Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#261

Άσκηση 93

Έστω $a, \,b,\, c,\,d \in \mathbb R$ . Να βρεθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x\, dx}$

Σχόλιο: Με κατά παράγοντες είναι απλό αλλά ίσως κάπως επίπονο. Την αναρτώ γιατί ζητώ απλή λύση, χωρίς κατά παράγοντες.

Tolaso J Kos · #262

Μιχάλη απαγορεύεται να δουλέψουμε και με τη tabular integration ; Αν ναι, τότε ενδιαφέρον.

#263

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Μάιος 07, 2020 10:32 pm Μιχάλη απαγορεύεται να δουλέψουμε και με τη tabular integration ; Αν ναι, τότε ενδιαφέρον.

Ασφαλώς και απαγορεύεται. H tabular integration είναι ακριβώς ολοκλήρωση κατά παράγοντες και μάλιστα "n-φορές". Απαγορεύεται δια ροπάλου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #264

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 07, 2020 5:00 pm Άσκηση 93

Έστω $a, \,b,\, c,\,d \in \mathbb R$ . Να βρεθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x\, dx}$

Σχόλιο: Με κατά παράγοντες είναι απλό αλλά ίσως κάπως επίπονο. Την αναρτώ γιατί ζητώ απλή λύση, χωρίς κατά παράγοντες.

Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε $\displaystyle g(x)=p(x)e^x$ με

$\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x$
Αρκεί να έχουμε
$\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)$

Η εξίσωση $\displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)$
έχει λύση την
p(x)=r(x)-r'(x)+r''(x)-........

αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.

#265

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 12:58 am Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε $\displaystyle g(x)=p(x)e^x$ με

$\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x$
Αρκεί να έχουμε
$\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)$

Η εξίσωση $\displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)$
έχει λύση την

αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.

Ναι, ουσιαστικά αυτό είχα κατά νου με την προσθήκη (*) ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
το

είναι τρίτου βαθμού. Οπότε η p'(x)+p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d

με

γίνεται

που λύνεται άμεσα ("τριγωνικό σύστημα")

(*) Ας την πούμε προσθήκη δεδομένου ότι η τρίτη γραμμή από το τέλος στην απάντηση του Σταύρου είναι άλλη, ισοδύναμη, μορφή του.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #266

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 10:40 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 12:58 am Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε $\displaystyle g(x)=p(x)e^x$ με

$\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x$
Αρκεί να έχουμε
$\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)$

Η εξίσωση $\displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)$
έχει λύση την

αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.
Ναι, ουσιαστικά αυτό είχα κατά νου με την προσθήκη (*) ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
το είναι τρίτου βαθμού. Οπότε η με
γίνεται

που λύνεται άμεσα ("τριγωνικό σύστημα")

(*) Ας την πούμε προσθήκη δεδομένου ότι η τρίτη γραμμή από το τέλος στην απάντηση του Σταύρου είναι άλλη, ισοδύναμη, μορφή του.

Μιχάλη γειά.

Δεν χρειάζεται να λύσουμε σύστημα.(αν και είναι από τα απλούστερα)
Από την

p'(x)+p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d

παίρνουμε

#267

Άσκηση 94

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int (7x^9+3x^4) \sqrt [5]{x^5+1} \,dx}$

Σχόλιο: Μάλλον πολύ απλό, αλλά ας είναι.

mick7 · #268

Μια σκέψη το ολοκλήρωμα γράφεται σαν

$\displaystyle \int x^4(7x^5+7-4)\sqrt[5]{x^5+1}dx=\int 7x^4(x^5+1)\sqrt[5]{x^5+1}dx-\int 4x^4\sqrt[5]{x^5+1}dx$

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle u=x^5+1$ τα πράγματα απλοποιούνται αρκετά.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 3:12 pm Άσκηση 94

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int (7x^9+3x^4) \sqrt [5]{x^5+1} \,dx}$

Σχόλιο: Μάλλον πολύ απλό, αλλά ας είναι.

#269

mick7 έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 4:01 pm Μια σκέψη το ολοκλήρωμα γράφεται σαν

$\displaystyle \int x^4(7x^5+7-4)\sqrt[5]{x^5+1}dx=\int 7x^4(x^5+1)\sqrt[5]{x^5+1}dx-\int 4x^4\sqrt[5]{x^5+1}dx$

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle u=x^5+1$ τα πράγματα απλοποιούνται αρκετά.

Σωστά, αλλά μπορούμε και λίγο ευκολότερα. Το παραπάνω για έναν άπειρο μαθητή φαίνεται λίγο αφύσικο. Ωστόσο μπορούμε να κάνουμε την διαδικασία κάπως πιο προσιτή.

Το αφήνω ακόμα ως ανοικτό ερώτημα, για κάπως απλούστερη λύση (τουλάχιστον στα μάτια του μαθητή).

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #270

Καλό μεσημέρι. Να υπενθυμίσω ότι έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 88.

BAGGP93 · #271

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 10, 2020 12:31 pm Καλό μεσημέρι. Να υπενθυμίσω ότι έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 88.

