Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

#21

ΑΣΚΗΣΗ 11: (Α,Β Γυμνασίου).

: SX5.png (4.5 KiB) Προβλήθηκε 2237 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\widehat{B}=45^{o}}$ , $\displaystyle{\widehat{C}=75^{o}}$ και έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της διχοτόμου

$\displaystyle{AD}$ . Φέρνουμε την ευθεία $\displaystyle{ME}$ κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{AC}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ . Nα βρείτε

την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{MDZ}$ , αν δίνεται ότι $\displaystyle{AC=8 cm}$

stergios7 · #22

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11: (Α,Β Γυμνασίου).

SX5.png
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\widehat{B}=45^{o}}$ , $\displaystyle{\widehat{C}=75^{o}}$ και έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της διχοτόμου

$\displaystyle{AD}$ . Φέρνουμε την ευθεία $\displaystyle{ME}$ κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{AC}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ . Nα βρείτε

την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{MDZ}$ , αν δίνεται ότι $\displaystyle{AC=8 cm}$

$\displaystyle{\widehat{ADC}=\widehat{ACD}=75}$ μοίρες, $\displaystyle{AD=AC}$ , $\displaystyle{AEZ}$ ορθογώνιο.
Άρα $\displaystyle{\widehat{AZM}=\widehat{ZAM}=30$ μοίρες.
Αφού $\displaystyle{M}$ το μέσον τότε $\displaystyle{AM=MZ=DM=4}$
Άρα $\displaystyle{\widehat{DMZ}=60}$ μοίρες ως εξωτερική της $\displaystyle{M}$ του $\displaystyle{AMZ}$ , άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού έχει μία γωνία $\displaystyle{60}$ μοιρών και δύο πλευρές ίσες.
Τότε περίμετρος τριγώνου $\displaystyle{AMZ=12}$ cm.

Παναγιώτης Χ. · #23

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11: (Α,Β Γυμνασίου).

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\widehat{B}=45^{o}}$ , $\displaystyle{\widehat{C}=75^{o}}$ και έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της διχοτόμου

$\displaystyle{AD}$ . Φέρνουμε την ευθεία $\displaystyle{ME}$ κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{AC}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ . Nα βρείτε

την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{MDZ}$ , αν δίνεται ότι $\displaystyle{AC=8 cm}$

Επειδή

διχοτόμος, η γωνία $\widehat{DAC} = 30^{o}$ και $\widehat{CDA} = 180-30-75=75^{o}$ και $\widehat{ADB} = 180-75=105^{o}$ . Άρα το τρίγωνο ADC

ισόπλευρο οπότε AD = AC = 8cm

και αφού

μέσο της

, έχουμε

.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο AEM

η γωνία $\widehat{EAM} = 30 ^{o}$ , άρα $\widehat{AME} = 60 ^{o}$ και $\widehat{DMZ} = 60^{o}$ ως κατακορυφήν.
Από το τετράπλευρο EBDM

έχουμε : $\widehat{EMD} = 360-105-45-90=120^{o}$ . Άρα $\widehat{AMZ} = 120^{o}$ (ως κατακορυφήν). Άρα στο τρίγωνο AMC

έχουμε $\widehat{MZA} = 180-120-30=30 ^{o}$ δηλαδή το τρίγωνο MDC

είναι ισοσκελές με MA=MZ=MD

οπότε και το τρίγωνο MDZ

είναι ισοσκελές με $\widehat{DMZ} = 60 ^{o}$ άρα είναι και ισόπλευρο.
Έτσι η περίμετρος του είναι 3*4=12cm

.

#24

ΑΣΚΗΣΗ 12: (Α, Β Γυμνασίου)

: SX6.png (3.43 KiB) Προβλήθηκε 2212 φορές

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με υποτείνουσα $\displaystyle{BC}$ και έστω $\displaystyle{AD}$ η διχοτόμος της ορθής γωνίας. Από την κορυφή $\displaystyle{C}$ φέρνουμε μια ευθεία κάθετη στην $\displaystyle{AD}$ , η οποία τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Να δείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{CED}$ είναι ισοσκελές και στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{B}$ .

KARKAR · #25

ΑΣΚΗΣΗ 13

Ένας αθλητής τρέχει μιαν απόσταση με ταχύτητα $\upsilon _{1}$ και επιστρέφει βαδίζοντας με ταχύτητα $\upsilon _{2}$ .

1) Πόση είναι η μέση ταχύτητα της συνολικής διαδρομής ;

2) Αν η μέση ταχύτητα είναι 6 km/h

, βρείτε τις $\upsilon _{1},\upsilon _{2}$ , αν γνωρίζετε ότι έχουν ακέραιες τιμές .

#26

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

Ένας αθλητής τρέχει μιαν απόσταση με ταχύτητα $\upsilon _{1}$ και επιστρέφει βαδίζοντας με ταχύτητα $\upsilon _{2}$ .

1) Πόση είναι η μέση ταχύτητα της συνολικής διαδρομής ;

2) Αν η μέση ταχύτητα είναι , βρείτε τις $\upsilon _{1},\upsilon _{2}$ , αν γνωρίζετε ότι έχουν ακέραιες τιμές .

Μια αρχή, για την ωραία άσκηση του KARKAR:

Μέση ταχύτητα : $\displaystyle{u_M =}$ $\displaystyle{\frac{s_o}{t_o}}$ , όπου $\displaystyle{s_o =}$ το ολικό διάστημα που διήνυσε ο αθλητής και $\displaystyle{t_o =}$ ο ολικός

χρόνος που χρειάστηκε να διανύσει το ολικό διάστημα. Δηλαδή $\displaystyle{s_o =s_1 +s_2}$ και $\displaystyle{t_o = t_1 +t_2}$

Πιστεύω ότι οι μαθητές μας θα αντιμετωπίσουν τώρα το πρόβλημα.

Παναγιώτης Χ. · #27

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

Ένας αθλητής τρέχει μιαν απόσταση με ταχύτητα $\upsilon _{1}$ και επιστρέφει βαδίζοντας με ταχύτητα $\upsilon _{2}$ .

1) Πόση είναι η μέση ταχύτητα της συνολικής διαδρομής ;

1) Σύμφωνα με την αρχή $\displaystyle{u_M =} \displaystyle{\frac{s_o}{t_o}}$ , η μέση ταχύτητα είναι: $\frac{d \cdot 2}{t_1 + t_2}$ όπου

είναι η απόσταση που έτρεξε ο αθλητής την πρώτη φορά, $t_1 = \frac{d}{u_1}$ και $t_2 = \frac{d}{u_2}$ , δηλαδή t_1

και

είναι οι χρόνοι που χρειάστηκε ο αθλητής να πάει και να επιστρέψει αντίστοιχα. Οπότε $u_M = \frac{2d}{\frac{d}{u_1} + \frac{d}{u2}} = \frac{2 \cdot u_1 \cdoc u_2}{u_1 + u_2}$

stergios7 · #28

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12: (Α, Β Γυμνασίου)

SX6.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με υποτείνουσα $\displaystyle{BC}$ και έστω $\displaystyle{AD}$ η διχοτόμος της ορθής γωνίας. Από την κορυφή $\displaystyle{C}$ φέρνουμε μια ευθεία κάθετη στην $\displaystyle{AD}$ , η οποία τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Να δείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{CED}$ είναι ισοσκελές και στη συνέχεια να υπολογίσετε.

$\displaystyle{\widehat{CAD}=\widehat{ECA}=45^{o}}$ άρα αν ονομάσουμε το σημείο τομής της $\displaystyle{AD}$ με την $\displaystyle{CE}$ , $\displaystyle{O}$ τότε $\displaystyle{CO=AO}$ .
και $\displaystyle{\widehat{DAE}=\widehat{CEA}=45^{o}}$ άρα $\displaystyle{OA=OE}$ , δηλαδή $\displaystyle{CO=OE}$ άρα $\displaystyle{DO}$ η μεσοκάθετος του $\displaystyle{CDE}$ και αφού οποιοδήποτε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος που τέμνει στο κέντρο του.
Τότε το τρίγωνο $\displaystyle{CDE}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{DE=CD}$ .

#29

ΑΣΚΗΣΗ 14: (Α,Β Γυμνασίου) Να γαφτεί ως μια δύναμη ο αριθμός:

$\displaystyle{A=20.6^{2013}+6^{2013}+6^{2014}+6^{2014}+18.6^{2012}}$

Παναγιώτης Χ. · #30

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14: (Α,Β Γυμνασίου) Να γραφτεί ως μια δύναμη ο αριθμός:

$\displaystyle{A=20\cdot6^{2013}+6^{2013}+6^{2014}+6^{2014}+18\cdot6^{2012}}$

$A = 20\cdot6^{2013}+6^{2013}+6^{2014}+6^{2014}+18\cdot6^{2012}} = 20\cdot6^{2012}\cdot6 + 6^{2012}\cdot6 + 6^{2012}\cdot6\cdot6 + 6^{2012}\cdot6\cdot6 + 18\cdot6^{2012} = 6^{2012}(20\cdot6 + 6 + 6\cdot6 + 6\cdot6 + 18) = 216\cdot6^{2012} = 6^3\cdot6^{2012} = 6^{2015}$

#31

ΑΣΚΗΣΗ 15: (Β Γυμνασίου)

: ΣΧHM.png (5.49 KiB) Προβλήθηκε 2079 φορές

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ με πλευρά $\displaystyle{8 cm}$ . Στην προέκταση της $\displaystyle{DC}$ , παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{E}$ , ώστε να είναι

$\displaystyle{CE=\frac{3}{4}DC}$ και στην προέκταση της $\displaystyle{BA}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{Z}$ ώστε να είναι $\displaystyle{AZ=CE}$ .

Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{DEZ}$

Ιστοσελίδα · #32

ΑΣΚΗΣΗ 16: (Β' Γυμνασίου)

: παραλληλόγραμμο.jpg (20.86 KiB) Προβλήθηκε 2059 φορές

Στο παραπάνω παραλληλόγραμμο ABCD

, περιμέτρου $84\,cm$ , το τμήμα

διχοτομεί τη $D\widehat AB$ . Αν ισχύει CE:DE = 1:3

, να υπολογιστούν οι πλευρές $AB,\,BC$ .

raf616 · #33

Μιχάλης Νάννος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16: (Β' Γυμνασίου)
παραλληλόγραμμο.jpg
Στο παραπάνω παραλληλόγραμμο , περιμέτρου $84\,cm$ , το τμήμα διχοτομεί τη $D\widehat AB$ . Αν ισχύει , να υπολογιστούν οι πλευρές $AB,\,BC$ .

Καλησπέρα, κ. Μιχάλη.

Σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει:

$\displaystyle{AB + BC + DC + AD = 84 \Leftrightarrow 2AB + 2AD = 84 \Leftrightarrow AB + AD = 42 \Leftrightarrow \boxed{AB = 42 - AD}:(1)}$

Είναι: $\displaystyle{B\hat{A}E = A\hat{E}D = D\hat{A}E \Rightarrow \boxed{AD = DE}:(2)}$

Ακόμα, από την υπόθεση ισχύει:

$\displaystyle{\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{1}{3} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \dfrac{CE}{AD} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow AD = 3CE \Leftrightarrow AD = 3(AB - DE) \Leftrightarrow 4AD = 3AB \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 4AD = 126 - 3AD \Leftrightarrow AD = 18}$

Εύκολα τώρα παίρνουμε ότι AB = 24cm

και

EDIT: Διόρθωσα ένα λάθος μετά από επισήμανση του κ. Μιχάλη...

KARKAR · #34

ΑΣΚΗΣΗ 17
Αν για το θετικό

, ο αριθμός $\displaystyle a+\frac{1}{a}$ είναι ακέραιος , δείξτε ότι ο $\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}$ είναι άρτιος .

raf616 · #35

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17
Αν για το θετικό , ο αριθμός $\displaystyle a+\frac{1}{a}$ είναι ακέραιος , δείξτε ότι ο $\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}$ είναι άρτιος .

Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν ο αριθμός που μας δίνεται είναι άρτιος γράφουμε $a + \dfrac{1}{a} = 2k, k \in \Bbb{Z}$

Τότε:

$a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 - 3\left(a + \dfrac{1}{a}\right) = (2k)^3 - 3 \cdot 2k = 8k^3 - 6k = 2(4k^3 - 3k)$

Έτσι, αποδείξαμε το ζητούμενο.

$\bullet$ Αν ο αριθμός που μας δίνεται είναι περιττός γράφουμε $a + \dfrac{1}{a} = 2k + 1, k \in \Bbb{Z}$

Τότε:

$\displaystyle{a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 - 3\left(a + \dfrac{1}{a}\right) = (2k + 1)^3 - 3(2k + 1) = 8k^3 - 12k^2 + 6k + 1 - 6k - 3 = 8k^3 + 12k^2 - 2 = 2(4k^3 + 12k - 2)}$

Έτσι, αποδείξαμε το ζητούμενο.

Ιστοσελίδα · #36

ΑΣΚΗΣΗ 18

: παραλληλόγραμμο2.jpg (44.28 KiB) Προβλήθηκε 1972 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

με $\widehat B:\widehat A = 1:5$ και $AE \bot CD,\,AZ \bot CB$ . Βρείτε τη γωνία $x = E\widehat AZ$ .

stergios7 · #37

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 15: (Β Γυμνασίου)

Το συνημμένο ΣΧHM.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ με πλευρά $\displaystyle{8 cm}$ . Στην προέκταση της $\displaystyle{DC}$ , παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{E}$ , ώστε να είναι

$\displaystyle{CE=\frac{3}{4}DC}$ και στην προέκταση της $\displaystyle{BA}$ παίρνουμε το σημείο $\displaystyle{Z}$ ώστε να είναι $\displaystyle{AZ=CE}$ .

Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{DEZ}$

: SE1.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 1957 φορές

Για να βρούμε το εμβαδόν θα κάνουμε το ύψος που είναι το $\displaystyle{ZF}$ (όπως φαίνεται στο σχήμα) και θα έχω: $\displaystyle{\frac{14.8}{2}=56 cm^{2}}$
Για να βρούμε την περίμετρο θα πάρουμε πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{EFZ}$
Άρα $\displaystyle{x^{2}=20^{2}+8^{2}}$
$\displaystyle{x=\sqrt{464}}$ που είναι η πλευρά $\displaystyle{ZE}$
και $\displaystyle{DZ=10}$ λόγω πυθαγόρα.
Άρα η περίμετρος θα είναι: $\displaystyle{10+14+\sqrt{464}=24+\sqrt{464}}$

Παναγιώτης Χ. · #38

Μιχάλης Νάννος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 18
Δίνεται παραλληλόγραμμο με $\widehat B:\widehat A = 1:5$ και $AE \bot CD,\,AZ \bot CB$ . Βρείτε τη γωνία $x = E\widehat AZ$ .

Από το τετράπλευρο AECZ

το οποίο έχει δύο ορθές γωνίες συμπεραίνουμε ότι $\widehat x + \widehat C = 180^o (1)$ . Αφού AB//CD

, $\widehat B + \widehat C = 180^o (2)$ Από τις (1)

και

, προκύπτει $x = \widehat B$ . Αφού $\widehat A = \widehat C$ και από τη σχέση (1)

προκύπτει ότι $\widehat x + \widehat A = 180^o \Leftrightarrow \widehat x + 5 \widehat B = 180^o \Leftrightarrow \widehat x + 5 \widehat x = 180^o \Leftrightarrow \widehat x = 30^o$

#39

ΑΣΚΗΣΗ 19: (Α , Β Γυμνασίου): Αν $\displaystyle{a=2^{n+1}.5^{n}-10^{n}}$ και $\displaystyle{b=2^{n+2}+6.2^{n}-18.2^{n-1}}$ ,

με $\displaystyle{n \in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{a}{b}}$ μπορεί να γραφτεί ως μια δύναμη με βάση φυσικό αριθμό.

Παναγιώτης Χ. · #40

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19: (Α , Β Γυμνασίου): Αν $\displaystyle{a=2^{n+1}.5^{n}-10^{n}}$ και $\displaystyle{b=2^{n+2}+6.2^{n}-18.2^{n-1}}$ ,

με $\displaystyle{n \in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{a}{b}}$ μπορεί να γραφτεί ως μια δύναμη με βάση φυσικό αριθμό.

Έχουμε $a = 2 \cdot 2^n \cdot 5^n - 2^n \cdot 5^n = 2^n \cdot 5^n = 10^n$ και $b = 2^2 \cdot 2^n + 6 \cdot 2^n - 3 \cdot 6 \cdot \frac {2^n}{2} = 4 \cdot 2^n + 6 \cdot 2^n - 9 \cdot 2^n = 2^n$ . Άρα $A=\frac{10^n}{2^n} = 5^n$

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση