ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής και Ομοκικλικής Τετράδας Σημείων (Αρμονικού Εξάπλευρου), που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές υψηλού επιπέδου.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής. . Να κατασκευασθεί Αρμονικό Εξάπλευρο, με βάση μία Αρμονική Εξάδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Εξάδα Σημείων με βάση, ένα Αρμονικό Εξάπλευρο, που μας δίνεται.
Σχόλια. (α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί έναν άλλο τρόπο κατασκευής του Προβλήματος (συνημμένο μου ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
ΝΕΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου του παραπάνω Προβλήματος , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Κατασκές μπορεί να γίνουν και για Αρμονικές Τετράδες, Οκτάδες, Δεκάδες, κτλ, Συνευθειακών Σημείων με βάση Αρμονικά Τετράπλευρα, Οκτάπλευρα, Δεκάπλευρα κτλ, και αντίστροφα.
ΝΕΑ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αμονονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και Κανονικού Εξάπλευρου, που είναι Πρόβλημα ευκολο αλλά και πολύ χρήσιμο, γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της ευκολίας της.
Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής. . Να κατασκευασθεί Κανονικό Εξάπλευρο, με βάση μία Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων με βάση ένα Κανονικό Εξάπλευρο, που μας δίνεται.
Σχόλια. (α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί μία νέα λύση της Κατασκευής (συνημμένο μου ).
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΝΕΑ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις στο παρακάτω Πρόβλημα Κατασκευής Αμονονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και Κανονικού Εξάπλευρου, που είναι Πρόβλημα ευκολο αλλά και πολύ χρήσιμο, γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές.
Δική μου λύση θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, λαμβανομένης υπόψη και της ευκολίας της.
Η διατύπωση του Προβλήματος αυτού έχει ως εξής. . Να κατασκευασθεί Κανονικό Εξάπλευρο, με βάση μία Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων, που μας δίνεται, και αντίστροφα, να κατασκευαστεί μία Αρμονική Συνευθειακή Εξάδα Σημείων με βάση ένα Κανονικό Εξάπλευρο, που μας δίνεται.
Σχόλια. (α). Το παραπάνω Πρόβλημα πιστεύω ότι είναι νέο, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ το καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Κατασκευή προφανώς αποτελεί μία νέα λύση της Κατασκευής (συνημμένο μου ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
ΝΕΑ ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΎ ΕΞΑΠΛΕΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΑΔΑ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.
Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις- λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Υπογραμμίζουμε εδώ, ότι με ανάλογους τρόπους έχουμε δόσει εύκολες και πρακτικές λύσεις κατασκευών σε Αρμονικές, Τετράδες, Οκτάδες, Δεκάδες, Δωδεκάδες, σημείων κτλ.
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!.
ΒΡΕΘΗΚΕ Η ΛΥΣΗ «ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΙΚΟΣΑΕΤΙΑΣ!!!».
«ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ».
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Τουλάχιστον είκοσι χρόνια με απασχολούσε το εξής ερώτημα - Πρόβλημα:
«Πως προκύπτει ένα Αρμονικό Πολύπλευρο;»
1. Ιστορικό. Πάντοτε πίστευα ότι ένα Αρμονικό Πολύπλευρο, προκύπτει από την προβολή Κανονικού Πολύπλευρου, με τον ίδιο αριθμό πλευρών και δεν διαψεύστηκα, όπως θα δούμε παρακάτω.
Αλλά πως; Με ποιο τρόπο;
2. Σκεπτικό. Αν ένα Κανονικό Πολύπλευρο προβληθεί (με όχι ορθή προβολή), από ένα σημείο εκτός του επιπέδου του, σε ένα άλλο επίπεδο (μη παράλληλο στο πρώτο επίπεδο), τότε το Πολύπλευρο που θα προκύψει, δεν θα είναι Αρμονικό, γιατί απλά δεν θα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, αλλά σε Κωνική τομή.
Πρέπει λοιπόν η προβολή αυτή να γίνει με ειδικό τρόπο και από ειδικό σημείο, έτσι ώστε ο περιγεγραμμένος κύκλος του Κανονικού Πολύπλευρου να παραμένει αναλλοίωτος (σαν κύκλος, όχι από πλευράς μεγέθους, γιατί το μέγεθος μπορούμε να το επιλέγουμε εμείς), που είναι αναγκαία προϋπόθεση για να είναι Αρμονικό (το Πολύπλευρο), ενώ μόνο το Κανονικό Πολύπλευρο πρέπει να μετασχηματισθεί σε Αρμονικό, ίσου αριθμού πλευρών.
Πως όμως και από ποιό σημείο;
Η απάντηση – λύση αυτή έπεσε τώρα σαν «ώριμο φρούτο», μετά από την μεθοδική μελέτη μιας σειράς Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχουμε αναρτήσει εδώ, με τις αποδείξεις τους, ή που πρόκειται να αναρτήσουμε.
Ακόμη, για την επίτευξη της λύσεως αυτής σημαντικό ρόλο έπαιξε και το «Ορθοοπτικό Σημείο» (Σχετική ορολογία δίνουμε στο συνημμένο μας 138), για το οποίο έχουμε μιλήσει αρκετά εδώ και με τη βοήθεια του οποίου έχουμε λύσει πολλά σχετικά Προβλήματα.
3. Ερμηνεία της Μεθόδου. Η μέθοδος αυτή σε γενικές γραμμές, βασίζεται σε κατάλληλους Προβολικούς Μετασχηματισμούς (Προβολές και Τομές ευθείας και κύκλων), αλλά (βασίζεται) και στο λεγόμενο «Ορθοοπτικό Σημείο».
Την λεπτομερή ερμηνεία της μεθόδου αυτής, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε με την απόδειξη του παρακάτω Προβλήματος , που θα αναρτήσουμε εδώ προσεχώς, με το συνημμένο μας .
4. Ονομασία της Μεθόδου. Επειδή, από τη σειρά των παραπάνω μετασχηματισμών, προκύπτει πάντοτε αρχικά Συνευθειακή Αρμονική ν-άδα και μετά Αρμονικό Πολύπλευρο, την Μέθοδο αυτή, ονομάσαμε «ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ». Η Μέθοδος αυτή είναι ενιαία για κάθε Συνευθειακή Αρμονική ν-άδα και Πολύπλερο, ακόμη και εκείνων που έχουν περιττό αριθμό πλευρών, όπως παρακάτω θα δούμε (Τρίγωνα, Πεντάπλευρα , κτλ). Αποτελεί δε Μέθοδο, καθώς αυτή έχει εφαρμογή σε όλα τα σχετικά Προβλήματα.
5. Το Πρόβλημα . Σήμερα, για το Πρόβλημα , έχουμε τη χαρά να δώσουμε παρακάτω την εκφώνησή του και προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να προβληματισθούν και να μας δώσουν τη λύση του, που προφανώς είναι εύκολη πλέον, μετά από τις τελευταίες Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ. Δική μας σχετική απόδειξη σύντομα θα ακολουθήσει,
Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής: . Βασιζόμενοι σε κατάλληλους προβολικούς μετασχηματισμούς και τομές από ευθεία και κύκλους, να κατασκευαστεί Αρμονικό Πολύπλευρο με βάσει Κανονικό Πολύπλευρο με ίσο αριθμό πλευρών, και αντίστροφα, με όμοιο τρόπο και με βάσει Αρμονικό Πολύπλευρο να κατασκευαστεί Κανονικό Πολύπλευρο, με ίσο αριθμό πλευρών.
Σχόλιο. Την παραπάνω Κατασκευή ονόμασα "Πρόβλημα Εικοσαετίας", καταχώρησα στην παράγραφο τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω δε ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ (Την σχετική ορολογία έχουμε δώσει με τα συνημμένα και ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
ΥΓ. Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
*ΕΡΕΥΝΑ =
Απόλαυση + Ανακαλύψεις + Έντονες Συγκινήσεις Δημιουργία Πρόοδος.
Νέα εφαρμογή της Μεθόδου των «Αρμονικών Μετασχηματισμών», για το Πρόβλημα «Εικοσαετίας». [Επέκταση της Κατασκευής ].
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παραπάνω Πρόβλημα «Εικοσαετίας» όπως το αποκαλέσαμε (συνημμένο μου ), αναρτήσαμε δύο εφαρμογές της παραπάνω Νέας μου Μεθόδου των «ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», που αναφέρονται σε Αρμονικά Τετράπλευρα και Αρμονικά Οκτάπλευρα.
Σήμερα, για το Πρόβλημα , έχουμε τη χαρά να δώσουμε παρακάτω την εκφώνηση της τρίτης εφαρμογής της παραπάνω Μεθόδου, που αναφέρεται σε Αρμονικό Εξάπλευρο και Αρμονική Εξάδα Σημείων.
Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη λύση τους, με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, για την εμπέδωσή της ή άλλου τρόπου, που προφανώς είναι εύκολη πλέον, μετά από τις τελευταίες Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ.
Δική μας σχετική απόδειξη σύντομα θα ακολουθήσει.
Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής: . Βασιζόμενοι σε κατάλληλους προβολικούς μετασχηματισμούς και τομές από ευθεία και κύκλους, να κατασκευαστεί Αρμονικό Εξάπλευρο με βάσει Κανονικό Εξάπλευρο, και αντίστροφα, με όμοιο τρόπο και με βάση Αρμονικό Εξάπλευρο να κατασκευαστεί Κανονικό Εξάπλευρο.
Σχόλιο. Την παραπάνω Κατασκευή (εφαρμογή), καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω δε ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ (Την σχετική ορολογία έχουμε δώσει με τα συνημμένα μου , και ).
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!.
ΒΡΕΘΗΚΕ Η ΛΥΣΗ «ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΙΚΟΣΑΕΤΙΑΣ!!!».
«ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ».
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Τουλάχιστον είκοσι χρόνια με απασχολούσε το εξής ερώτημα - Πρόβλημα:
«Πως προκύπτει ένα Αρμονικό Πολύπλευρο;»
1. Ιστορικό. Πάντοτε πίστευα ότι ένα Αρμονικό Πολύπλευρο, προκύπτει από την προβολή Κανονικού Πολύπλευρου, με τον ίδιο αριθμό πλευρών και δεν διαψεύστηκα, όπως θα δούμε παρακάτω.
Αλλά πως; Με ποιο τρόπο;
2. Σκεπτικό. Αν ένα Κανονικό Πολύπλευρο προβληθεί (με όχι ορθή προβολή), από ένα σημείο εκτός του επιπέδου του, σε ένα άλλο επίπεδο (μη παράλληλο στο πρώτο επίπεδο), τότε το Πολύπλευρο που θα προκύψει, δεν θα είναι Αρμονικό, γιατί απλά δεν θα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, αλλά σε Κωνική τομή.
Πρέπει λοιπόν η προβολή αυτή να γίνει με ειδικό τρόπο και από ειδικό σημείο, έτσι ώστε ο περιγεγραμμένος κύκλος του Κανονικού Πολύπλευρου να παραμένει αναλλοίωτος (σαν κύκλος, όχι από πλευράς μεγέθους, γιατί το μέγεθος μπορούμε να το επιλέγουμε εμείς), που είναι αναγκαία προϋπόθεση για να είναι Αρμονικό (το Πολύπλευρο), ενώ μόνο το Κανονικό Πολύπλευρο πρέπει να μετασχηματισθεί σε Αρμονικό, ίσου αριθμού πλευρών.
Πως όμως και από ποιό σημείο;
Η απάντηση – λύση αυτή έπεσε τώρα σαν «ώριμο φρούτο», μετά από την μεθοδική μελέτη μιας σειράς Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχουμε αναρτήσει εδώ, με τις αποδείξεις τους, ή που πρόκειται να αναρτήσουμε.
Ακόμη, για την επίτευξη της λύσεως αυτής σημαντικό ρόλο έπαιξε και το «Ορθοοπτικό Σημείο» (Σχετική ορολογία δίνουμε στο συνημμένο μας 138), για το οποίο έχουμε μιλήσει αρκετά εδώ και με τη βοήθεια του οποίου έχουμε λύσει πολλά σχετικά Προβλήματα.
3. Ερμηνεία της Μεθόδου. Η μέθοδος αυτή σε γενικές γραμμές, βασίζεται σε κατάλληλους Προβολικούς Μετασχηματισμούς (Προβολές και Τομές ευθείας και κύκλων), αλλά (βασίζεται) και στο λεγόμενο «Ορθοοπτικό Σημείο».
Την λεπτομερή ερμηνεία της μεθόδου αυτής, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε με την απόδειξη του παρακάτω Προβλήματος , που θα αναρτήσουμε εδώ προσεχώς, με το συνημμένο μας .
4. Ονομασία της Μεθόδου. Επειδή, από τη σειρά των παραπάνω μετασχηματισμών, προκύπτει πάντοτε αρχικά Συνευθειακή Αρμονική ν-άδα και μετά Αρμονικό Πολύπλευρο, την Μέθοδο αυτή, ονομάσαμε «ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ». Η Μέθοδος αυτή είναι ενιαία για κάθε Συνευθειακή Αρμονική ν-άδα και Πολύπλερο, ακόμη και εκείνων που έχουν περιττό αριθμό πλευρών, όπως παρακάτω θα δούμε (Τρίγωνα, Πεντάπλευρα , κτλ). Αποτελεί δε Μέθοδο, καθώς αυτή έχει εφαρμογή σε όλα τα σχετικά Προβλήματα.
5. Το Πρόβλημα . Σήμερα, για το Πρόβλημα , έχουμε τη χαρά να δώσουμε παρακάτω την εκφώνησή του και προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να προβληματισθούν και να μας δώσουν τη λύση του, που προφανώς είναι εύκολη πλέον, μετά από τις τελευταίες Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ. Δική μας σχετική απόδειξη σύντομα θα ακολουθήσει,
Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής: . Βασιζόμενοι σε κατάλληλους προβολικούς μετασχηματισμούς και τομές από ευθεία και κύκλους, να κατασκευαστεί Αρμονικό Πολύπλευρο με βάσει Κανονικό Πολύπλευρο με ίσο αριθμό πλευρών, και αντίστροφα, με όμοιο τρόπο και με βάσει Αρμονικό Πολύπλευρο να κατασκευαστεί Κανονικό Πολύπλευρο, με ίσο αριθμό πλευρών.
Σχόλιο. Την παραπάνω Κατασκευή ονόμασα "Πρόβλημα Εικοσαετίας", καταχώρησα στην παράγραφο τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω δε ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ (Την σχετική ορολογία έχουμε δώσει με τα συνημμένα και ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
ΥΓ. Αγαπητοί φίλοι αυτά τα καταπληκτικά συμβαίνουν με την έρευνα*.
Όσοι πιστοί προσέλθετε, για να αναβαθμίσουμε και να φέρομε στην επιφάνια την κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
*ΕΡΕΥΝΑ =
Απόλαυση + Ανακαλύψεις + Έντονες Συγκινήσεις Δημιουργία Πρόοδος.
Νέα εφαρμογή της Μεθόδου των «Αρμονικών Μετασχηματισμών», για το Πρόβλημα «Εικοσαετίας». [Επέκταση της Κατασκευής ].
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παραπάνω Πρόβλημα «Εικοσαετίας» όπως το αποκαλέσαμε (συνημμένο μου ), αναρτήσαμε δύο εφαρμογές της παραπάνω Νέας μου Μεθόδου των «ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», που αναφέρονται σε Αρμονικά Τετράπλευρα και Αρμονικά Οκτάπλευρα.
Σήμερα, για το Πρόβλημα , έχουμε τη χαρά να δώσουμε παρακάτω την εκφώνηση της τρίτης εφαρμογής της παραπάνω Μεθόδου, που αναφέρεται σε Αρμονικό Εξάπλευρο και Αρμονική Εξάδα Σημείων.
Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη λύση τους, με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου, για την εμπέδωσή της ή άλλου τρόπου, που προφανώς είναι εύκολη πλέον, μετά από τις τελευταίες Προτάσεις και Προβλήματα που έχουμε αναρτήσει εδώ.
Δική μας σχετική απόδειξη σύντομα θα ακολουθήσει.
Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής: . Βασιζόμενοι σε κατάλληλους προβολικούς μετασχηματισμούς και τομές από ευθεία και κύκλους, να κατασκευαστεί Αρμονικό Εξάπλευρο με βάσει Κανονικό Εξάπλευρο, και αντίστροφα, με όμοιο τρόπο και με βάση Αρμονικό Εξάπλευρο να κατασκευαστεί Κανονικό Εξάπλευρο.
Σχόλιο. Την παραπάνω Κατασκευή (εφαρμογή), καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Πιστεύω δε ότι είναι νέα και ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ (Την σχετική ορολογία έχουμε δώσει με τα συνημμένα μου , και ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Νέα εφαρμογή της Μεθόδου των «Αρμονικών Μετασχηματισμών», για το Πρόβλημα «Εικοσαετίας». [Επέκταση της Κατασκευής ].
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση μου του παραπάνω Προβλήματος «ΕΙΚΟΣΑΕΤΊΑΣ» , η οποία γίνεται με εφαρμογή της παραπάνω Μεθόδου των «ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί λύσεις από φίλους.
Η εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου φαίνεται πολύ παραστατικά και ξεκάθαρα, στο σχήμα , του παρακάτω συηνμμένου μου .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Ας σημειωθεί ότι, ανάλογες εφαρμογές μπορεί να γίνουν και για άλλα Πολύπλευρα, όπως για Πεντάπλευρα,Τετράπλευρα - Οκτάπλευρα ], Δεκάπλευρα, κτλ.
Υπάρχουν Αρμονική Συνευθειακή και Ομοκυκλική Δεκάδες Σημείων;
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστές η «Αρμονική Συνευθειακή και η Ομοκυκλική Τετράδας Σημείων», οι τρόποι Κατασκευής τους και ιδιότητες τους (Κριτήρια).
Με το συνημμένο μου , έδωσα τους ορισμούς της «Αρμονικής Συνευθειακής και της Ομοκυκλικής Εξάδας Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και τις ιδιότητές τους με τη μορφή Κριτηρίων.
Με το συνημμένο μου , έδωσα τους ορισμούς της «Αρμονικής Συνευθειακής και της Ομοκυκλικής Οκτάδας Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και τις ιδιότητές τους με τη μορφή Κριτηρίων.
Τίθενται τα ερωτήματα: Υπάρχουν Αρμονική Συνευθειακή και Ομοκυκλική Δεκάδες Σημείων;
Ποίοι οι Ορισμοί τους;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.
Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που οι απαντήσεις είναι θετικές, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και με τις ιδιότητες τους, με τη μορφή Κριτηρίων.
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Υπάρχουν Αρμονική Συνευθειακή και Ομοκυκλική Δεκάδες Σημείων;
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστές η «Αρμονική Συνευθειακή και η Ομοκυκλική Τετράδας Σημείων», οι τρόποι Κατασκευής τους και ιδιότητες τους (Κριτήρια).
Με το συνημμένο μου , έδωσα τους ορισμούς της «Αρμονικής Συνευθειακής και της Ομοκυκλικής Εξάδας Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και τις ιδιότητές τους με τη μορφή Κριτηρίων.
Με το συνημμένο μου , έδωσα τους ορισμούς της «Αρμονικής Συνευθειακής και της Ομοκυκλικής Οκτάδας Σημείων» και στη συνέχεια είδαμε τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και τις ιδιότητές τους με τη μορφή Κριτηρίων.
Τίθενται τα ερωτήματα: Υπάρχουν Αρμονική Συνευθειακή και Ομοκυκλική Δεκάδες Σημείων;
Ποίοι οι Ορισμοί τους;
Για τα ερωτήματα αυτά, προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις απαντήσεις τους.
Δικές μου απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά, θα ακολουθήσουν και σε περίπτωση που οι απαντήσεις είναι θετικές, θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής τους, αλλά και με τις ιδιότητες τους, με τη μορφή Κριτηρίων.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΕΣ ΔΕΚΑΔΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, διαπίστωσα ότι υπάρχουν πραγματικά «Aρμονικές Συνευθειακές και Ομοκυκλικές Δεκάδες Σημείων».
Κατόπιν τούτου, με το παρακάτω συνημμένο μου , δίνω τους σχετικούς ορισμούς και όχι μόνο.
Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τους τρόπους Κατασκευής μιας τυχαίας «Aρμονικής Συνευθειακής και Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων», όπως και με Κριτήρια Αρμονικότητάς τους.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα) Αρμονικής Συνευθειακής Δεκάδας Σημείων, που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Δίνεται η διατεταγμένη Συνευθειακή Αρμονική Δεκάδα Σημείων και ζητείται να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι διαμέτρων , συντρέχουν.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Πρόταση προφανώς αποτελεί επέκταση της Πρόταση (συνημμένο μου ).
(γ). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω βοηθητική Πρόταση (λήμμα) Αρμονικής Συνευθειακής Δεκάδας Σημείων, που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Δίνεται η διατεταγμένη Συνευθειακή Αρμονική Δεκάδα Σημείων και ζητείται να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι διαμέτρων , συντρέχουν.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Η Πρόταση προφανώς αποτελεί επέκταση της Πρόταση (συνημμένο μου ).
(γ). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
ΝΕΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΉ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΕΚΑΔΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ. Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικής Δεκάδας Σημείων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Όταν είχαμε γιορτάσει τις επισκέψεις στον χώρο αυτό εδώ, είχαμε θέσει σαν επόμενο στόχο μας τις επισκέψεις, χωρίς να θέσουμε ενδιάμεσους στόχους, γιατί η ταχύτητα που εξελίσσονται τα πράγματα εδώ είναι πραγματικά μεγάλη.
Έτσι φθάσαμε ανέλπιστα πιο σύντομα, από τις εκτιμήσεις μας, να πανηγυρίζουμε σήμερα την Νέα «ΧΡΥΣΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ», η οποία υπερβαίνει την η επίσκεψη των φίλων στο χώρο αυτό. Τούτο φανερώνει το μεγάλο ενδιαφέρον σας για όσα αναρτούμε εδώ, πράγμα το οποίο μας τιμά ιδιαίτερα και μας δίνει κουράγιο να συνεχίσουμε και γι’ αυτό σας ευχαριστούμε πολύ.
Αγαπητοί φίλοι, όπως και αλλού έγραψα, πρώτος και κύριος σκοπός της προσπάθειάς μου αυτής εδώ, που δεν είναι μόνο των τελευταίων ετών, αλλά έχει διάρκεια είκοσι πέντε ετών [αυτή είναι η καθημερινή μου ζωή επί είκοσι πέντε χρόνια ()], είναι με την έρευνα και με τις διάφορες επινοήσεις μου να συμβάλω, όσο μου είναι δυνατό, στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας.
Δεύτερος σκοπός μου είναι να απολαμβάνω τη μεγάλη χαρά που μου δίνει κάθε επινοήσει.
Τρίτος σκοπός μου είναι να μεγαλώσω το συγγραφικό μου έργο, που είναι προφανές ότι δε γίνεται για εμπορικούς λόγους.
Παράλληλα, τα τελευταία χρόνια προσπαθώ, μερικές από τις επινοήσεις μου, να τις αναρτώ και στο Mathematica, για να γίνονται γνωστές και στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, που όπως φαίνεται δεν είναι λίγοι. Τούτο μου επιβάλλει να συνεχίσω την ανάρτηση εδώ μερικών αποσπασμάτων της παραπάνω προσπάθειάς μου (Όσων ο χρόνος μου επιτρέπει).
Βέβαια με απασχολεί το πρόβλημα, που η προσπάθειά μου αυτή γίνεται αιτία να μη προλαβαίνω να συμμετέχω στην ωραία παρέα και στις διάφορες συζητήσεις των φύλων της Γεωμετρίας.
Συνεχίζουμε λοιπόν με στόχο τις επισκέψεις, καθώς πιστεύουμε ότι οι ενδιάμεσοι στόχοι θα περάσουν ταχύτατα, αφού από ότι έχουμε διαπιστώσει, τα πρωτοεμφανιζόμενα εδώ Στοιχεία Γεωμετρίας, κανέναν δεν αφήνουν αδιάφορο.
Και πάλι ευχαριστούμε πολύ όλους εκείνους που με οποιονδήποτε τρόπο συνέβαλαν να επιτευχθεί η παραπάνω Νέα «ΧΡΥΣΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ».
Πολλές Ευχές.
Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Δεκάπλευρων. Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικών Δεκάπλευρων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Οι διαγώνιες (κύριες), των Αρμονικών Δεκάπλευρων, συντρέχουν.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Δεκάπλευρων. Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικών Δεκάπλευρων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Οι διαγώνιες (κύριες), των Αρμονικών Δεκάπλευρων, συντρέχουν.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Δεκάπλευρων. Σημαντική Ιδιότητα Αρμονικών Δεκάπλευρων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις (ιδιότητες), ισχύουν και για Αρμονικές Εξάδες, Οκτάδες , Δωδεκάδες, κτλ, Ομοκυκλικών Σημείων.
Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Σε κάθε Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο , είναι: = =1.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Σε κάθε Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο , είναι: = =1.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις (ιδιότητες), ισχύουν και για Αρμονικές Τετράδες, Εξάδες, Οκτάδες , Δωδεκάδες, κτλ, Ομοκυκλικών και Συνευθειακών Σημείων.
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Σε κάθε Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο , είναι: = =1.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σπουδαία Επέκταση της Πρότασης , από Κύκλο και σε Ευθεία.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μπαίνουμε σε βαθιά νερά. Μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Πρόταση , διατύπωση και απόδειξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε ευθεία.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Πρότασης και για ευθεία και να μας δώσουν την απόδειξή της. Ας σημειωθεί ότι, η απόδειξη της ζητούμενης Πρότασης είναι πολύ δύσκολη. Για όσους όμως παρακολουθούν με προσοχή την εργασία αυτή, στην οποία έχουμε δώσει πολλά κατάλληλα εργαλεία και κλειδία, θα την αντιμετωπίσουν εύκολα. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, πανηγυρίζουμε σήμερα την επέτειο του ενός έτους από την έναρξη της εργασίας (έρευνας) αυτής εδώ.
Οι αναρτήσεις μας εδώ, διαφόρων νέων και πρωτοεμφανιζόμενων πιστεύω Προτάσεων - Προβλημάτων και Μεθόδων, για ένα ολόκληρο έτος ήταν συνεχείς, όπως ήταν και οι επισκέψεις των φίλων, που υπερέβησαν τις δεκαπέντε χιλιάδες, τους οποίους θέλω και να ευχαριστήσω θερμά, καθώς, έστω και με τον τρόπο αυτό, με εμψυχώνουν και μου δίνουν κουράγιο να συνεχίσω. Είναι φυσικό επόμενο να ευχαριστήσω διπλά εκείνους που συμμετείχαν και συνέβαλαν ενεργά με κάθε τρόπο στην προσπάθειά μου αυτή.
Ο απολογισμός είναι σημαντικός, καθώς: . Παρουσιάστηκαν εδώ :
α. Νέες Προτάσεις και Προβλήματα, με τις αποδείξεις ή λύσεις τους: Ογδόντα τρεις .
β. Νέες Μέθοδοι: Δύο .
γ. Σχετικές νέες Θεωρίες. Πολλές και σημαντικές.
. Δεν κρίθηκε σκόπιμο να παρουσιαστούν εδώ (κυρίως λόγω ελλείψεως χρόνου, καθώς έπρεπε να δίνεται και χρόνος για τις απαντήσεις):
α. Νέες Προτάσεις και Προβλήματα, με τις αποδείξεις ή λύσεις τους: Είκοσι έξι .
β. Νέες Μέθοδοι: Μία .
γ. Σχετικές νέες Θεωρίες: Αρκετές και σημαντικές.
. Πραγματοποιήθηκαν δημοσιεύσεις (αναρτήσεις).
Και πάλι ευχαριστώ πολύ όσους συμμετείχαν με οποιονδήποτε τρόπο, προπαντός εκείνους που μελέτησαν ή θα μελετήσουν σε βάθος την εργασία αυτή και θα μας υποδείξουν τα λάθη, που ασφαλώς υπάρχουν, για να γίνουν και οι σχετικές διορθώσεις.
Πιστεύω ότι με τη μελέτη τους αυτή, ένοιωσαν ή θα νοιώσουν όλο το Μεγαλείο της Γεωμετρίας. Ακόμη περισσότερο ευχαριστώ εκείνους που πείσθηκαν μετά την προσπάθειά μου αυτή, να ασχοληθούν όχι απλά με την Γεωμετρία, λύνοντας μόνο Ασκήσεις, αλλά με την έρευνα της Γεωμετρίας, ώστε να συνεισφέρουν πραγματική υπηρεσία στη Γεωμετρία.
Μετά τα παραπάνω, συνεχίζουμε για δεύτερο έτος το σίριαλ αυτό και πιστεύω ότι θα πάμε πιο καλά, πιο ψιλά, πιο μακριά και πιο γρήγορα (αισιόδοξος στόχος).
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Σε κάθε Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο , είναι: = =1.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σπουδαία Επέκταση της Πρότασης , από Κύκλο και σε Ευθεία.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μπαίνουμε σε βαθιά νερά. Μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Πρόταση , διατύπωση και απόδειξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε ευθεία.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Πρότασης και για ευθεία και να μας δώσουν την απόδειξή της. Ας σημειωθεί ότι, η απόδειξη της ζητούμενης Πρότασης είναι πολύ δύσκολη. Για όσους όμως παρακολουθούν με προσοχή την εργασία αυτή, στην οποία έχουμε δώσει πολλά κατάλληλα εργαλεία και κλειδία, θα την αντιμετωπίσουν εύκολα. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σημαντική Ιδιότητα Συνευθειακής Αρμονικής Δεκάδας Σημείων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για απόδειξη, την διατύπωση της νέας και πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Πρότασης , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.
Πρόκειται για μία Πρόταση, που αποτελεί επέκταση της Πρότασης (συνημμένο μου ), από κύκλο και σε ευθεία, η οποία είναι πολύ σημαντική, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές. Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις.
Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής: . Σε κάθε Συνευθειακή Αρμονική Δεκάδα Σημείων , είναι:= =1. [/size]
Σχόλια. (α). Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Υπενθυμίζουμε ότι, η απόδειξη της ζητούμενης Πρότασης είναι πολύ δύσκολη. Για όσους όμως παρακολουθούν με προσοχή την εργασία αυτή, στην οποία έχουμε δώσει πολλά κατάλληλα εργαλεία και κλειδιά, θα την αντιμετωπίσουν εύκολα.
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σημαντική Ιδιότητα Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου. Επέκταση σχετικής Πρότασης Οκτάπλευρων και σε Δεκάπλευρα.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για την παρακάτω Πρόταση Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η διατύπωση της Πρότασης αυτής έχει ως εξής. . Σε κάθε Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο , είναι: = =1.
Σχόλια. (α). Η παραπάνω Πρόταση πιστεύω ότι είναι νέα, πρωτοεμφανίζεται εδώ, ενώ την καταχωρήσαμε στην παράγραφο (τόμος ) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Σχετική ορολογία έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σπουδαία Επέκταση της Πρότασης , από Κύκλο και σε Ευθεία.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μπαίνουμε σε βαθιά νερά. Μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι η παραπάνω Πρόταση , διατύπωση και απόδειξη της οποίας έχω αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου , αληθεύει και σε ευθεία.
Κατόπιν τούτου, προτείνω στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν την επέκταση της παραπάνω Πρότασης και για ευθεία και να μας δώσουν την απόδειξή της. Ας σημειωθεί ότι, η απόδειξη της ζητούμενης Πρότασης είναι πολύ δύσκολη. Για όσους όμως παρακολουθούν με προσοχή την εργασία αυτή, στην οποία έχουμε δώσει πολλά κατάλληλα εργαλεία και κλειδία, θα την αντιμετωπίσουν εύκολα. Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σημαντική Ιδιότητα Συνευθειακής Αρμονικής Δεκάδας Σημείων.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνω παρακάτω για απόδειξη, την διατύπωση της νέας και πρωτοεμφανιζόμενης πιστεύω Πρότασης , την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί.
Πρόκειται για μία Πρόταση, που αποτελεί επέκταση της Πρότασης (συνημμένο μου ), από κύκλο και σε ευθεία, η οποία είναι πολύ σημαντική, γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές. Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις.
Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας .
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής: . Σε κάθε Συνευθειακή Αρμονική Δεκάδα Σημείων , είναι:= =1. [/size]
Σχόλια. (α). Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Υπενθυμίζουμε ότι, η απόδειξη της ζητούμενης Πρότασης είναι πολύ δύσκολη. Για όσους όμως παρακολουθούν με προσοχή την εργασία αυτή, στην οποία έχουμε δώσει πολλά κατάλληλα εργαλεία και κλειδιά, θα την αντιμετωπίσουν εύκολα.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Σημαντική Ιδιότητα Συνευθειακής Αρμονικής Δεκάδας Σημείων. Επέκταση των Προτάσεων και .
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου , όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τρεις αποδείξεις μου της παραπάνω Πρότασης , καθώς μέχρι τώρα δεν έχουν δοθεί αποδείξεις από φίλους.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους, αποδείξεις-λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Aς σημειωθεί ότι, ανάλογες Προτάσεις (ιδιότητες), ισχύουν και για Αρμονικές Τετράδες, Εξάδες, Οκτάδες , Δωδεκάδες, κτλ, Συνευθειακών και Ομοκυκλικών Σημείων.
Διαθέτει Σημείο Lemoine το Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο;
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστό και εύκολα αποδεικνύεται, ότι το σημείο Lemoine σε κάθε τρίγωνο, έχει την ιδιότητα, σύμφωνα με την οποία, το σημείο αυτό απέχει από τις πλευρές του τριγώνου, αποστάσεις ανάλογες των αντιστοίχων πλευρών του (του τριγώνου).
Επίσης είναι γνωστό και εύκολα αποδεικνύεται, ότι η τομή των διαγωνίων στο αρμονικό τετράπλευρο, έχει την ίδια, όπως παραπάνω ιδιότητα. Δηλαδή οι αποστάσεις της τομής αυτής από τις πλευρές του τετράπλευρου, είναι ανάλογες, των αντιστοίχων πλευρών του τετράπλευρου. Για τον λόγο αυτό η τομή των διαγωνίων του αρμονικού τετράπλευρου, ονομάζεται σημείο Lemoine του αρμονικού τετράπλευρου (τούτο περιλαμβάνεται στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», [ως Κριτήριο Αρμονικότητας § ].
Ακόμη, σύμφωνα με το Κριτήριο (συνημμένο μου ), του παραπάνω βιβλίου μου και το Αρμονικό Εξάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα. (Το Κριτήριο αυτό θα αναρτήσω και εδώ, αν μου δοθεί ευκαιρία).
Επίσης, σύμφωνα με το Κριτήριο , που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου και το Αρμονικό Οκτάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα.
Μετά τα παραπάνω γενάτε το ερώτημα: Διαθέτει Σημείο Lemoine το Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο; Αν ναι, ποίο είναι τούτο και γιατί;
Σε πιθανή θετική απάντηση τούτου, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν ανάλογο, με τα παραπάνω αναφερόμενα, Κριτήριο Αρμονικότητας εγγεγραμμένου Δεκάπλευρου, δίνοντας και την απόδειξή του.
Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, αν φυσικά αποφανθώ θετικά στο παραπάνω ερώτημα (Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας ).
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Διαθέτει Σημείο Lemoine το Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο;
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Είναι γνωστό και εύκολα αποδεικνύεται, ότι το σημείο Lemoine σε κάθε τρίγωνο, έχει την ιδιότητα, σύμφωνα με την οποία, το σημείο αυτό απέχει από τις πλευρές του τριγώνου, αποστάσεις ανάλογες των αντιστοίχων πλευρών του (του τριγώνου).
Επίσης είναι γνωστό και εύκολα αποδεικνύεται, ότι η τομή των διαγωνίων στο αρμονικό τετράπλευρο, έχει την ίδια, όπως παραπάνω ιδιότητα. Δηλαδή οι αποστάσεις της τομής αυτής από τις πλευρές του τετράπλευρου, είναι ανάλογες, των αντιστοίχων πλευρών του τετράπλευρου. Για τον λόγο αυτό η τομή των διαγωνίων του αρμονικού τετράπλευρου, ονομάζεται σημείο Lemoine του αρμονικού τετράπλευρου (τούτο περιλαμβάνεται στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», [ως Κριτήριο Αρμονικότητας § ].
Ακόμη, σύμφωνα με το Κριτήριο (συνημμένο μου ), του παραπάνω βιβλίου μου και το Αρμονικό Εξάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα. (Το Κριτήριο αυτό θα αναρτήσω και εδώ, αν μου δοθεί ευκαιρία).
Επίσης, σύμφωνα με το Κριτήριο , που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου και το Αρμονικό Οκτάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα.
Μετά τα παραπάνω γενάτε το ερώτημα: Διαθέτει Σημείο Lemoine το Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο; Αν ναι, ποίο είναι τούτο και γιατί;
Σε πιθανή θετική απάντηση τούτου, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους για την πρόοδο της Γεωμετρίας φίλους, να ασχοληθούν και να μας διατυπώσουν ανάλογο, με τα παραπάνω αναφερόμενα, Κριτήριο Αρμονικότητας εγγεγραμμένου Δεκάπλευρου, δίνοντας και την απόδειξή του.
Δική μου σχετική διατύπωση και απόδειξη, θα αναρτήσω εδώ, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, αν φυσικά αποφανθώ θετικά στο παραπάνω ερώτημα (Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μας ).
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Tο Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο Διαθέτει Σημείο Lemoine. Σημαντικό Κριτήριο Αρμονικότητας Απλού Αρμονικού Δεκάπλευρου.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, μετά από σχετική μελέτη προέκυψε ότι και το Απλό Αρμονικό Δεκάπλευρο διαθέτει Σημείο Lemoine.
Κατόπιν τούτου και προκειμένου να διευκολύνουμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, δίνουμε παρακάτω για απόδειξη την διατύπωση του πρωτοεμφανιζόμενου πιστεύω Κριτηρίου Αρμονικότητας , το οποίο είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί από φίλους.
Πρόκειται για ένα κριτήριο, που αποτελεί επέκταση του Κριτηρίου , από Αρμονικό Οκτάπλευρο και σε Αρμονικό Δεκάπλευρο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να αποφανθούμε ότι και το Αρμονικό Δεκάπλευρο διαθέτει Σημείο Lemoine [Το παραπάνω Κριτήριο έχουμε αναρτήσει εδώ με το συνημμένο μου ].
Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα (Υπενθυμίζουμε ότι την σχετική ορολογία, έχουμε αναρτήσει παραπάνω με τα συνημμένα μας 192).
Το Κριτήριο αυτό, έχει ως εξής:. . Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο Δεκάπλευρο, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και υπάρχει στο επίπεδό του σημείο για το οποίο οι αποστάσεις από τις πλευρές του (του Δεκάπλευρου), είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες πλευρές του, τότε και μόνο τότε το Δεκάπλευρο αυτό είναι Αρμονικό.
Σχόλιο. Το παραπάνω Κριτήριο, καταχώρησα στην παράγραφο τόμος , του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Κατασκευής Αρμονικής Συνευθειακής και Ομοκικλικής Τετράδας Σημείων (Αρμονικού Εξάπλευρου), που ομολογώ ότι είναι Πρόβλημα πολύ χρήσιμο γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές υψηλού επιπέδου.
) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(συνημμένο μου
).
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου του παραπάνω Προβλήματος 
Κατασκευής Αμονονικής Συνευθειακής Εξάδας Σημείων και Κανονικού Εξάπλευρου, που είναι Πρόβλημα ευκολο αλλά και πολύ χρήσιμο, γιατί σε αυτό θα βασισθούν άλλες Κατασκευές.
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την λύση μου της παραπάνω Κατασκευής 
, που θα αναρτήσουμε εδώ προσεχώς, με το συνημμένο μας 
.
και 
).
Δημιουργία 
της παραπάνω Μεθόδου, που αναφέρεται σε Αρμονικό Εξάπλευρο και Αρμονική Εξάδα Σημείων.
).
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση μου του παραπάνω Προβλήματος «ΕΙΚΟΣΑΕΤΊΑΣ» 
, του παρακάτω συηνμμένου μου 
, δίνω τους σχετικούς ορισμούς και όχι μόνο. 
Αρμονικής Συνευθειακής Δεκάδας Σημείων, που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
και ζητείται να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι διαμέτρων 
, συντρέχουν.
(συνημμένο μου 
).
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης 
συνημμένο μου 
), Δωδεκάδες, κτλ, Συνευθειακών Σημείων.
επισκέψεις στον χώρο αυτό εδώ, είχαμε θέσει σαν επόμενο στόχο μας τις 
επισκέψεις, χωρίς να θέσουμε ενδιάμεσους στόχους, γιατί η ταχύτητα που εξελίσσονται τα πράγματα εδώ είναι πραγματικά μεγάλη.
)], είναι με την έρευνα και με τις διάφορες επινοήσεις μου να συμβάλω, όσο μου είναι δυνατό, στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας. 
επισκέψεις,
Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης 
Αρμονικής Ομοκυκλικής Δεκάδας Σημείων (Αρμονικού Δεκάπλευρου), που είναι πολύ χρήσιμη, γιατί σε αυτή θα βασισθούν οι αποδείξεις πολλών άλλων Προτάσεων και Κατασκευών, που θα ακολουθήσουν.
και το συζυγές του Αρμονικό Αστεροειδές Δεκάπλευρο 
, είναι: 
= 
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξή μου της παραπάνω Πρότασης 
χιλιάδες, τους οποίους θέλω και να ευχαριστήσω θερμά, καθώς, έστω και με τον τρόπο αυτό, με εμψυχώνουν και μου δίνουν κουράγιο να συνεχίσω. Είναι φυσικό επόμενο να ευχαριστήσω διπλά εκείνους που συμμετείχαν και συνέβαλαν ενεργά με κάθε τρόπο στην προσπάθειά μου αυτή.
.
. 
.
. 
.
.
.
δημοσιεύσεις (αναρτήσεις).
, την οποία είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί. 
και 
, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τρεις αποδείξεις μου της παραπάνω Πρότασης 
Αρμονικότητας § 
].
(συνημμένο μου 
), του παραπάνω βιβλίου μου και το Αρμονικό Εξάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα. (Το Κριτήριο αυτό θα αναρτήσω και εδώ, αν μου δοθεί ευκαιρία). 
, που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου 
και το Αρμονικό Οκτάπλευρο, διαθέτει σημείο Lemoine, το οποίο έχει την ίδια ιδιότητα. 
, το οποίο είχαμε ζητήσει παραπάνω, αλλά μέχρι τώρα δεν μας έχει δοθεί από φίλους.
, από Αρμονικό Οκτάπλευρο και σε Αρμονικό Δεκάπλευρο, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να αποφανθούμε ότι και το Αρμονικό Δεκάπλευρο διαθέτει Σημείο Lemoine [Το παραπάνω Κριτήριο 
Δεκάπλευρο, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και υπάρχει στο επίπεδό του σημείο για το οποίο οι αποστάσεις από τις πλευρές του (του Δεκάπλευρου), είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες πλευρές του, τότε και μόνο τότε το Δεκάπλευρο αυτό είναι Αρμονικό.