Είναι το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac{x^2+2\,x+1+(3\,x+1)\,\sqrt{x+\ln\,x}}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x}$

Ολοκληρώνουμε στο διάστημα $\left(\xi,+\infty\right)$ , όπου $\xi$ η μοναδική θετική ρίζα της εξίσωσης $x+\ln\,x=0\,,x>0$ .

Το κλειδί είναι η παράγωγος της $f(x)=x+\sqrt{x+\ln\,x}\,,x>\xi$ , που είναι $f^{\prime}(x)=\dfrac{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1}{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}}\,,x>\xi$ .

Έχουμε τώρα διαδοχικά,

$\begin{aligned}\int \dfrac{x^2+2\,x+1+(3\,x+1)\,\sqrt{x+\ln\,x}}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x&=\int \dfrac{(2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1)+(x+1)\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x\\&=\int \left(2\,\dfrac{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1}{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}}\,\dfrac{1}{x+\sqrt{x+\ln\,x}}+\dfrac{1+1/x}{\sqrt{x+\ln\,x}}\right)\,\mathrm{d}x\\&=2\,\ln\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})+2\,\sqrt{x+\ln\,x}+c\,,c\in\mathbb{R} \end{aligned}$

BAGGP93 · #272

Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #273

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Μάιος 10, 2020 8:01 pm Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}$

Αρχικά παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x} &= \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x \\ &= \tan x - \sec x + c \end{aligned}}$
οπότε κάνοντας παράγοντες έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{x}{1+\sin x} \, \mathrm{d}x &= x\left ( \tan x - \sec x \right ) - \int \left ( \tan x - \sec x \right )\, \mathrm{d}x \\ &= x \left ( \tan x -\sec x \right ) + \ln \cos x + \ln \left ( \tan x + \sec x \right ) + c \end{aligned}}$
(*) $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ .

Μάρκος Βασίλης · #274

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Μάιος 10, 2020 8:01 pm Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}$

Διαδοχικά έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int\frac{x}{1+\sin x}dx&=\int\frac{x(1-\sin x)}{\cos^2x}dx=\\ &=\int x(1-\sin x)(\tan x)'dx=\\ &=x(1-\sin x)\tan x-\int (1-\sin x-x\cos x)\tan xdx=\\ &=x(1-\sin x)\tan x-\int\tan x-\frac{\sin^2 x}{\cos x}-x\sin xdx=\\ &=x(1-\sin x)\tan x-\int\tan xdx+\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}dx+\int x\sin xdx=\\ &=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{1}{\cos x}-\cos xdx+\sin x-x\cos x=\\ &=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{\cos}{\cos^2x}dx-\int\cos xdx+\sin x-x\cos x=\\ &=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{\cos}{1-\sin^2x}dx+2\sin x-x\cos x=\\ &=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{1}{1-u^2}du+2\sin x-x\cos x=\\ &=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\ln\sqrt{\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|}+2\sin x-x\cos x+c. \end{aligned}}$

Edit: Με πρόλαβε ο Τόλης, αλλά το αφήνω λόγω κόπου.

Tolaso J Kos · #275

Άσκηση 96

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και μη μηδενική. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }$

Tolaso J Kos · #276

Άσκηση 97

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1-x}{1+x} \, \mathrm{d}x}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #277

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm Άσκηση 96

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ συνεχής συνάρτηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }$

Αφου είναι συνεχής και έχει πεδίο τιμών το $\mathbb{N}$ θα είναι σταθερή.
Αν είναι μηδέν δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα.
Διαφορετικά είναι
$\displaystyle{\mathcal{J}=3$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #278

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 4:49 pm Άσκηση 97

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1-x}{1+x} \, \mathrm{d}x}$

Κάνοντας αλλαγή με

στην θέση του

είναι

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1+x}{1-x} \, \mathrm{d}x}$

Ετσι προσθέτοντας έχουμε

$\displaystyle 2{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln 1 \, \mathrm{d}x}=0$

Tolaso J Kos · #279

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 4:53 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm Άσκηση 96

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ συνεχής συνάρτηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }$
Αφου είναι συνεχής και έχει πεδίο τιμών το $\mathbb{N}$ θα είναι σταθερή.
Αν είναι μηδέν δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα.
Διαφορετικά είναι
$\displaystyle{\mathcal{J}=3$ .

Φυσικά Σταύρο πριν προλάβεις να δημοσιεύσεις την απάντησή σου , είχα αλλάξει την εκφώνηση. Οπότε όλα πλέον κλείνουν.

#280

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm Άσκηση 96

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και μη μηδενική. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }$

Ας την δούμε τώρα με την σωστή εκφώνηση (με $\mathbb{R}$ αντί $\mathbb{N}$ ). Τέτοιες έχουμε δει πολλές σε αυτό το θρεντ.

Η αλλαγή μεταβλητής x=14-t

δίνει

$\displaystyle{J= \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( (x-14)^2 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( (14-t)^2 \right )}{f\left ( t^2 \right ) + f \left ( (14-t)^2 \right )} \, \mathrm{d} t }$

Άρα $\displaystyle{2J = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )+ f((14-x)^2)}{f\left ( (x-14)^2 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x =6}$ . Άρα J=3

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση