mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:21 pm**

Ελπίδα Καραδήμου έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 6:47 pm Τι ν πω πολύ δύσκολα της γ γυμν πάντως
Εγώ λογικά έχω κάνει το α σωστά,στο 2ο έγραψα μόνο μια σχέση μεταξύ του αβγ αριθμού και του 20(α+β+γ) και στο 3ο το έλυσα σωστά ως αποτελέσματα απλώς μπορεί μερικές αιτιολογήσεις ν μην είναι τέλειες πχ δεν απέδειξα αναλυτικά ότι το τετράπλευρο είναι ρομβος

Όντως, ήταν. Εγώ έχω κάνει το πρώτο μέρος του α σωστά, το β το έκανα όλο και μου άρεσε και ο τρόπος που το έλυσα. Στο γ δεν έγραψα τίποτα 🥹

Τέλος πάντων, καλά αποτελέσματα σου εύχομαι!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:23 pm**

Οι λύσεις δεν έχουν τελικά δημοσιευτεί στην ιστοσελίδα της εμε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:24 pm**

Mathmagic24 έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 8:17 pm ...
Ωραία, ευχαριστώ! Στο 3ο που έλεγε για αναγκαία και ικανή συνθήκη, θα αρκούσε να αποδείξουμε ότι α,β ομόσημοι και άρα και οι δύο θετικοί; Αν χρειάζεται κάποια ισότητα ως σχέση (αναγκαστικά θα έπρεπε να υπάρχει α και αριστερά και δεξιά) ποια θα ήταν;

Δεν αρκεί να είναι οι a,b

και οι δύο θετικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, δεν υπάρχουν λύσεις x,y

για το

$\displaystyle{\frac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2}$ ,

$\displaystyle{\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=1.}$

Προσπάθησε να αποδείξεις γιατί, και πιθανόν να σε οδηγήσει στη λύση του γενικότερου προβλήματος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:29 pm**

Στην ιστοσελίδα της εμε υπάρχουν δυο πανομοιότυποι τύποι χωρίς τις λύσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:30 pm**

achilleas έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 8:24 pm
Mathmagic24 έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 8:17 pm ...
Ωραία, ευχαριστώ! Στο 3ο που έλεγε για αναγκαία και ικανή συνθήκη, θα αρκούσε να αποδείξουμε ότι α,β ομόσημοι και άρα και οι δύο θετικοί; Αν χρειάζεται κάποια ισότητα ως σχέση (αναγκαστικά θα έπρεπε να υπάρχει α και αριστερά και δεξιά) ποια θα ήταν;
Δεν αρκεί να είναι οι και οι δύο θετικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, δεν υπάρχουν λύσεις για το

$\displaystyle{\frac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2}$ ,

$\displaystyle{\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=1.}$

Προσπάθησε να αποδείξεις γιατί, και πιθανόν να σε οδηγήσει στη λύση του γεινκότερου προβλήματος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αν είχα γράψει κιόλας πιο πάνω πως a³= b - 3a/xy μετράει αυτό για κάτι ή όχι; Είναι αρκετό σαν συνθήκη ή μπορεί να αναλυθεί κι άλλο;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:30 pm**

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 8:29 pm Στην ιστοσελίδα της εμε υπάρχουν δυο πανομοιότυποι τύποι χωρίς τις λύσεις.

Υπομονή. Θα το διαπιστώσουν και θα τις ανεβάσουν σύντομα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:31 pm**

Mathmagic24 έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 8:30 pm ...
Αν είχα γράψει κιόλας πιο πάνω πως a³= b - 3a/xy μετράει αυτό για κάτι ή όχι; Είναι αρκετό σαν συνθήκη ή μπορεί να αναλυθεί κι άλλο;

Όχι, δεν είναι αρκετό.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 8:34 pm**

Οι επίσημες ενδεικτικές λύσεις της ΕΜΕ μόλις έγιναν διαθέσιμες εδώ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 9:14 pm**

