώς ένα τμήμα του πολυωνύμου δεν φαίνεται γιατί έπεσε μελάνι πάνω του και το μουτζούρωσε.
Να βρεθούν όλες οι ρίζες του πολυωνύμου (μαζί με τις πολλαπλότητές τους) αν δίνεται ότι είναι θετικές.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 18, 2023 1:59 pm**

Για την άσκηση 52:

Αν $x_{1},x_{2},...,x_{100}$ οι ρίζες, τότε από τους τύπους Vieta, ισχύει:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{100}=100$

και

$x_{1}...x_{100}=1$ .

Όμως, επειδή οι ρίζες θετικές, ισχύει η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου $x_{1}+...+x_{100}\geq 100\sqrt[100]{x_{1}...x_{100}}$ .

Επειδή ισχύει ως ισότητα , θα πρέπει όλες οι ρίζες να είναι ίσες μεταξύ τους και τελικά ίσες με

.

Τελικά, μοναδική ρίζα x=1

με πολλαπλότητα 100

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 18, 2023 4:12 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pm Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε $k\in \mathbb N$ , όπου οι αριθμοί Fibonacci

Ας δούμε ακόμη μία λύση για αυτή.

Ορίζουμε $Q(x) = \Delta P(x) = P(x+1) - P(x)$ το οποίο είναι επίσης πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του

. Αλλά $Q(k) = P(k+1)-P(k) = F_{k+1} - F_{k} = F_{k-1} = P(k-1)$ . Αυτό ισχύει για κάθε φυσικό $k \geqslant 1$ άρα Q(x) = P(x-1)

το οποίο έχει τον ίδιο βαθμό με το

, άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 20, 2023 1:29 am**

Άσκηση 53
Να βρεθεί πολυώνυμο πέμπτου βαθμού τέτοιο ώστε τo να διαιρεί το και το να διαιρεί το .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 20, 2023 9:31 am**

Καλημέρα.

Για την άσκηση 53:

Το

τριπλή ρίζα του p(x)

, άρα διπλή ρίζα του p'(x)

και $x^2\mid p'(x)$ .

Το

τριπλή ρίζα του p(x)-1

, άρα διπλή ρίζα του p'(x)

και $(x-1)^2\mid p'(x)$ .

Τελικά , $x^2(x-1)^2\mid p'(x)$ κι επειδή p'(x)

τετάρτου βαθμού,

p'(x)=cx^2(x-1)^2

.

Άρα, $\int p'(x)dx=c\int x^2(x-1)^2dx=c(\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{2x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3})+c_{1}$ .

Επειδή θέλω p(1)-1=0,p(0)=0

, επιλέγω $c=30,c_{1}=0$ , και παίρνω τελικά το πολυώνυμο

p(x)=6x^5-15x^4+10x^3

, που με διαίρεση πολυωνύμων βλέπω ότι ικανοποιεί τα ζητούμενα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 20, 2023 9:52 am**

ksofsa έγραψε: Κυρ Αύγ 20, 2023 9:31 am ... $x^2\mid p'(x)$ .

... και $(x-1)^2\mid p'(x)$ .

Τελικά , $x^2(x-1)^2\mid p'(x)$ ...

Θαυμάσια! Ούτε που μου πήγε το μυαλό στην παραγώγιση.

Αργότερα, αν χρειαστεί, θα γράψω λύση χωρίς παραγώγους για να είναι προσιτή σε μαθητές μικρότερων τάξεων.

Επίσης, για όφελος των μαθητών ας σημειώσω ότι στην παραπάνω ωραία λύση έγινε χρήση του εξής: Αν P, Q, R

πολυώνυμα με Q|P

και

και αν ακόμα τα Q,R

είναι πρώτα μεταξύ τους, συμβολικά (Q,R) =1

, τότε

. Δηλαδή ισχύει κάτι ανάλογο με μια ιδιότητα των ακεραίων. Η απόδειξη του γεγονότος αυτού για τα πολυώνυμα είναι ίδια με την αντίστοιχη για τους ακεραίους. Οποιος δεν την γνωρίζει, ας την αποδείξει.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 23, 2023 12:56 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 20, 2023 1:29 am Άσκηση 53
Να βρεθεί πολυώνυμο πέμπτου βαθμού τέτοιο ώστε τo να διαιρεί το και το να διαιρεί το .

Άλλη λύση, πέρα από την λύση του Κώστα στο ποστ # 186

Αφού

διαιρεί το p(x)

, που είναι πέμπτου βαθμού, υπάρχει πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με p(x) = (ax^2+bx+c)x^3

. Όμοια,

, δηλαδή

Συγκρίνουμε τώρα τους συντελεστές των x^2, x

και του σταθερού όρου στις δύο παραστάσεις του

, που βέβαια στην πρώτη περίπτωση είναι

. Έχουμε λοιπόν

$-A + 3B -3C=0, \, -B+3C=0, \, -C+1=0$ .

Λύνοντας θα βρούμε $C=1,\, B=3, \, A= 6$ . Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το p(x)=(6x^2+3x+1)(x^3-3x^2+3x-1) + 1= 6x^5 -15x^4-10x^3

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 13, 2023 10:54 pm**

Άσκηση 54
Έστω $P,\, Q$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Δείξτε ότι αν τα σύνολα

$\{ n \in \mathbb N | P(n)\le Q(n) \}$ , $\{ n \in \mathbb N | Q(n)\le P(n) \}$

είναι και τα δύο απειροσύνολα, τότε .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 10:50 am**

Άσκηση 55

Ένα πολυώνυμο P(x)

,

ου βαθμού παρουσιάζει στις θέσεις x=-1

και

, ελάχιστο ,

το : P(-1)=P(2)=-5

. Αν ακόμη είναι : P(1)=-4

, υπολογίστε το P(4)

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 12:04 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 30, 2023 10:50 am Άσκηση 55

Ένα πολυώνυμο , ου βαθμού παρουσιάζει στις θέσεις και , ελάχιστο ,

το : . Αν ακόμη είναι : , υπολογίστε το .

Μπορούμε και καλύτερα, συγκεκριμένα να βρούμε το

.

Από την συνθήκη P(-1)=P(2)=-5

έπεται ότι τα

και

είναι ρίζες του P(x)+5

. Άρα $P(x)+5=(x+1)(x-2) Q(x), \,(*)$ . Ψάχνουμε λοιπόν το (δευτεροβάθμιο)

. Ξέρουμε γι' αυτό ότι

α) $Q(1) = \dfrac {P(1) +5} {(1+1)(1-2)} = \dfrac {-4 +5} {-2} =- \dfrac {1}{2}$ .

Επίσης από τις P'(-1) = P(2) =0

(λόγω του ελαχίστου) έχουμε από την (*)

ότι

β) P'(x) = Q΄(x) (x+1)(x-2) + (2x-1)Q(x)

οπότε στο

δίνει $0= Q'(-1)\cdot 0 + Q(-1) \cdot (-3)$ , άρα Q(-1)= 0

. Όμοια

. Οπότε τα -1, 2

είναι ρίζες του

και

. Από το α) είναι $a = \dfrac {1}{4}$ .

Έτσι από την (*)

είναι $\boxed {P(x)= \dfrac {1}{4}(x+1)^2(x-2)^2 -5}$

(Σχόλιο: Τα -1,2

είναι διπλή ρίζα του P(x)-5

και θα μπορούσα να το χρησιμοποιήσω στην λύση. Προτίμησα τα βήματα που έκανα, τα οποία ουσιαστικά δείχνουν την ιδιότητα της διπλής ρίζας, για να μένω εντός σχολικής ύλης.)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2024 11:27 am**

Μένει αναπάντητη η Άσκηση 54. Την είχα ξεχάσει και τώρα βλέπω ότι ... έχω ξεχάσει και πώς λύνεται...

Για την ώρα προσθέτω μία νέα. Την είδα σε Σουηδικό μαθητικό διαγωνισμό αλλά την θεωρώ μάλλον εύκολη για εκεί.

Άσκηση 56
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

(Το

είναι η πάραγωγος και αντίστοιχα το P''

)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2024 11:40 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 13, 2023 10:54 pm Άσκηση 54
Έστω $P,\, Q$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Δείξτε ότι αν τα σύνολα

$\{ n \in \mathbb N | P(n)\le Q(n) \}$ , $\{ n \in \mathbb N | Q(n)\le P(n) \}$

είναι και τα δύο απειροσύνολα, τότε .

Θεωρούμε το πολυώνυμο R = P-Q

και υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Έστω $\alpha$ η μεγαλύτερη πραγματική ρίζα του

(αν υπάρχει). Τότε το

διατηρεί πρόσημο στο $(\alpha,\infty)$ . (Αν το

δεν έχει πραγματική ρίζα, τότε διατηρεί πρόσημο σε όλο το $\mathbb{R}$ .)

Χωρίς βλάβη της γενικότητας R(x) > 0

για κάθε $x \in (\alpha,\infty)$ . Τότε όμως το σύνολο $\{ n \in \mathbb N | P(n)\le Q(n) \}$ είναι πεπερασμένο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 11:53 am**

.
Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56. Αναρτώ και μία νέα:

Άσκηση 57
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 4:11 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 16, 2024 11:53 am .
Άσκηση 57
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

Χαίρετε,

(θεωρώντας ότι $P\in\mathbb{R}[X]$ )

Για το πολυώνυμο P(x)

υπάρχουν δυο περιπτώσεις:

$\bullet$ είτε είναι το σταθερό πολυώνυμο οπότε θέτοντας P(x)=c

βρίσκουμε

το οποίο είναι αδύνατον αφ' ου $c\in\mathbb{R}$

$\bullet$ είτε δεν είναι το σταθερό πολύωνυμο οπότε το πολυώνυμο P(x)-x^2-9

θα έχει απείρου πλήθους ρίζες.
Επειδή το πλήθος των ριζών ενός μη μηδενικού πολυωνύμου δεν μπορεί να ξεπερνά το βαθμό του,
το P(x)-x^2-9

πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο οπότε είναι αναγκαίο να ισχύει P(x)=x^2+9

Παρατηρούμε ότι το x^2+9

ικανοποιεί τη δοσμένη σχέση οπότε είναι ακριβώς το πολυώνυμο που ψάχνουμε. $\blacksquare$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 5:05 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 16, 2024 11:53 am .
Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 03, 2024 11:27 am
Άσκηση 56
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

(Το είναι η πάραγωγος και αντίστοιχα το )

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

#1. Το P''(x)

είναι το μηδενικό πολυώνυμο οπότε το P(2x)

και συνεπώς το P(x)

είναι επίσης το μηδενικό.

