ΘΑΛΗΣ-2012

dimitris.ligonis · #21

καλησπέρα.Εγώ έδινα σήμερα Β λυκειου.Έλυσα το 1ο,2ο,4ο.Δύσκολη αλλά όμορφη γεωμετρία!!!

#22

Όμορφα τα θέματα 3,4 σε Γ λυκείου και Β λυκείου. Να κάνω μόνο δύο επισημάνσεις.
1ον) Με λύπησε το γεγονός ότι σε ένα τμήμα 12 ατόμων Β Λυκείου, το 40% χρησιμοποίησε τουλάχιστον μία φορά το εξής: (a+b)^2=a^2+b^2

Το γεωμετρικό θέμα επίσης δεν ακουμπήθηκε από κανέναν στο εξεταστικό κέντρο.

2ον) Για το θέμα γεωμετρίας της Α λυκείου (το θέμα 4) κοιτάξτε τον Αρχιμήδη των μικρών το 2005 το πρώτο θέμα.

goneosfun · #23

Η κόρη μου φέτος συμμετείχε στον Θαλή στην γ' γυμνασίου.Όπως μου είπε: το 1ο θέμα ήταν παραπάνω δύσκολο απ'ότι θα έπρεπε να είναι ,κατα την γνώμη της, το δεύτερο ηταν πολύ εύκολο και το τρίτο ,παρά τις όποιες δυσκολίες που παριουσιάζονταν ,μπορούσε να λυθει χωρίς ιδιαίτερα μεγάλο κόπο.Όσον αφορά το τέταρτο θέμα τώρα,απογοητεύτηκε καθώς τις γνώσεις που έπρεπε να έχει για να το λύσει δεν τις είχε,δικαιολογουμένως ,βέβαια.

Το πρώτο θέμα το έλυσε σχεδόν όλο ,και λέω σχεδόν γιατί μία παραβλεψία στην προτελευταία σειρά των πράξεων ,ξεχνώντας το -1 την οδήγησε σε λάθος αποτέλεσμα ,παρολ'αυτά σε τετράγωνο αριθμού, ενώ χωρίς το μικρό αυτό λάθος θα ήταν ολόσωστη.
Τη δεύετερη την έλυσε ολόσωστα, και την τρίτη, στις τελευταίες σειρές των πράξεων για να βρει την γωνία ω ,απο απροσεξία τον παρανομαστή 12 ενός κλάσματος τον έγραψε 2! και έτσι η γωνία της βγήκε 6 φορες μεγαλυτερη από την σωστή τιμή της.Ενώ επίσης δεν πρόλαβε να λύσει και την παράσταση Σ.Στο τεταρτο, καταγράφοντας τα δεδομένα και τα ζητούμενα χρησιμοποίησε το πυθαγόρειο θεώρημα ως βάση.Παρολ'αυτά ,και ο χρόνος δεν της έφτασε καθώς το πρώτο θεμα της έφαγε πάνω 1 ωρα και κάτι ,αλλά και υστερούσε των απαιτουμένων γνώσεων,και έτσι δεν το έλυσε μέχρι τέλους.
Είμαι της άποψης ότι μπορεί και να περάσει οριακά.
Τί γνώμη έχετε εσείς;

Ιστοσελίδα · #24

Μια λύση για τη Γεωμετρία Α’ Λυκείου με χρήση (του “απαγορευμένου” πλέον για την Γ’ Γυμνασίου) θεωρήματος Θαλή.

: ALykeiou2012.png (16.68 KiB) Προβλήθηκε 2639 φορές

Ξεκινάμε απ’ το σημείο που έχουμε δείξει ότι ${\rm B}\Gamma = \Gamma {\rm E} = a$ και προεκτείνουμε την $\Gamma {\rm E}$ κατά τμήμα ${\rm E}{\rm K} = a$ . Το ${\rm A}{\rm K}\Gamma {\rm B}$ είναι παραλληλόγραμμο (δύο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες), οπότε από Θαλή: $\displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm E}{\rm Z}}}\mathop = \limits^{{\rm A}{\rm K}//\Gamma {\rm Z}} \displaystyle\frac{{{\rm E}{\rm K}}}{{\Gamma {\rm E}}} = 1$ .

Έτσι η ${\rm B}{\rm E}$ είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου ${\rm B}{\rm A}{\rm Z}$ , άρα αυτό είναι ισοσκελές.

S.E.Louridas · #25

Επειδή άρεσε το θέμα της Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου ας μου επιτραπεί μία διαπραγμάτευση με βάση την μέθοδο εκμετάλλευσης του μονοσήμαντα προσδιορισμένου σημείου που κατά κόρον έχει εφαρμοστεί εδώ στο mathematica.

$N{'} \equiv AT \cap \left( O \right) \Rightarrow \angle MN{'} B = \angle MAB = \angle BAN{'} = \angle BMN{'} \Rightarrow$ $BM = BN{'} \Rightarrow N \equiv N{'}$ .
Άρα τα σημεία A,T,N

είναι συνευθειακά όπως και τα σημεία B,T,K

.
Προφανώς η λύση τελειώνει εδώ.

thalis · #26

Γειά σας! Για τα θέματα και τις λύσεις του Θαλή Γ' λυκείου έχω μία απορία: στο 3ο θέμα βρήκα ως λύσεις τους εξής δύο συνδυασμούς x,y,z : x=7, y=7, z=7

ή

και . Στις λύσεις της Ε.Μ.Ε. οι δύο συνδυασμοί είναι: x=7, y=7, z=7

ή

και . Έχουν κάνει λάθος; Κατά τα άλλα, έλυσα και το 2ο θέμα. Έλυσε κανείς τη γεωμετρία και το θέμα 1; Με δύο θέματα μπορεί να περάσω;

#27

thalis έγραψε:Γειά σας! Για τα θέματα και τις λύσεις του Θαλή Γ' λυκείου έχω μία απορία: στο 3ο θέμα βρήκα ως λύσεις τους εξής δύο συνδυασμούς x,y,z : x=7, y=7, z=7 ή x=-7, z=-7 και y=7. Στις λύσεις της Ε.Μ.Ε. οι δύο συνδυασμοί είναι: x=7, y=7, z=7 ή x=-7, z=-7 και y=-7. Έχουν κάνει λάθος; Κατά τα άλλα, έλυσα και το 2ο θέμα. Έλυσε κανείς τη γεωμετρία και το θέμα 1; Με δύο θέματα μπορεί να περάσω;

Σωστό είναι αυτό που έχεις γράψει εσύ.

#28

Για το τέταρτο θέμα της γεωμετρίας της Γ Γυμνασίου, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και τριγωνομετρία και Πυθαγόρειο θεώρημα.

Έστω γων $\displaystyle{BAE=w}$ . Τότε $\displaystyle{w=90-BA\Gamma \Rightarrow w=90-A\Gamma\Delta \Rightarrow w=A\Gamma B}$

Aπό το ορθ. τρίγ. $\displaystyle{BE\Gamma \Rightarrow \eta\mu w=\frac{BE}{a}}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Aπό το ορθ. τρίγ. $\displaystyle{AB\Gamma\Rightarrow \eta\mu w=\frac{x}{3y}}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Από το ορθ. τρίγ. $\displaystyle{AEB\Rightarrow \eta\my w=\frac{y}{x}}$ , (ΣΧΕΣΗ 3)

Από τις παραπάνω τρεις σχέσεις, έχω:

$\displaystyle{\frac{BE}{a}=\frac{x}{3y}=\frac{y}{x}=k}$ . Άρα: $\displaystyle{BE=ka , x=3ky , y=kx}$

Από την $\displaystyle{y=kx\Rightarrow y=k.3ky\Rightarrow 1=3k^2\Rightarrow k=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

Άρα:

$\displaystyle{BE=\frac{1}{\sqrt{3}}a , y=\frac{1}{\sqrt{3}}x}$

Τώρα από το ορθ. τρίγ. $\displaystyle{ABE}$ , έχουμε: $\displaystyle{x^2 =y^2 +BE^2 \Rightarrow x^2 =\frac{1}{3}x^2 +\frac{1}{3}a^2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{2x^2 =a^2 \Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Το (β) ερώτημα, είναι απλό, όπως έχει δοθεί στις ενδεικτιοκές λύσεις της ΕΜΕ

kleovoulos · #29

Γεια σας.
Σήμερα έδωσα το Θαλή της Γ' Γυμνασίου και πρέπει να ομολογήσω ότι τα θέματα ήτανε σχετικά δύσκολα.
Αναρτώ αυτό το Θέμα για να ρωτήσω τον τρόπο που βαθμολογούνται τα γραπτά, τη βάση που θα έχουν τα φετινά θέματα, πότε ανακοινώνονται οι επιτυχόντες κτλ.

Θέμα 1ο - Προφανώς το δυσκολότερο. Κατάφερα να βρω ότι ο αριθμητής ήτανε $2^{-10}$ και απλοποίησα τον παρονομαστή όσο έφταναν οι γνώσεις μου και έφτασα στο σημείο να έχω ρητό αριθμό υψωμένο στο τετράγωνο (λογικά τέλειο τετράγωνο) - Βέβαια απ'όσο είδα μπορούσε να απλοποιηθεί για 2-3 βήματα περισσότερο ο παρονομαστής. Πόσο λέτε να πάρω σε αυτό;

Θέμα 2ο - Το θεώρησα το ευκολότερο. Η λύση μου ήτανε ακριβώς όπως και της ΕΜΕ, όπου $a>\frac {16}{7}$ . Θα πάρω 5/5;

Θέμα 3ο - Με σκέψη ήτανε μέτριο, αν και θεώρησα σχετικά τρελό το ότι έβαλαν θεωρία εκτός (Εμβαδόν κυκλικού τομέα). Έλυσα το πρώτο σκέλος με τη λογική, λέγοντας ότι η γωνία ΑΟΒ είναι επίκεντρη και θα βαίνει στο τόξο ΑΒ το οποίο θα είναι ίσο με το ένα δωδέκατο του κύκλου, και η γωνία (η επίκεντρη ΑΟΒ που βαίνει σε αυτό) θα είναι ίση με αυτό άρα $AOB=\frac {1}{12}360 \Leftrightarrow AOB=\frac {360}{12} \Leftrightarrow AOB=30$ . Συνέχισα στο δεύτερο σκέλος, βρίσκοντας 2 κλάσματα υψωμένα στον κύβο με ταυτότητα τύπου (a+b)^3

. Βέβαια δεν χρησιμοποίησα την ταυτότητα γιατί η ύλη είναι μόνο η περσινή. Παρ'όλα αυτά θα μπορούσα να είχα κάνει ομώνυμα τα κλάσματα και να τα υψώσω στον κύβο, αλλά δε το σκέφτηκα ο χαζός.

Πόσο λέτε να πάρω;

Θέμα 4ο - Έλυσα μόνο το πρώτο σκέλος σωστά, και έχασα το δεύτερο λόγω βιασύνης/βλακείας, γιατί η συμμαθήτριά μου που είχε έρθει μαζί μου είχε βγει και με περίμενε. Ξέρω, δεν έπρεπε να είχα κάνει αυτό το λάθος αλλά τι να κάνουμε; (Παρόλα αυτά με βάση τα δεδομένα που έδωσα βρήκα σωστά το αποτέλεσμα.) Το πρώτο σκέλος το έλυσα διαφορετικά (όχι με χ,y,z) αλλά το αποτέλεσμα ήτανε πάλι το ίδιο. Εδώ πόσο θα πάρω;

Ευχαριστώ για το χρόνο σας.
Κλεόβουλος

#30

Kλεόβουλε, καλή επιτυχία.

Δεν μπορούμε να σου πούμε το τι έχεις γράψει, μιας και δεν έχουμε το γραπτό σου.
Με βάση τα λεγόμενά σου, έχεις γράψει καλά. Σημασία να ξέρεις, ότι δεν έχει το αν θα προκριθείς ή όχι, αλλά η όρεξη που έχεις και η αγάπη για τα μαθηματικά και αυτό θα σε κάνει να επιτύχεις τελικά τους στόχους σου.

Καλή πρόοδο

kleovoulos · #31

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Kλεόβουλε, καλή επιτυχία.

Δεν μπορούμε να σου πούμε το τι έχεις γράψει, μιας και δεν έχουμε το γραπτό σου.
Με βάση τα λεγόμενά σου, έχεις γράψει καλά. Σημασία να ξέρεις, ότι δεν έχει το αν θα προκριθείς ή όχι, αλλά η όρεξη που έχεις και η αγάπη για τα μαθηματικά και αυτό θα σε κάνει να επιτύχεις τελικά τους στόχους σου.

Καλή πρόοδο

Περάσω δεν περάσω θα παίρνω μέρος κάθε χρόνο γιατί ήτανε μία τέλεια εμπειρία που θύμιζε λίγο Πανελλαδικές. Ευχαριστώ για την ενθάρρυνση. Ελπίζω να περάσω

Karanus · #32

Κλεόβουλε για την προσπάθεια σου, την κριτική σου και την αυτοκριτική σου, που δείχνουν την αγάπη σου για τα μαθηματικά , σου εύχομαι με όλη μου την καρδιά να περάσεις.
Να ξέρεις όμως ότι τα λόγια του Δημήτρη παραπάνω, κρύβουν όλη την αλήθεια!!
Καλή πρόοδο.

parmenides51 · #33

προσωπικά συμβούλεψα μερικούς μαθητές είτε προκριθούν στην επόμενη φάση είτε όχι να ξαναέρθουν στα επόμενα μαθήματα για τον Ευκλείδη, όταν γίνουν

αν αγαπάς αυτό που κάνεις, θα έρθει η στιγμή που θα ανταμειφθείς αναλόγως

και μην τα συγκρίνεις με τις Πανελλαδικές, είναι διαφορετικοί οι στόχοι, οι απαιτήσεις και ο βαθμός δυσκολίας σε κάθε περίπτωση

καλά αποτελέσματα

ολόψυχα

#34

goneosfun έγραψε:Η κόρη μου φέτος συμμετείχε στον Θαλή στην γ' γυμνασίου.Όπως μου είπε: το 1ο θέμα ήταν παραπάνω δύσκολο απ'ότι θα έπρεπε να είναι ,κατα την γνώμη της, το δεύτερο ηταν πολύ εύκολο και το τρίτο ,παρά τις όποιες δυσκολίες που παριουσιάζονταν ,μπορούσε να λυθει χωρίς ιδιαίτερα μεγάλο κόπο.Όσον αφορά το τέταρτο θέμα τώρα,απογοητεύτηκε καθώς τις γνώσεις που έπρεπε να έχει για να το λύσει δεν τις είχε,δικαιολογουμένως ,βέβαια.

Το πρώτο θέμα το έλυσε σχεδόν όλο ,και λέω σχεδόν γιατί μία παραβλεψία στην προτελευταία σειρά των πράξεων ,ξεχνώντας το -1 την οδήγησε σε λάθος αποτέλεσμα ,παρολ'αυτά σε τετράγωνο αριθμού, ενώ χωρίς το μικρό αυτό λάθος θα ήταν ολόσωστη.
Τη δεύετερη την έλυσε ολόσωστα, και την τρίτη, στις τελευταίες σειρές των πράξεων για να βρει την γωνία ω ,απο απροσεξία τον παρανομαστή 12 ενός κλάσματος τον έγραψε 2! και έτσι η γωνία της βγήκε 6 φορες μεγαλυτερη από την σωστή τιμή της.Ενώ επίσης δεν πρόλαβε να λύσει και την παράσταση Σ.Στο τεταρτο, καταγράφοντας τα δεδομένα και τα ζητούμενα χρησιμοποίησε το πυθαγόρειο θεώρημα ως βάση.Παρολ'αυτά ,και ο χρόνος δεν της έφτασε καθώς το πρώτο θεμα της έφαγε πάνω 1 ωρα και κάτι ,αλλά και υστερούσε των απαιτουμένων γνώσεων,και έτσι δεν το έλυσε μέχρι τέλους.
Είμαι της άποψης ότι μπορεί και να περάσει οριακά.
Τί γνώμη έχετε εσείς;

Καλησπέρα. Πράγματι, το πρώτο θέμα δυσκόλεψε σχεδόν όλα τα παιδιά (κυρίως ο παρονομαστής,΄και σε άυτό πιστεύω
φταίει το ότι ακόμα δεν έχουν διδαχθεί την παραγοντοποίηση)
Αν τα λάθη που έκανε ήταν μόνο απροσεξίας, τότε έχει πιθανότητα πρόκρισης.
Βέβαια, όπως και εσύ καταλαβαίνεις, αξία μεγάλη έχει η συμμετοχή και δευτερεύον είναι η πρόκριση. Αυτά τα παιδιά που θυσιάζουν το Σάββατό τους για να έρθουν να διαγωνισθούν, είναι άξια θαυμασμού.
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

bboybast · #35

Μήπως γνωρίζει κάποιος πότε περίπου βγαίνουν τα αποτελέσματα?Καλά επιτυχία σε όλους!

Ιστοσελίδα · #36

Μία λύση από μαθητή στο εξεταστικό κέντρο που ήμουν σήμερα, στο πρόβλημα 1 της Γ΄ Λυκείου.

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $x\geq 2$ ισχύει:

$\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x} = \dfrac{x-1}{x+1} .$

Για x=2

είναι $\dfrac{1}{1+2} = \dfrac{1}{3}$ που ισχύει.

Έστω ότι ισχύει: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x} = \dfrac{x-1}{x+1}$

Θα αποδείξουμε ότι: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x}+\dfrac{1}{1+2+3+...+x+(x+1)}$ $= \dfrac{x}{x+2} .$

Είναι: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x}+\dfrac{1}{1+2+3+...+x+(x+1)} =$

$\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{(x-1)(x+2)+2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x^2+x-2+2}{(x+1)(x+2)} =$

$\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x}{x+2} .$

Επομένως, $\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{2011}{2013} \iff 2013x-2013=2011x+2011 \iff$

$2x=4024 \iff x=2012 .$

#37

stranton έγραψε:Μία λύση από μαθητή στο εξεταστικό κέντρο που ήμουν σήμερα, στο πρόβλημα 1 της Γ΄ Λυκείου.

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $x\geq 2$ ισχύει:

$\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x} = \dfrac{x-1}{x+1} .$

Για είναι $\dfrac{1}{1+2} = \dfrac{1}{3}$ που ισχύει.

Έστω ότι ισχύει: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x} = \dfrac{x-1}{x+1}$

Θα αποδείξουμε ότι: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x}+\dfrac{1}{1+2+3+...+x+(x+1)}$ $= \dfrac{x}{x+2} .$

Είναι: $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+x}+\dfrac{1}{1+2+3+...+x+(x+1)} =$

$\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{(x-1)(x+2)+2}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x^2+x-2+2}{(x+1)(x+2)} =$

$\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x}{x+2} .$

Επομένως, $\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{2011}{2013} \iff 2013x-2013=2011x+2011 \iff$

$2x=4024 \iff x=2012 .$

ΜΠΡΑΒΟ

#38

Μια ακόμη λύση της γεωμετρίας Α λυκείου:

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την προέκταση της $E\Gamma$ σε σημείο, έστω

.

Τότε το AEKB

είναι παραλληλόγραμμο, κι άρα

$K\Gamma=KE-\Gamma E=AB-B\Gamma=2a-a=a=\Gamma E$ .

Δηλαδή στο τρίγωνο EBK

η διάμεσος $B\Gamma$ ισούται με το μισό της

, κι άρα το EBK

είναι ορθογώνιο με τη γωνία EBK

ορθή.

Αυτό σημαίνει ότι κι η γωνία BEZ

είναι ορθή, δηλ. στο ABZ

η

είναι διχοτόμος και ύψος. Συνεπώς, το ABZ

είναι ισοσκελές με AB=BZ

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Edit: Προσθήκη εικόνας

#39

Η άσκηση της πρώτης Λυκείου έχει μεγάλο πλούτο αποδείξεων και τελικά φαίνεται πως θα είναι η ιδανική άσκηση για προετοιμασία !

Δεν πρόλαβα να μελετήσω όλες τις λύσεις που δόθηκαν από μαθητές ή συναδέλφους, αλλά με το Θανάση Μπεληνιάννη, εκεί που επιτηρούσε, προέκυψε στα πολύ γρήγορα και η εξής λύση(στην προσπάθειά μας να βρούμε μια πιο κοντινή στην ύλη της γ΄γυμνασίου , από αυτή που είχαμε ήδη βρει, δηλαδή αυτής που βασίζονταν στο γεγονός ότι το $\Gamma$ είναι μέσο του

.).

Αν

είναι το μέσο του

, τότε το $AE\Gamma M$ είναι παραλληλόγραμμο( $AM \parallel \Gamma E$ ), η $M\Gamma$ θα είναι παράλληλη στην

και αφού το τρίγωνο $B\Gamma M$ είναι ισοσκελές, θα είναι και το τρίγωνο BAZ

.

*** Ενδιαφέρον έχει και το γεγονός ότι η

είναι τελικά κάθετη την

, κάτι που μπορεί να είναι και ξεχωριστό ερώτημα.

*** Στην ίδια προσπάθεια εύκολα προκύπτει ότι το $BME\Gamma$ είναι τελικά ρόμβος , οπότε συνεχίζουμε όπως και στη λύση του Αχιλλέα(με διχοτόμο και ύψος) αλλά και με σύγκριση των τριγώνων $ABE,E\Gamma Z$ που ως ίσα δίνουν τελικά ότι AE=EZ

κλπ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μπάμπης

chris · #40

Όμορφα θέματα στη Γ Λυκείου με εξαίρεση ίσως το 2ο που μοιάζει λίγο άχαρο. Και στη Β Λυκείου γεωμετρία και σύστημα ήταν όμορφα!
Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!

Να παρατηρήσω κάτι εκπληκτικό:
Στο Ν.Τρικάλων οι συμμετέχοντες από Γυμνάσια και Λύκεια έφτασαν τους 270(!!!) όταν πριν 2 χρόνια άγγιζαν τους 90!

ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

ΘΑΛΗΣ 2012 Γ'Λυκείου

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 Γ'Λυκείου

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Θαλής 2012 - Γ' Γυμνασίου

Re: Θαλής 2012 - Γ' Γυμνασίου

Re: Θαλής 2012 - Γ' Γυμνασίου

Re: Θαλής 2012 - Γ' Γυμνασίου

Re: Θαλής 2012 - Γ' Γυμνασίου

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Re: ΘΑΛΗΣ-2012

Μέλη σε σύνδεση