Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Τσιαλας Νικολαος · #2621

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

$\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}$

Μ'αρέσει πολύ!!! Πολύ ωραία άσκηση για τα παιδιά!!! Ακούνε Ορέστης, Νικόλας, jimnt, Χάρης και Διονύσης?

JimNt. · #2622

Είναι ιδιαίτερα απλή βάζω μια υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #2623

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

$\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}$

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη!

Είναι $(y-1)(z-1) \geqslant 0 \Leftrightarrow yz+1 \geqslant y+z \Leftrightarrow \dfrac{y+z}{yz+1} \leqslant 1$ ,

άρα $x > \dfrac{59}{2}$ .

Όμως, $x < \dfrac{61}{2}$ , άρα $\dfrac{59}{2}<x<\dfrac{61}{2}$ , οπότε x=30

.

Εύκολα $\dfrac{y+z}{yz+1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y=2+\dfrac{3}{z-2}$ .

Αφού $y,z \in \mathbb{N}$ , $z-2 \mid 3$ , οπότε z=3, z=5

.

Τελικά, $\boxed{(x,y,z)=(30,5,3), (30,3,5)}$ .

Τσιαλας Νικολαος · #2624

Μπράβο και στους 2 σας!!!

#2625

Ένα μεγάλο ΜΠΡΑΒΟ και από εμένα από τους ταλαντούχους μικρούς μαθητές!!!

Και το ωραίο είναι ότι την θεώρησαν και εύκολη!!!

#2626

ΑΣΚΗΣΗ 1364: Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+ ... +\sqrt{1+\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}} < 2017}$

JimNt. · #2627

Η εκφώνηση νομίζω είναι λάθος. Κάθε ρίζα είναι μεγαλύτερη της μονάδας...

#2628

JimNt. έγραψε:Η εκφώνηση νομίζω είναι λάθος. Κάθε ρίζα είναι μεγαλύτερη της μονάδας...

ΜΠΡΑΒΟ για την παρατήρηση. Διόρθωσα το τυπογραφικό λάθος.

Ορέστης Λιγνός · #2629

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1364: Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+ ... +\sqrt{1+\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}} < 2017}$

Καλησπέρα!

Ο κάθε όρος είναι της μορφής $\displasytyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}= \ldots = \dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{(n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ .

Με εφαρμογή για $n=1, 2, \ldots , 2016$ και πρόσθεση παίρνουμε $LHS=2016+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2017}<2017$ ο.ε.δ.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2630

Άσκηση 1365: Αν $x \neq 1$ , $y \neq 1$ , $x \neq y$ και $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ να δείξετε ότι $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z$

Ορέστης Λιγνός · #2631

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν $x \neq 1$ , $y \neq 1$ , $x \neq y$ και $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ να δείξετε ότι $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z$

Από την σχέση $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ παίρνουμε xy+yz+zx=x+y+z

, οπότε

$\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=$

$\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z$ ο.ε.δ.

Τσιαλας Νικολαος · #2632

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν $x \neq 1$ , $y \neq 1$ , $x \neq y$ και $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ να δείξετε ότι $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z$
Από την σχέση $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ παίρνουμε , οπότε

$\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=$

$\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z$ ο.ε.δ.

Πολύ ωραίος Ορέστη!! Ύπάρχει και πιο σύντομη λύση και μάλιστα πολύ ωραία νομίζω!! Για να την κοιτάξουμε λίγο ακόμη!!

Ορέστης Λιγνός · #2633

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν $x \neq 1$ , $y \neq 1$ , $x \neq y$ και $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ να δείξετε ότι $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z$
Από την σχέση $\dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}$ παίρνουμε , οπότε

$\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=$

$\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z$ ο.ε.δ.
Πολύ ωραίος Ορέστη!! Ύπάρχει και πιο σύντομη λύση και μάλιστα πολύ ωραία νομίζω!! Για να την κοιτάξουμε λίγο ακόμη!!

Καλημέρα κύριε Νίκο.

$\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=\dfrac{(yz-x^2)-(zx-y^2)}{(1-x)-(1-y)}=\dfrac{(yz-zx)+(y^2-x^2)}{y-x}=$

$\displaystyle \dfrac{(x+y+z)(y-x)}{y-x}=x+y+z$

Τσιαλας Νικολαος · #2634

Ενα μεγάλο μπράβο Ορέστη!! Νομίζω είναι αρκετά πιο κομψή!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2635

Άσκηση 1366

Ας υποθέσουμε ότι για τη χρήση

ελαστικών ενός καινούριου αυτοκινήτου (

στους τροχούς και

για ρεζέρβα)

πρέπει κανείς να τα χρησιμοποιεί ομοιόμορφα για κάθε 30000km

που διανύει συνολικά το αυτοκίνητο. Για πόσα

πρέπει να

χρησιμοποιηθεί συνολικά το κάθε λάστιχο; Πώς μπορεί να το πετύχει αυτό ο οδηγός;

Αφιερωμένη στον Ορέστη!

Ορέστης Λιγνός · #2636

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1366

Ας υποθέσουμε ότι για τη χρήση ελαστικών ενός καινούριου αυτοκινήτου ( στους τροχούς και για ρεζέρβα)

πρέπει κανείς να τα χρησιμοποιεί ομοιόμορφα για κάθε που διανύει συνολικά το αυτοκίνητο. Για πόσα πρέπει να

χρησιμοποιηθεί συνολικά το κάθε λάστιχο; Πώς μπορεί να το πετύχει αυτό ο οδηγός;

Αφιερωμένη στον Ορέστη!

: Lastixa.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 11967 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2637

Μπράβο Ορέστη!!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2638

Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς A,B

:

$A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}$

και

$B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}$

#2639

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς :

$A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}$

και

$B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}$

Για το

έχουμε

περιττές δυνάμεις. Οπότε A < 0

. Για το

έχουμε

περιττές δυνάμεις. Άρα B > 0 > A

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2640

Demetres έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς :

$A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}$

και

$B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}$
Για το έχουμε περιττές δυνάμεις. Οπότε . Για το έχουμε περιττές δυνάμεις. Άρα .

Αυτή τη λύση είχα !

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση