Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

#21

Δυστυχώς δεν μπορώ να παρακολουθήσω το θέμα, παρότι με ενδιαφέρει και επιβάλλεται να το παρακολουθώ, λόγω … ημερών! Ζητάω συγνώμη!

Τα δεδομένα δεν επαρκούν για την εύρεση του συνόλου τιμών της συνάρτησης! Από όλες τους τρόπους που θα μπορούσα να πειράξω τα δεδομένα της άσκησης της Φωτεινής, διάλεξα τον πλέον ανώδυνο. Ο πλέον "ύπουλος", ήταν να αλλάξω το πρόσημο στο f (x) δίνοντας την σχέση:

$f^3(x){\color{red} -} f(x)+1=x$

Αχρηστεύονται, λοιπόν, κάποιες μεθοδολογίες!

Εύχομαι καλό Πάσχα και καλή Ανάσταση σε όλο το mathematica. Είθε ο Χριστός να αναστηθεί εν Υμίν!

G.Tsikaloudakis · #22

Αν

και

,
τότε οι h, g είναι 1-1 με : h(R) = R

, g(R)=R και

$\forall x \in R{\rm{ }}{\rm{, }}h\left( {f(x)} \right) = g(x)$
Οπότε:

$\begin{array}{l} h\left( {f(R)} \right) = g(R) = R{\rm{ }} \Rightarrow \\ {\rm{ }} \\ {\rm{h}}^{ - 1} \left( {h\left( {f(R)} \right)} \right) = {\rm{h}}^{ - 1} (R) = R{\rm{ }} \Rightarrow \\ \\ {\rm{f(R) = R}} \\ \end{array}$

#23

Χρηστο Πετρο γραψτε αναλυτικα τις απαντησεις στην αρχικη ασκηση για να μπορεσουμε να παρουμε θεση!!
ΔΕΙΤΕ και αυτο :
viewtopic.php?f=52&t=12029
Υ.Γ: Η λυση της Ζilavita δεν ειναι σωστη και οχι ολοκληρωμενη.
Η λυση του Χρηστου ειναι ποιο σωστη αλλα οχι ολοκληρωμενη .
Η παρεμβαση του Πετρου αν καταλαβα καλα δεν σχεση με την λυση αλλα ειναι πιο γενικη.

#24

Φωτεινή έγραψε:καλημέρα ... ...
--------------------------
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει: $f^3(x)+f(x)+1=x ,\forall x \in \mathbb R$
a)Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα
b) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση $f^{-1}$
c)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \tau\eta s \ \ f^{-1}$

d) Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\eta\mu x}{f^{-1}(x)}}$

'Ισως είναι χρήσιμη στην συζήτηση και η συζήτηση που είχε γίνει εδώ:
viewtopic.php?f=55&p=5883#p5883
Μαυρογιάννης

chris · #25

Φωτεινή έγραψε:καλημέρα ... ...
--------------------------
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει: $f^3(x)+f(x)+1=x ,\forall x \in \mathbb R$
a)Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα
b) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση $f^{-1}$
c)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \tau\eta s \ \ f^{-1}$

d) Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\eta\mu x}{f^{-1}(x)}}$

α)

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=x^3+x+1,x \in \mathbb{R}$ που είναι παραγωγίσιμη με $g'(x)=3x^2+1>0,x \in \mathbb{R}$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της!

Για οποιαδήποτε $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με
$\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f^3(x_1)+f(x_1)+1=f^3(x_2)+f(x_2)+1\Rightarrow g(f_1(x_1))<g(f(x_2))\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
επόμενως η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

b)
Αφού η

είναι γνήσια αύξουσα είναι και 1-1 άρα υπάρχει η $f^{-1}$ .

γ)
Το σύνολο τιμών της $f^{-1}$ ταυτίζεται με το πεδίο ορισμού της

οπότε είναι όλο το $\mathbb{R}$ .
Για το σύνολο τιμών της
1ος τρόπος:

Έστω τυχαίο $y \in \mathbb{R}$ και θέτουμε y^3+y+1=x

προσπαθώντας να αποδείξουμε οτι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ ώστε f(x)=y

.Πράγματι:
$\displaystyle y^3+y+1=x\Leftrightarrow y^3+y+1=f^3(x)+f(x)+1\Leftrightarrow g(y)=g(f(x))\Leftrightarrow f(x)=y$
Επομένως $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

2ος τρόπος

Θεωρούμε τυχαίο $y\in \mathbb{R}$ και θέτουμε x=y^3+y+1

.
Τότε

και επομένως:
$\displaystyle \left(f(x)-y \right)\left[f^2(x)+f(x)y+y^2+1 \right]=0\Leftrightarrow\left(f(x)-y \right)\left[\left(f(x)+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}+1 \right]=0 \Leftrightarrow f(x)=y$

διότι $\displaystyle \left(f(x)+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}+1 >0$
άρα $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .

Για τον προσδιορισμό της αντίστροφης τώρα επειδή $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ και κάθε

είναι η εικόνα ενός ακριβώς $x \in \mathbb{R}$ θέτουμε όπου

το $f^{-1}(x)$ για τα

που ανήκουν στο σύνολο τιμών της

-"πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ "- δηλαδή στο $\mathbb{R}$ και έχουμε:
$\displaystyle \left[f(f^{-1}(x)) \right]^3+f(f^{-1}(x))+1=f^{-1}(x),x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x^3+x+1,x \in \mathbb{R}$

Αν θέλετε γράφω και το τελευταίο αλλά δεν μας απασχολεί τόσο.
Αυτό που ισχυρίζομαι είναι οτι για να προσδιορίσουμε την αντίστροφη εκτός του τύπου θέλουμε και το πεδίο ορισμού που για να το βρούμε αναγκαζόμαστε να βρούμε το σύνολο τιμών της

αλλιώς είναι δώρο άδωρο να βρούμε απλώς τον τύπο(αν και στη συγκεκριμένη άσκηση μέχρι το γ δεν ζητάει να προσδιορίσουμε την $f^{-1}$ .) δηλαδή αυτό που κάνει και ο κ .Τηλέγραφος στο τελευταίο post του link που μας έδωσε...δεν αρκείται στο να βάλει όπου

το $f^{-1}$
Για ακόμη περισσότερο αναλυτική λύση σας παραπέμπω σελ.498 Χ.Στεργίου-Χ.Νάκης-Ι.Στεργίου/Παράγωγος-Ολοκλήρωμα Γ2

Φιλικούς χαιρετισμούς απο τα βροχερά Τρίκαλα

EDIT:
Οι απαντήσεις του κ.Κυριακόπουλου περί εύρεσης του συνόλου τιμών της

πρώτα και μετά του τύπου της $f^{-1}$ εδώ στο link του parmenides προσωπικά με κάλυψαν απόλυτα!Τα συμπεράσματα δικά σας!Καλησπέρα!!

petros r · #26

petros r έγραψε:Βλέποντας την σωστή παρατήρηση τοθ rek2 κοιτούσα επι πολλή ώρα αυτό που έγραψα και δεν μπορούσα να βρώ λάθος. Το βρήκα! είχα φτάσει στο σημείο όπου $g^{-1}(x)=f(x)$ (1)με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ ,+00). Είχα επίσης αναφέρει ότι η ελάχιστη τιμή της g είναι η $\frac{3}{4}$ για $x=\frac{-1}{2}$ . Άρα η ελάχιστη τιμή της $g^{-1}$ είναι το $\frac{-1}{2}$ για $x=\frac{3}{4}$ Από την (1) συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι το $\frac{-1}{2}$ . Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το [ $\frac{-1}{2}$ ,+00).

Απλώς επειδή είδα το πόστ του rek2 στο οποίο έλεγε ότι τα δεδομένα δεν επαρκούσαν για να βρούμε το σύνολο τιμών της f. Αυτό που γράφω δεν είναι σωστό?

Χαιρετισμούς απο τον ποταμό Κόσυνθο της Ξάνθης!

Υ.Γ Chris πολύ σωστά στο τελευταίο σου πόστ!

parmenides51 · #27

Δείτε κι εδώ

Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Μέλη σε σύνδεση