Ελπίδα Καραδήμου έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 6:47 pm Τι ν πω πολύ δύσκολα της γ γυμν πάντως
Εγώ λογικά έχω κάνει το α σωστά,στο 2ο έγραψα μόνο μια σχέση μεταξύ του αβγ αριθμού και του 20(α+β+γ) και στο 3ο το έλυσα σωστά ως αποτελέσματα απλώς μπορεί μερικές αιτιολογήσεις ν μην είναι τέλειες πχ δεν απέδειξα αναλυτικά ότι το τετράπλευρο είναι ρομβος

Τι να πω γω που εκανα λαθος το Α στο Προβ 1 ενω τα υπολοιπα τα ελυσα. Για το Προβλημα 2 παντως εγω εκανα το εξής:
$\displaystyle \alpha 100 +\beta 10+ \gamma = 20 ( \alpha + \beta + \gamma) \iff \alpha 80 - \beta 10 - \gamma 19 = 0 \iff \alpha 80 = \beta 10 + \gamma 19$

Ομως εφόσον $\displaystyle \alpha 80 = \beta 10 + \gamma 19 \iff 10 \cdot \alpha8 = \beta 10 + \gamma 19$ αναγκαστηκά $\displaystyle \gamma = 0$ καθως $\displaystyle 0 \leq \gamma \leq 9$ και δεν υπαρχει αριθμος $\displaystyle 19 \gamma$ με $\displaystyle \gamma \neq 0$ που διαιρεί τον 10. Άρα μας μένει η εξίσωση $\displaystyle \alpha 80 = \beta 10 \iff \alpha 8 = \beta$ Και επειδή $\displaystyle 0 \leq \beta \leq 9$ η μόνη ακέραια λύση για α που $\displaystyle 0 < \alpha \leq 9$ είναι αν $\displaystyle \beta = 8$ και $\displaystyle \alpha = 1$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 9:28 pm**

Μερικές παρατηρήσεις στις λύσεις των θεμάτων.
Α Λυκείου
Προβλ2
Ειναι τριώνυμο.
Η διακρίνουσα πρέπει να είναι μη αρνητική .Προκύπτει χ=1 η χ=-1. Αντικαθιστούμε κλπ
Β Λυκείου
Προβλ2.
Με αντίστροφο πρόβλημα.
Από το Δ φέρουμε την κάθετο στην ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ζ.Η ΒΖ και η παράλληλος από το Δ τέμνονται στο Ε.
Αποδεικνύουμε ότι ΔΕ=ΑΔ
Γ Λυκείου
Προβλ3
Με θεώρημα ημιτόνων προκύπτει ότι ΔΒ=ΓΕ=R όπου R η ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 10:22 pm**

Για την Γεωμετρία της Γ Λυκείου:
Αν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ, τα τετράπλευρα ΑΔΒΟ, ΑΕΓΟ είναι ρόμβοι, οπότε οι ΒΔ, ΓΕ είναι παράλληλες και ίσες.
Για την συναρτησιακή:
$f(xy)=xf(y)+f(x)-2024x=yf(x)+f(y)-2024y\Leftrightarrow f(y)(x-1)+f(x)(1-y)-2024(x-y)=0$
Θέτοντας x=2025

και

έχουμε $f(2024)2024-f(2025)\cdot 2023=2024$
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι f(2024)=1

, οπότε

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 10:38 pm**

Νικος Καρυστινος έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 7:35 pm Στο 3ο θέμα της Γεωμετρίας Γ Λυκειου βρήκα ότι ΒΔ//ΓΕ μέσω εντός επι ταυτα παραπληρωματικων γωνιών (ΔΒΓ και ΒΓΕ). Δεν μπόρεσα όμως να βρω άλλη μια προϋπόθεση του παραλληλογράμμου. Έχει κανείς καμιά ιδέα;

Φέρε τον περίκυκλο. Παρατηρούμε ότι η επίκεντρη που κοιτά στην ΑΒ είναι διπλάσια της Γ, και αν φέρουμε το συμμετρικό του περίκεντρου Ο ως προς ΑΒ, έχουμε το σημείο Δ, και αντίστοιχα για το Ε. Παρατηρούμε ότι τα ΟΑΔΒ και ΟΑΕΓ είναι ρόμβοι και άρα παραλληλόγραμμα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 11:25 pm**

Μήπως ξέρετε αν στην γ γυμνασίου περνάει κανείς με 14 δλδ με το να λύσει το 1ο και το3ο θέμα? Ξέρω ότι δεν μπορεί να δοθεί σίγουρη και ουσιώδης απάντηση αλλά με μια πρώτη εκτίμηση της δυσκολίας των θεμάτων και των επιδοσεων ίσως ν μπορεί να εκφραστεί μια πρώτη γνωμη

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 11:27 pm**

ΘΕΜΑ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Με επιμεριστικές έχουμε,

$x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1+4xy-4x-4y+4-4x+4y-4=0\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1+4xy=0$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+(x+y)^{2}-2xy+4xy+1=0$ (1)

Θέτoντας x+y=u

και

η (1) γίνεται $v^{2}+u^{2}+2v+1=0\Leftrightarrow (v+1)^{2}+u^{2}=0$
Άρα v=-1

και

Επομένως

και

άρα

και

ή

και

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 11:39 pm**

Για το 3 της Α Λυκείου:
$\dfrac{\beta}{\beta^2+\beta+1}=\alpha \Leftrightarrow \dfrac{\beta}{\beta^2-\beta+1}=\dfrac{\alpha}{1-2\alpha}$
(αφαιρώντας από τους παρονομαστές το διπλάσιο των αριθμητών)
Επομένως πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, έχουμε
$\dfrac{\beta^2}{\beta^4+\beta^2+1}=\dfrac{\alpha^2}{1-2\alpha}$
και από την εξίσωση $\alpha=\dfrac{\alpha^2}{1-2\alpha}$ προκύπτει $\alpha=0$ η $\alpha=\dfrac{1}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 08, 2024 11:45 pm**

Επειδή δεν μπορώ να γράψω με το equation editor (υπάρχει πρόβλημα στα προγράμματα μου)
περιγράφω μια απλή λύση για το 2ο μέλος του προβλήματος 3 της Α΄ Λυκείου.
Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε την απάντηση στο 1ο μέλος.
Μας δίνεται μια αρχική σχέση για τον αριθμό

και μια δεύτερη ακριβώς για τον ίδιο αριθμό.
Αν τις εξισώσουμε, προκύπτει άμεσα και απλά ότι b = 1

, άρα έχουμε a =1/3

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 09, 2024 12:11 am**

Μια άποψη για το 2ο θέμα της Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η εξίσωση μετά από κάποιες στοιχειώδεις πράξεις γίνεται
$\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) = - 4xy\;\,\left( 1 \right).$ Οπότε $xy \leqslant 0$ και από «μικρή» BCS παίρνουμε ${\left( {x \cdot 1 - y \cdot 1} \right)^2} \leqslant - 4xy \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \leqslant 0,$
άρα y = -x.

Αντικαθιστούμε στην (1)

και άμεσα καταλήγουμε στην ${\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x = 1 \vee x = - 1} \right).$ Έτσι αντίστοιχα έχουμε: $\left( {y = - 1 \vee y = 1} \right).$
Τεκμηριώνουμε με επαλήθευση.

Edit: Απλά επανήλθα για να αναφερθώ, για τους πραγματικούς a, b, c, d

στο εξής: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} \Rightarrow$ ${\left( {ad - bc} \right)^2} \leqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right).$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 09, 2024 12:35 am**

Μία άποψη για το 3ο θέμα της Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ:

: Θαλής.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 2576 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 09, 2024 1:00 am**

Και μία άλλη άποψη για το 3ο της Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ:

: THALIS.png (24.75 KiB) Προβλήθηκε 2568 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 09, 2024 8:07 am**

Καλημέρα σας,
Στο 3ο πρόβλημα της Β' Λυκείου...
Αν θέσουμε 1/χ=ω και 1/y=φ, θα προκύψει ο περιορισμός $a^{3}\neq b$ όπως στη λύση χωρίς μετασχηματισμό;
Ευχαριστώ

mathematica.gr

ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)