Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

mtsarduckas · #21

Ακριβώς. Επειδή λοιπόν η σχέση αυτή δεν είναι ισότητα για κάθε $x \in \mathbb R$ , δεν είναι ταυτότητα!

Stavroulitsa · #22

mtsarduckas έγραψε:Ακριβώς. Επειδή λοιπόν η σχέση αυτή δεν είναι ισότητα για κάθε $x \in \mathbb R$ , δεν είναι ταυτότητα!

Ναι, ως εδώ το κατάλαβα. Λέγοντας όμως το βιβλίο ότι ταυτότητα είναι η ισότητα που επαληθεύει για όλες τις τιμες των μεταβλητών της, θα μπορούσε κάλιστα (και λαθασμένα) η x^2-3x+2=0

να είναι ταυτότηα αφού επαληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της με τις οποίες ισχύει η ισότητα...

Μάκης Χατζόπουλος · #23

Stavroulitsa έγραψε:
mtsarduckas έγραψε:Ακριβώς. Επειδή λοιπόν η σχέση αυτή δεν είναι ισότητα για κάθε $x \in \mathbb R$ , δεν είναι ταυτότητα!
Ναι, ως εδώ το κατάλαβα. Λέγοντας όμως το βιβλίο ότι ταυτότητα είναι η ισότητα που επαληθεύει για όλες τις τιμες των μεταβλητών της, θα μπορούσε κάλιστα (και λαθασμένα) η να είναι ταυτότητα αφού επαληθεύει για τις τιμές με τις οποίες ισχύει η ισότητα...

Καταλάβα τι λες, για να ισχύει η ισότητα x^2-3x+2=0

πρέπει το χ=1 ή χ=2, άρα η ισότητα επαληθεύται για όλες τις τιμές των χ (δηλ. χ=1 ή 2) που μας δίνει ισότητα, σωστά; Καταλαβαίνεις ότι αυτό είναι λάθος, αλλά υποστηρίζεις ότι δεν προκύπτει από τον ορισμό του βιβλίου, σωστά ξανά;

Η διαφορά σου είναι, ότι το βιβλίο λέει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της ενώ εσύ υποστηρίζεις για όποια τιμή και αν δώσουμε στις μεταβλητές της, σωστά;

Νομίζω ότι είναι το ίδιο, αφού η εξίσωση είναι ισότητα υπό συγκεκριμένες συνθήκες, ενώ η ταυτότητα υπό οποιεσδήποτε συνθήκες, άρα το βιβλίο λέγοντας για όλες τις τιμές των μεταβλητών της αυτό εννοεί ή τουλάχιστον έτσι το καταλαβαίνω...

Υ.Γ: Περιμένω λύση της άσκησης 2. Β (Γεωμετρία)

Μάκης Χατζόπουλος · #24

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Ένα πρώτο λάθος που εντόπησα είναι στην άσκηση 1 το Β. Έπρεπε να καταλήξεις στο πολυώνυμο αλλά έγραψες το ίδιο αλλά 4 αντί για 20, οπότε γι αυτό δεν παραγοντοποιείται το πολυώνυμο!

Επίσης για να σχεδιάσεις την γρ. παράσταση της συνάρτησης έπρεπε να κατασκευάσεις πίνακα τιμών (το λέω για αυτούς που μας παρακολουθούν)

Επίσης στο ερώτημα 2 Β στην κλασματική εξίσωση καταλήγεις σε λάθος σχέση, δες τις πράξεις σου, υπάρχει λάθος (δεν στο λέω!!!)

Τέλος, γράφεις για την παραβολή ότι έχει εξίσωση αντί για που είναι λόγω βιασύνης φυσικά...

Καταπληκτικές λύσεις!!

Παιδιά να μην ξεχάσουμε να λύσουμε την παρακάτω άσκηση, νομίζω ότι αξίζει...