#2. Το P''(x)

δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο οπότε αν $n=\deg P(x)$ θα έχουμε $n-2\ge0$
και από τη δοσμένη σχέση θα πρέπει n=(n-1)+(n-2)

οπότε

Θέτοντας

με $a\ne0$
η δοσμένη σχέση δίνει ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με αγνώστους τα a,b,c,d

από το οποίο βρίσκουμε εν τέλει ότι $P(x)=\dfrac{4}{9}x^3$ $\blacksquare$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 17, 2024 12:27 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 16, 2024 11:53 am .
Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56. Αναρτώ και μία νέα:

Άσκηση 57
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

Εστω βαθμος του πολυωνυμου $degP(x)=n\in \mathbb{N}$ . Απο την ισοτητα προκυπτει οτι $2n=n^2\Leftrightarrow n=0\vee n=2$ . Αν n=0

, παιρνουμε το σταθερο πολυωνυμο

, συγκεκριμενα $c\in \mathbb{C}$ . Για n=2

, εστω $P(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$ . Απο την σχεση προκυπτει:

a^2x^4+2abx^3+(b^2+2ac)x^2+2bcx+c^2

=a^3x^4+2a^2bx^3+(ab^2+2a^2c+ab)x^2+(2abc+b^2)x+ac^2+bc+c-9

$\Rightarrow (a^2=a^3\land 2ab=2a^2b\land b^2+2ac=ab^2+2a^2c+ab\land 2bc=2abc+b^2\land c^2=ac^2+bc+c-9)$

$\Rightarrow (a=1\land 2b=2b\land b=0\land c=9)$ . Επομενως, το ζητουμενο πολυωνυμο ειναι το x^2+9

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 17, 2024 3:22 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 16, 2024 11:53 am .
Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56. Αναρτώ και μία νέα:

Άσκηση 57
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

Ας δούμε κάτι πιο σύντομο.

Αν το P(x)

είναι σταθερό πολυώνυμο, τότε P(x) = c

όπου

που απορρίπτεται. (Αν μιλάμε για πραγματικά πολυώνυμα.)

Σε διαφορετική περίπτωση ορίζουμε Q(x) = P(x)-9

και παρατηρούμε ότι

$\displaystyle Q(P(x)) = P(P(x))-9 = P(x)^2$

Επειδή το

δεν είναι σταθερό, τότε το σύνολο $Α = \{P(x): x \in \mathbb{R}$ είναι άπειρο. Ορίζουμε τώρα R(x) = Q(x) - x^2

για παρατηρούμε ότι για κάθε $x \in A$ έχουμε R(x) = 0

. Επειδή το

είναι άπειρο, τότε R(x)

είναι το μηδενικό πολυώνυμο που δίνει P(x) = x^2+9

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 17, 2024 3:59 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 03, 2024 11:27 am Άσκηση 56
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που για κάθε ικανοποιούν

Μια ενδιαφέρουσα «εκτός ύλης» λύση: Αν P''

ταυτοτικά μηδέν, τότε και το

είναι ταυτοτικά μηδέν. Αλλιώς το πολυώνυμο έχει βαθμό τουλάχιστον

και συγκρίνοντας βαθμούς παίρνουμε ότι έχει βαθμό ακριβώς

.

Έστω

οι ρίζες του

. (Επιτρέπεται a=b

.) Τότε (εύκολο) η ρίζα του P''

είναι η

. Άρα οι ρίζες του P''

είναι οι

.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $|a| \geqslant |b|$ . Αν $a \neq 0$ τότε $|b/2| \leqslant |a|/2 < |a|$ και $|a+b|/4 \leqslant |a|/2 < |a|$ . Άρα ο κύκλος ακτίνας |a|/2

περιέχει όλες τις ρίζες του

αλλά όχι όλες του

. Αυτό αντιβαίνει το θεώρημα Gauss-Lucas που λέει ότι οι ρίζες του

βρίσκονται μέσα στην κυρτή θήκη των ριζών του

.

Άρα

και

. Έυκολα τώρα βρίσκουμε ότι C = 4/9

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 26, 2024 11:16 am**

Άσκηση 58
Αν , να βρεθεί σε κλειστή μορφή το πολυώνυμο $f^{(n)}$ καθώς και οι ρίζες του.

Εδώ $f^{(1)}(x)=f(x)$ και επαγωγικά $f^{(n+1)} (x)= f^{(n)}(f(x))$ . Π.χ. $f^{(4)}(x)=f(f(f(f(x))))$