ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

[rek2]

Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;

(επιλέξαμε δύο περριτούς)

[Soteris]

Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;

Όλοι οι λαχνοί είναι . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς με διαφορετικούς τρόπους.
Το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν θα είναι άρτιος αριθμός, όταν τουλάχιστον ο ένας από τους δύο είναι άρτιος.
Μπορούμε να επιλέξουμε στην τύχη δύο "περιττούς" λαχνούς με διαφορετικούς τρόπους. Άρα, θα έχουμε άρτιο γινόμενο με διαφορετικούς τρόπους.
Τελικά, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: (άρτιο γινόμενο)

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 75

Το των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα , ενώ το των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα και δεν διαβάζουν την εφημερίδα .
α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα ή να διαβάζει την εφημερίδα ;
β. Ορίζουμε το ενδεχόμενο «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα ».
Να αποδείξετε ότι

[george visvikis]

ΑΣΚΗΣΗ 75

Το των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα , ενώ το των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα και δεν διαβάζουν την εφημερίδα .
α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα ή να διαβάζει την εφημερίδα ;
β. Ορίζουμε το ενδεχόμενο «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα ».
Να αποδείξετε ότι

Γεια σου Ευθύμη.

α) Έστω το ενδεχόμενο οι κάτοικοι να διαβάζουν την εφημερίδα και το ενδεχόμενο να διαβάζουν τη εφημερίδα . Από την υπόθεση είναι . Ζητάμε το .





β)



Αλλά

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Είναι από τις Πανελλήνιες του

[Soteris]

Άσκηση 76

Η πιθανότητα ένας μαθητής να επιλέξει Μαθηματικά Κατεύθυνσης στην Γ' Λυκείου είναι , η πιθανότητα να επιλέξει Φυσική Κατεύθυνσης είναι και η πιθανότητα να επιλέξει και τα δύο μαθήματα είναι . Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή της Γ' Λυκείου, να βρεθεί η πιθανότητα:

(i) να μην έχει επιλέξει Μαθηματικά Κατεύθυνσης
(ii) να έχει επιλέξει τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα
(iii) να έχει επιλέξει μόνο Μαθηματικά Κατεύθυνσης
(iv) να έχει επιλέξει ακριβώς ένα από τα δύο μαθήματα
(v) να μην έχει επιλέξει κανένα από τα δύο μαθήματα

[Soteris]

Άσκηση 77

Μια κληρωτίδα περιέχει άσπρες και μαύρες σφαίρες. Επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα και ακολούθως την επανατοποθετούμε στην κληρωτίδα, προσθέτοντας ακόμα σφαίρες του ιδίου χρώματος με αυτήν που επιλέξαμε. Στη συνέχεια, επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα από την κληρωτίδα. Ποια είναι η πιθανότητα η σφαίρα που επιλέγηκε την δεύτερη φορά να είναι άσπρη;

[Soteris]

Άσκηση 78

Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε ακριβώς μία φορά με κάθε μία από τις υπόλοιπες. Ο νικητής κάθε αγώνα έπαιρνε βαθμούς, ενώ ο ηττημένος βαθμούς. Σε περίπτωση ισοπαλίας, οι ομάδες έπαιρναν από βαθμό. Στο τέλος του πρωταθλήματος, το σύνολο των βαθμών των ομάδων ήταν . Πόσοι αγώνες έληξαν ισόπαλοι;

[george visvikis]

Άσκηση 78

Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε ακριβώς μία φορά με κάθε μία από τις υπόλοιπες. Ο νικητής κάθε αγώνα έπαιρνε βαθμούς, ενώ ο ηττημένος βαθμούς. Σε περίπτωση ισοπαλίας, οι ομάδες έπαιρναν από βαθμό. Στο τέλος του πρωταθλήματος, το σύνολο των βαθμών των ομάδων ήταν . Πόσοι αγώνες έληξαν ισόπαλοι;

Η κάθε ομάδα έπαιξε ακριβώς αγώνες, άρα το σύνολο των αγώνων ήταν . Έστω ότι αγώνες είχαν νικητή, ενώ αγώνες έληξαν ισόπαλοι.
Σε κάθε νικηφόρο αγώνα οι δύο ομάδες παίρνουν συνολικά βαθμούς ενώ σε κάθε ισόπαλο αγώνα βαθμούς. Έχουμε λοιπόν το παρακάτω σύστημα:



Άρα αγώνες έληξαν ισόπαλοι.

[ealexiou]

Άσκηση 77

Μια κληρωτίδα περιέχει άσπρες και μαύρες σφαίρες. Επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα και ακολούθως την επανατοποθετούμε στην κληρωτίδα, προσθέτοντας ακόμα σφαίρες του ιδίου χρώματος με αυτήν που επιλέξαμε. Στη συνέχεια, επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα από την κληρωτίδα. Ποια είναι η πιθανότητα η σφαίρα που επιλέγηκε την δεύτερη φορά να είναι άσπρη;

i) Επιλέγουμε τυχαία άσπρη σφαίρα με πιθανότητα , την επανατοποθετούμε μαζί με άλλες άσπρες και την δεύτερη φορά επιλέγουμε τυχαία άσπρη με πιθανότητα , συνολική πιθανότητα
ii) Επιλέγουμε τυχαία μαύρη με πιθανότητα και στη συνέχεια επιλέγουμε άσπρη με πιθανότητα , συνολική πιθανότητα
(i) +(ii) Συνολική πιθανότητα για άσπρη

Πρόσθετη ερώτηση: Αν την δεύτερη φορά επιλέξαμε τυχαία μαύρη σφαίρα, ποιά η πιθανότητα την πρώτη φορά να είχαμε επιλέξει τυχαία άσπρη;

[ealexiou]

Άσκηση 76

Η πιθανότητα ένας μαθητής να επιλέξει Μαθηματικά Κατεύθυνσης στην Γ' Λυκείου είναι , η πιθανότητα να επιλέξει Φυσική Κατεύθυνσης είναι και η πιθανότητα να επιλέξει και τα δύο μαθήματα είναι . Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή της Γ' Λυκείου, να βρεθεί η πιθανότητα:

(i) να μην έχει επιλέξει Μαθηματικά Κατεύθυνσης
(ii) να έχει επιλέξει τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα
(iii) να έχει επιλέξει μόνο Μαθηματικά Κατεύθυνσης
(iv) να έχει επιλέξει ακριβώς ένα από τα δύο μαθήματα
(v) να μην έχει επιλέξει κανένα από τα δύο μαθήματα

Ασκηση 76 Πιθανοτήτων.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 6259 φορές

Πιθανότητα να:
(i) να μην έχει επιλέξει Μαθηματικά Κατεύθυνσης

(ii) να έχει επιλέξει τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα

(iii) να έχει επιλέξει μόνο Μαθηματικά Κατεύθυνσης

(iv) να έχει επιλέξει ακριβώς ένα από τα δύο μαθήματα

(v) να μην έχει επιλέξει κανένα από τα δύο μαθήματα

[Soteris]

Άσκηση 78

Σε ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε ακριβώς μία φορά με κάθε μία από τις υπόλοιπες. Ο νικητής κάθε αγώνα έπαιρνε βαθμούς, ενώ ο ηττημένος βαθμούς. Σε περίπτωση ισοπαλίας, οι ομάδες έπαιρναν από βαθμό. Στο τέλος του πρωταθλήματος, το σύνολο των βαθμών των ομάδων ήταν . Πόσοι αγώνες έληξαν ισόπαλοι;

Λίγο διαφορετικά...

Οι αγώνες του πρωταθλήματος ήταν . Ένας αγώνας "προσφέρει" βαθμούς στο σύνολο των βαθμών (αν υπάρχει νικητής) ή βαθμούς (σε περίπτωση ισοπαλίας). Αν και οι αγώνες είχαν νικητή, τότε θα είχαμε συνολικά βαθμούς. Όμως στο πρωτάθλημα "χάθηκαν" βαθμοί, οι οποίοι αντιστοιχούν στους ισόπαλους αγώνες.

[Soteris]

Άσκηση 79

Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας ψηφία από το σύνολο , ώστε το άθροισμα των ψηφίων τους να είναι άρτιο και μεγαλύτερο ή ίσο του ;

[Soteris]

Άσκηση 80

Να βρεθεί το πλήθος των πενταψήφιων θετικών ακεραίων με την εξής ιδιότητα:
"Κάθε ψηφίο του αριθμού είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά του"

[Soteris]

Άσκηση 81

Η πόλη συνδέεται με την πόλη με διαφορετικούς δρόμους και η πόλη συνδέεται με την πόλη με διαφορετικούς δρόμους. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ταξιδέψει από την πόλη στην πόλη και να επιστρέψει στην πόλη , χωρίς να χρησιμοποιήσει κάποιο δρόμο περισσότερες από μία φορά;

[ealexiou]

Άσκηση 81

Η πόλη συνδέεται με την πόλη με διαφορετικούς δρόμους και η πόλη συνδέεται με την πόλη με διαφορετικούς δρόμους. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ταξιδέψει από την πόλη στην πόλη και να επιστρέψει στην πόλη , χωρίς να χρησιμοποιήσει κάποιο δρόμο περισσότερες από μία φορά;

Καλησπέρα Σωτήρη

Από την πόλη μπορεί να πάει στην πόλη με διαφορετικούς τρόπους.
Από την πόλη μπορεί να επιστρέψει στην πόλη με διαφορετικούς τρόπους.
Άρα συνολικά μπορεί να κάνει το ταξίδι με διαφορετικούς τρόπους.

[ealexiou]

Άσκηση 80

Να βρεθεί το πλήθος των πενταψήφιων θετικών ακεραίων με την εξής ιδιότητα:
"Κάθε ψηφίο του αριθμού είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά του"

Από τους δέκα αριθμούς επιλέγοντας πέντε και τοποθετώντας τους σε φθίνουσα σειρά ψηφίων έχουμε πενταψήφιο αριθμό όπου το "κάθε ψηφίο είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά του".
Άρα το ζητούμενο πλήθος αριθμών είναι
Δεν είμαι και τόσο σίγουρος...

[Soteris]

Άσκηση 80

Να βρεθεί το πλήθος των πενταψήφιων θετικών ακεραίων με την εξής ιδιότητα:
"Κάθε ψηφίο του αριθμού είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά του"

Από τους δέκα αριθμούς επιλέγοντας πέντε και τοποθετώντας τους σε φθίνουσα σειρά ψηφίων έχουμε πενταψήφιο αριθμό όπου το "κάθε ψηφίο είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά του".
Άρα το ζητούμενο πλήθος αριθμών είναι
Δεν είμαι και τόσο σίγουρος...

Καλημέρα Ευθύμη,

Μπορείς να νιώσεις σίγουρος...

[Φωτεινή]

Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία και έχουν άθροισμα ψηφίων

Τα άλλα ψηφία του εξαψήφιου αριθμού πρέπει να είναι ή .

Σωτήρη καλησπέρα.
Εφόσον δε λέει ότι χρησιμοποιούμε μόνο τα ψηφία , μήπως πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση
τα ψηφία που λείπουν να είναι τα ;

[Soteris]

Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία και έχουν άθροισμα ψηφίων

Τα άλλα ψηφία του εξαψήφιου αριθμού πρέπει να είναι ή .

Σωτήρη καλησπέρα.
Εφόσον δε λέει ότι χρησιμοποιούμε μόνο τα ψηφία , μήπως πρέπει να εξετάσουμε και την περίπτωση
τα ψηφία που λείπουν να είναι τα ;

Πολύ σωστά... Ευχαριστώ, έγινε η απαραίτητη τροποποίηση.

[Soteris]

Άσκηση 82

Σε ένα τοίχο υπάρχει μια τρύπα . Θα καλυφθεί με πλακάκια που έχουν χρώμα κόκκινο, άσπρο ή μπλε. Δύο πλακάκια του ιδίου χρώματος δεν μπορούν να έχουν κοινή πλευρά. Να βρείτε τον αριθμό όλων των πιθανών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να καλύψουμε την τρύπα.