Άσκηση 2 - Β

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ), με Ο το σημείο τομής των διαγώνιων, αν Ε, Ζ σημεία του ΑΒ τέτοια ώστε ΟΕ//ΑΔ και ΟΖ // ΒΓ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, τότε να αποδείξετε ότι :

α) Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΔΓ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους

β) $\displaystyle{ \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} }$ και $\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}}}$

γ) $\displaystyle{ \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} }$

ε) $\displaystyle{ {\rm A}{\rm E} = {\rm B}{\rm Z} }$

Μονάδες: (Α) ..... (Β) 1 – 1 – 0,5 – 1,25

Γιατί είναι κρίμα να ξεχαστεί αυτή η άσκηση, δίνω μια ενδεικτική λύση, το τελευταίο ερώτημα που είναι και το πιο όμορφο, αποδεικνύεται και με άλλους τρόπους, αλλά δίνω τον παρακάτω αφού συνδέει την γεωμετρία με την άλγεβρα και αυτή η σύνδεση είναι τουλάχιστον διδακτική‼

Α) Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΔΓ είναι όμοια αφού έχουν δύο γωνίες ίσες ως εντός εναλλάξ, άρα

$\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}$

Β) Από τις παράλληλες ΟΖ//ΒΓ (τις μπλε) έχουμε από Θ. Θαλή σε τρίγωνο:

$\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm A}{\rm O}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} \Leftrightarrow \,\frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}}\,\,\left( 2 \right)}$

Και από τις παράλληλες ΟΕ//ΑΔ (τις κόκκινες) έχουμε από Θ. Θαλή σε τρίγωνο:

$\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm A}{\rm E}}} = \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm B}{\rm E}}}\,\, \Leftrightarrow \,\frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}}\,\,\,\left( 3 \right)}$

Γ) Με την βοήθεια των ίσων λόγων λόγους (1), (2) και (3), παίρνουμε το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης:

$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}{\rm B}}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm A}}}\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}}}$

Δ) Παίρνουμε την σχέση του προηγούμενου ερωτήματος,

$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}}}$

κάνουμε «χιαστί»

$\displaystyle{{\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}{\rm Z} = {\rm B}{\rm E} \cdot {\rm B}{\rm Z}}$

αναλύουμε τα ευθύγραμμα τμήματα

$\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\left( {{\rm A}{\rm E} + {\rm E}{\rm Z}} \right) = \left( {{\rm B}{\rm Z} + {\rm E}{\rm Z}} \right){\rm B}{\rm Z}}$

Επιμεριστική ιδιότητα – πράξεις

$\displaystyle{{\rm A}{{\rm E}^2} + {\rm A}{\rm E} \cdot {\rm E}{\rm Z} = {\rm B}{{\rm Z}^2} + {\rm B}{\rm Z} \cdot {\rm E}{\rm Z} \Leftrightarrow {\rm A}{{\rm E}^2} - {\rm B}{{\rm Z}^2} + {\rm A}{\rm E} \cdot {\rm E}{\rm Z} - {\rm B}{\rm Z} \cdot {\rm E}{\rm Z} = 0}$

Παραγοντοποίηση – ομαδοποίηση (διαφορά τετραγώνων και κοινός παράγοντας)

$\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm E} - {\rm B}{\rm Z}} \right)\left( {{\rm A}{\rm E} + {\rm B}{\rm Z}} \right) + {\rm E}{\rm Z}\left( {{\rm A}{\rm E} - {\rm B}{\rm Z}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{\rm A}{\rm E} - {\rm B}{\rm Z}} \right)\left( {{\rm A}{\rm E} + {\rm B}{\rm Z} + {\rm E}{\rm Z}} \right) = 0}$

Και αν προσέξουμε το σχήμα βρίσκουμε

$\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm E} - {\rm B}{\rm Z}} \right) \cdot {\rm A}{\rm B} = 0}$

Όμως το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μη μηδενικό, άρα,

$\displaystyle{{\rm A}{\rm E} - {\rm B}{\rm Z} = 0 \Leftrightarrow {\rm A}{\rm E} = {\rm B}{\rm Z}}$

Εικόνα

Stavroulitsa · #25

Κύριε Μάκη, η άσκηση δεν ξεχάστηκε. Συγνώμη που δεν την έβαλα πιο νωρίς αλλά εδώ και τόσες μέρες τριγυρνώ με τις λύσεις στο χέρι και δεν προλάβαινα να απαντήσω... Συγνώμη και πάλι για την αναστάτωση.

Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Re: Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Re: Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Re: Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Re: Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Re: Διαγώνισμα 2 - Εξετάσεις Ιουνίου - Για άριστους μαθητές

Μέλη σε σύνδεση