ΘΑΛΗΣ 2026-2027 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Γεωμετρία Γ' λυκείου:
Από Μενέλαο στο $\triangle BHE$ με διατέμνουσα την AMN

αρκεί να δείξουμε πως

\frac{BA}{AH} \cdot \frac{HN}{NE} \cdot \frac{EM}{MB}=1

.
Όμως

γιατί το

είναι μέσον της

.
Επίσης

\frac{BA}{AH}= \frac{CD}{AH}= \frac{ED}{EA}=2

από υπόθεση αφού τα

\triangle AHE

και $\triangle DEC$ είναι όμοια και AB=CD

.
Από την ομοιότητα παίρνουμε και

\frac{EH}{CE}= \frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}

, ενώ εξ ορισμού

EZ=2ME

.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι

\frac{EM}{MB}=\frac{1}{2} \iff 2EM=MB \iff EM=EB

.
Επίσης τα $\triangle BHE$ και $\triangle CEZ$ είναι όμοια άρα

\frac{1}{2}= \frac{EH}{CE}= \frac{EB}{EZ} \implies EZ=2EB \implies 2ME=2EB \implies ME=EB

και το ζητούμενο έπεται.

21 δημοσιεύσεις

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες