Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#241

Άσκηση 83

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {x^{100}+x^{98}} { (x^2+x-1)^{100}} \,dx}$

#242

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Απρ 22, 2020 3:54 pm Άσκηση 83

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {x^{100}+x^{98}} { (x^2+x-1)^{100}} \,dx}$

Επαναφορά.

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BAGGP93 · #243

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 01, 2020 10:49 pm

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {x^{100}+x^{98}} { (x^2+x-1)^{100}} \,dx}$

Ολοκληρώνουμε σε κάποιο από τα $\left(-\infty,-\phi\right)\,\,,\left(-\phi,0\right)\,\,,\left(0,\phi-1\right)\,\,,\left(\phi-1,+\infty\right)\,\,,\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Είναι,

$\begin{aligned}\int \dfrac{x^{100}+x^{98}}{(x^2+x-1)^{100}}\,\mathrm{d}x&=\int \dfrac{x^{100}+x^{98}}{x^{100}\,\left(x-\dfrac{1}{x}+1\right)^{100}}\,\mathrm{d}x\\&=\int \dfrac{1+x^{-2}}{\left(x-\dfrac{1}{x}+1\right)^{100}}\,\mathrm{d}x\\&=\int \left(x-\dfrac{1}{x}+1\right)^{-100}\,\left(x-\dfrac{1}{x}+1\right)'\,\mathrm{d}x\\&=-\dfrac{1}{99}\,\left(x-\dfrac{1}{x}+1\right)^{-99}+c\,,c\in\mathbb{R} \end{aligned}$

Tolaso J Kos · #244

Άσκηση 84

Έστω $0<\alpha<\beta$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\sqrt[n]{x-\alpha}\left(1+\sqrt[n]{\beta-x}\right)}{\sqrt[n]{x-\alpha}+2\sqrt[n]{-x^2+(\alpha+\beta)x-ab}+\sqrt[n]{\beta-x}}\,\mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #245

Άσκηση 85

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \ln^2 \left ( x + \sqrt{1+x^2} \right ) \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #246

Άσκηση 86

Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και $\alpha>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1/\alpha}^{\alpha} f \left ( x + \frac{1}{x} \right ) \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #247

Άσκηση 87

Να δειχθεί ότι για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{\int_{1}^{3} \frac{\left ( x+3 \right )^{2\nu}}{\left ( x+3 \right )^{2\nu} + \left ( 7-x \right )^{2\nu}} \, \mathrm{d}x = 1}$

Tolaso J Kos · #248

Άσκηση 88

Να υπολογιστεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{x^2+2x+1 + \left ( 3x+1 \right )\sqrt{x+ \ln x}}{x \sqrt{x+\ln x} \left ( x+ \sqrt{x+\ln x} \right )} \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #249

Άσκηση 89

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x \ln^{(2)} x \ln^{(3)} x \cdots \ln^{(n)}x}}$
όπου $\ln^{(n)}$ είναι

συνθέσεις. Για παράδειγμα $\ln^{(2)} x = \ln ( \ln x )$ .

Tolaso J Kos · #250

Άσκηση 90

Έστω $\nu \in \mathbb{N}$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1}^{1} \left ( \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}} \right )^{2\nu+1}}$

#251

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:27 am Άσκηση 86

Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και $\alpha>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1/\alpha}^{\alpha} f \left ( x + \frac{1}{x} \right ) \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x}$

Τα τελευταία βγαίνουν ουσιαστικά με τον ίδιο τρόπο, αλλά ας δούμε την Άσκηση

.

H αλλαγή μεταβλητής x=1/t

και χρήση του $\ln \frac {1}{t}$ δίνει $\displaystyle{\mathcal{J} =-\mathcal{J} }$ . Άρα $\mathcal{J} =0$

Tolaso J Kos · #252

Άσκηση 91

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + \sin^{2\nu} x}{1+\sin^{2\nu}x + \cos^{2\nu}x} \, \mathrm{d}x}$ όπου $\nu \in \mathbb{N}$
$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{x^2 \cos x}{1+x+\sqrt{x^2+1}} \, \mathrm{d}x}$
$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2020^x +1} \cdot \frac{\sin^{2020}x}{\sin^{2020}x + \cos^{2020}x}\, \mathrm{d}x}$

#253

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:30 am Άσκηση 87

Να δειχθεί ότι για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{\int_{1}^{3} \frac{\left ( x+3 \right )^{2\nu}}{\left ( x+3 \right )^{2\nu} + \left ( 7-x \right )^{2\nu}} \, \mathrm{d}x = 1}$

Το $\nu \in \mathbb{N}$ και το $2\nu$ στην παράσταση είναι πλασματικά. Μπορούν π.χ. να αντικατασταθούν με a>0

.

H αλλαγή μεταβλητής x=4-y

δίνει

$\displaystyle{\displaystyle{I =\int_{1}^{3} \frac{\left ( x+3 \right )^{a}}{\left ( x+3 \right )^{a} + \left ( 7-x \right )^{a}} \, \mathrm{d}x = \int_{1}^{3} \frac{\left ( 7-y \right )^{a}}{\left ( y+3 \right )^{a} + \left ( 7-y \right )^{a}} \, \mathrm{d}y}}$

Άρα $\displaystyle{ \displaystyle{2I =\int_{1}^{3} \frac{\left ( x+3 \right )^{a}+ \left ( 7-x \right )^{a}}{\left ( x+3 \right )^{a} + \left ( 7-x \right )^{a}} \, \mathrm{d}x = 2 }$ άρα I=1

.

BAGGP93 · #254

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:24 am Άσκηση 85

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \ln^2 \left ( x + \sqrt{1+x^2} \right ) \, \mathrm{d}x}$

Για την $f(x)=x+\sqrt{1+x^2}\,,x\in\left[0,1\right]$ ισχύει $f^{\prime}(x)=\dfrac{f(x)}{\sqrt{1+x^2}}\,,x\in\left[0,1\right]$ . Με παραγοντικές έχω

$\begin{aligned}\int_{0}^{1}\ln^2\,f(x)\,\mathrm{d}x&=\left[x\,\ln^2(f(x))\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\dfrac{2\,x}{\sqrt{1+x^2}}\,\ln\,(f(x))\,\mathrm{d}x\\&=\ln^2\,(1+\sqrt{2})-\left[2\,\sqrt{1+x^2}\,\ln\,f(x)\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}2\,\sqrt{1+x^2}\,\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x\\&=\ln^2\,(1+\sqrt{2})-2\,\sqrt{2}\,\ln\,(1+\sqrt{2})+2 \end{aligned}$

#255

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:21 am Άσκηση 84

Έστω $0<\alpha<\beta$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\sqrt[n]{x-\alpha}\left(1+\sqrt[n]{\beta-x}\right)}{\sqrt[n]{x-\alpha}+2\sqrt[n]{-x^2+(\alpha+\beta)x-ab}+\sqrt[n]{\beta-x}}\,\mathrm{d}x}$

Εργαζόμαστε ακριβώς όπως στην λύση της Άσκησης

. Η αλλαγή μεταβλητής $x=\alpha + \beta -y$ θα δώσει (με $A= \sqrt[n]{x-\alpha}$ κλπ)

$\displaystyle{I = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{ A(1+B)}{A + 2AB+B}\,\mathrm{d}x}= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{ B(1+A)}{A + 2AB+B}\,\mathrm{d}y}}$ άρα

$\displaystyle{2I = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{ A+ 2AB +B}{A + 2AB+B}\,\mathrm{d}x}= \beta - \alpha}$ , και λοιπά.

Tolaso J Kos · #256

Άσκηση 92

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x}$
Edit: Αλλάχθηκε η αρίθμηση από 91 σε 92.

#257

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 8:20 pm Άσκηση 92

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x}$

Για $1+\sqrt [4]x=y$ , ισοδύναμα x=(y-1)^2

, έχουμε $\dfrac {dx}{dy}= 4(y-1)^2$ . Άρα

$\displaystyle{I= 4\int \dfrac {\sqrt [3] y}{(y-1)^2}\cdot (y-1)^3\,dy = 4\int \sqrt [3] y}(y-1)\, dy =4 \int y^{4/3}\,dy -4\int y^{1/3}\,dy =...=}$

$\displaystyle{= \dfrac {12}{7} (1+\sqrt [4] x)^{7/3} - 3 (1+\sqrt [4] x)^{4/3}+c}$

#258

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:36 am Άσκηση 89

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x \ln^{(2)} x \ln^{(3)} x \cdots \ln^{(n)}x}}$
όπου $\ln^{(n)}$ είναι συνθέσεις. Για παράδειγμα $\ln^{(2)} x = \ln ( \ln x )$ .

Ενδιαφέρον. Η απάντηση είναι μονολεκτική αφού η αντιπαράγωγος είναι οφθαλμοφανής. Έτσι

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x \ln^{(2)} x \ln^{(3)} x \cdots \ln^{(n)}x} = \ln ^{(n+1)} x +c}$

Αν θέλουμε αυστηρή απόδειξη για την αντιπαράγωγο μπορούμε να εργαστούμε επαγωγικά: Για το επαγωγικό βήμα είναι

$\displaystyle{ (\ln ^{(n+1)} x )'= (\ln (\ln ^{(n)} x) )'= \dfrac {1}{\ln ^{(n)} x} (\ln ^{(n)} x )'= \dfrac {1}{\ln ^{(n)} x} \dfrac {1}{{x \ln x \ln^{(2)} x \ln^{(3)} x \cdots \ln^{(n-1)}x}}$ , όπως θέλαμε.

#259

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:38 am Άσκηση 90

Έστω $\nu \in \mathbb{N}$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1}^{1} \left ( \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}} \right )^{2\nu+1}}$

Για να κλείνει: Η αλλαγή μεταβλητής x=-t

δίνει

$\displaystyle{ \mathcal{J} =\int_{-1}^{1} \left ( \frac{-t-1+\sqrt{t^2+1}}{-t+1+\sqrt{t^2+1}} \right )^{2\nu+1}} \,dt}$

Όμως εύκολα βλέπουμε πολλαπλασιάζοντας χιαστί ότι

$\displaystyle{ \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}}= - \frac{-x-1+\sqrt{x^2+1}}{-x+1+\sqrt{x^2+1}} }$ και άρα

$\displaystyle{ \mathcal{J} = -\mathcal{J} }$ , από όπου $\mathcal{J} =0$

#260

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 02, 2020 10:46 am Άσκηση 91

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + \sin^{2\nu} x}{1+\sin^{2\nu}x + \cos^{2\nu}x} \, \mathrm{d}x}$ όπου $\nu \in \mathbb{N}$

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{x^2 \cos x}{1+x+\sqrt{x^2+1}} \, \mathrm{d}x}$

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2020^x +1} \cdot \frac{\sin^{2020}x}{\sin^{2020}x + \cos^{2020}x}\, \mathrm{d}x}$

Για να κλείνει. Και οι τρεις βγαίνουν με τον ίδιο τρόπο, που τον είδαμε πολλές φορές (κάνουμε κάποια αλλαγή μεταβλητής και μετά προσθέτουμε τα δύο ολοκληρώματα)

α) H αλλαγή μεταβλητής $x= \frac {\pi}{2}-t$ θα δώσει $\displaystyle{2\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2}1\,dx = \frac {\pi }{2}$ και λοιπά.

β), γ) H αλλαγή μεταβλητής x= -t

θα δώσει $\displaystyle{2\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,dx = \pi$ και λοιπά.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση