mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 8:59 am**

Για να μην δημιουργηθούν λανθασμένες εντυπώσεις στους μαθητες που διαγωνίζονται για τους οποίους οι θεωρητικες μαθηματικες γνώσεις που "νόμιμα" μπορουν να χρησιμοποιήσουν προέρχονται μονο απο το σχ. βιβλίο.Η χρήση του κανόνα
de L' Hospital στην συγκεκριμενη περίπτωση απαιτεί γνώσεις που ο μαθητής δεν διαθέτει και η χρήση τους πρέπει να συνοδεύεται με αποδειξη (που είναι εξω απο την υλη τους ,οπότε αδύνατο με τα δεδομένα τους να γίνει ).Ετσι η χρήση του κανόνα de L' Hospital χωρίς το δεδομένο της συνέχειας της

δεν είναι σωστή απάντηση .
Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 9:11 am**

Δείτε και την πρόταση 29 , σελίδα 20 , στο αρχείο που επισυνάπτω και που ο Parmenides μπορεί να βάλει στη σωστή θέση.

Το αρχείο είναι λίγο πιο μεγάλο(έχει και ασκήσεις στην αρχική στο τέλος), αλλά δεν το σήκωνε η σελίδα(μεγαλύτερο από 500 Κβ).Ίσως βρω τρόπο να βάλω και αλλού για να είναι ολόκληρο.
Πρόκειται για βελτίωση του άρθρου που έχει ο Νίκος Μαυρογιάννης στον ΕΚθέτη.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 10:08 am**

Νομίζω ότι κανείς δεν έχει πρόβλημα να πέφτουν και δύσκολα θέματα που να αναδεικνύουν το μαθητή που σκέφτεται και καταλαβαίνει αυτό που διαβάζει σε σχέση με αυτόν που «παπαγαλίζει» συνταγές.
Αυτό όμως είναι διαφορετικό από το να πέφτουν ασκήσεις με tricks που αν δεν τα ξέρεις ήδη δεν μπορείς να τα βγάλεις την ώρα της εξέτασης.

Η απορία μου λοιπόν είναι η εξής: το σχολικό βιβλίο έχει ένα σωρό ασκήσεις δύσκολες που ελέγχουν πραγματικά τη μαθηματική κατανόηση και δεν «καλουπώνονται» σε συνταγές. Μιλάω για τα προβλήματα που υπάρχουν για παράδειγμα στη σελίδα 271. Ακριβώς επειδή δε καλουπώνονται φαίνεται πως δεν εξετάζονται.
Για ποιο λόγο η επιτροπή αντί να βάλει ένα τέτοιου τύπου θέμα επιλέγει να βάλει κάτι που απαιτεί τεχνική που δεν περιγράφεται στο σχολικό βιβλίο; Είναι υποχρεωμένος ο μαθητής που αγαπάει τα μαθηματικά και θέλει δουλέψει και να μάθει, να προπονείται μόνος του 10 ώρες τη μέρα σε θέματα διαγωνισμών όπως έκανε ο Αλέξανδρος; (και μπράβο του μέσα από την καρδιά μου) Εξαντλήθηκαν τα εντός ύλης θέματα και αναγκαστήκαμε να πάμε σε «ειδικές τεχνικές» (όπως τις λέει η μαθηματική εταιρεία) που δεν συμπεριλαμβάνονται στο σχολικό βιβλίο για να ξεχωρίσει ο καλός;

Στα παιδιά των διαγωνισμών αξίζουν συγχαρητήρια για την προσπάθεια και τις διακρίσεις τους. Αλλά ας μην ξεχνάνε και αυτά ότι ασχολήθηκαν με τους τύπους των ασκήσεων και των τεχνικών που εξετάζονται στους διαγωνισμούς. Δε νομίζω να πήραν σβάρνα πχ τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και να διάβαζαν ότι βρέθηκε μπροστά τους διότι δεν έχει λογική κάτι τέτοιο. Απλά έτυχε και το Β3 ήταν κλασσικό για κάποιον που είχε ασχοληθεί με διαγωνισμούς.
Δεν μπορείς λοιπόν να ζητάς από το μαθητή να διαβάζει κάτι έξω από το βιβλίο του, ούτε από τον καθηγητή να διδάσκει κάτι τέτοιο όπως ακριβώς και το παιδί των διαγωνισμών δεν διάβασε κάτι έξω από την ύλη των διαγωνισμών. Τα μαθηματικά είναι χάος. Αν το παιδί βγει έξω από το βιβλίο, προς ποια κατεύθυνση θα πρέπει να πάει; Να πάει μήπως προς τις ανισότητες ή να πάει προς το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου που είναι εφαρμογή παραγώγων; Τα παιδιά των διαγωνισμών (με εξαίρεση των Αλέξανδρο που πάει για φυσικός) ασχολήθηκαν και με το 2ο πρόβλημα που είναι ωραίο, ή μόνο με το 1ο που είναι στην ύλη των διαγωνισμών;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 10:35 am**

Όπως παρατήρησε συνάδελφος σε άλλο forum, το Β3 ήταν απλή εφαρμογή του θεωρήματος του Rouche
http://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9's_theorem

Δεν πιστεύω να μην το κάνατε στους μαθητές σας;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 10:39 am**

Εγώ κάτι άλλο δεν καταλαβαίνω. Όταν πέφτουν εύκολα θέματα οι άριστοι εξομοιώνονται με τους μέτριους. Όταν πέφτουν δύσκολα οι μέτριοι εξομοιώνονται με τους κακούς. Ας γίνονται ξεχωριστές εξετάσεις για το πολυτεχνείο, ξεχωριστές για τις φυσικομαθηματικές και ξεχωριστές για τα ΤΕΙ όπου τα θέματα να είναι ανάλογα της υποδομής που πρέπει να έχει κανείς για να παρακολουθήσει τα μαθήματα. Όσο για το Β3, δεν νομίζω ότι ήταν κάτι το τρομερό, απλώς δεν είναι το στυλ των θεμάτων που έχει συνηθήσει ο κόσμος στις εξετάσεις. Αξιολογεί γνώσεις άλγεβρας από πρώτη και δευτέρα λυκείου. Όποιος μπει σε ΑΕΙ με βασικό μάθημα τα μαθηματικά (μαθηματικό, ΣΕΜΦΕ, ηλεκτρολόγοι κλπ) αυτά θα τα βρει μπροστά του. Για μένα το κατακριτέο είναι ότι επιτροπές, όταν θέλουν να βάλουν κάτι που να ξεφεύγει, στηρίζονται στο στοιχείο του αιφνιδιασμού. Ας επεκταθεί η ύλη ώστε να περιλαμβάνει αυτή όλων των τάξεων του λυκείου και να γίνονται διαφορετικές εξετάσεις για κάθε ΑΕΙ, ώστε να πάψουν να υπάρχουν αυτά τα επίπεδα τυποποίησης και να πηγαίνει ο καθένας στη σχολή που του ταιριάζει και να μην παραπονιέται για τα θέματα που είναι εκτός πνεύματος εξετάσεων και τον αδίκησαν. Τι είναι τέλος πάντων το πνεύμα των εξετάσεων;! Κάτι σαν το πνεύμα των περασμένων Χριστουγέννων

;! Όσοι πάνε σε ΦΜΣ και πολυτεχνεία πρέπει να έχουν εξαιρετικό μαθηματικό υπόβαθρο. Για τους υπόλοιπους ας υπάρχουν άλλοι κύκλοι, όπως ήταν τη δεκαετία του 70' (τεχνικός κύκλος, πολυτεχνικός κύκλος κλπ) ώστε να εξετάζονται σε κάθε σχολή οι απαραίτητες δεξιότητες.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 10:46 am**

siobaras έγραψε:Όπως παρατήρησε συνάδελφος σε άλλο forum, το Β3 ήταν απλή εφαρμογή του θεωρήματος του Rouche
http://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9's_theorem

Δεν πιστεύω να μην το κάνατε στους μαθητές σας;

Ας ηρεμήσουμε λίγο. Η επίκληση στο θεώρημα Rouche είναι άκυρη.

Πάντως, πέρα από τους μαθητές, θα έπρεπε να προβληματίσει και το ότι πάρα πολλοί καθηγητές ήρθαν σε δύσκολη θέση με το Β3.
Δεν είναι λίγο παράξενο να μπορεί κανείς να οσμίζεται από μακριά τη συνάρτηση, στην οποία θα εφαρμόσει το παλιοθεώρημα Rolle και στη συνέχεια 4 Θ.Μ.Τ., αλλά να χτυπιέται με το Β3;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 11:04 am**

maiksouk έγραψε:Άλιμος, 28/5/2013
ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
των μαθηματικών-βαθμολογητών του 37ου Βαθμολογικού Κέντρου
Που το πάει το Υπουργείο Παιδείας;
Μετά και τα σημερινά θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης ολοκληρώθηκε η ακύρωση του δημόσιου
σχολείου.
Για τρίτη συνεχόμενη φορά φέτος τα θέματα των γενικών εξετάσεων ακυρώνουν την εκπαιδευτική
διαδικασία του Λυκείου.
Μετά τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας (που δημιούργησαν και σοβαρά προβλήματα ανισότητας
ανάμεσα σε υποψηφίους διαφορετικών κατευθύνσεων και επιλογών) και τη Φυσική Κατεύθυνσης, τα
θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης δίνουν τη χαριστική βολή στο θεσμό των γενικών εξετάσεων,
ενώ ταυτόχρονα υποβαθμίζουν και το απολυτήριο των μαθητών.
Το θέμα Β3, και όχι μόνο, δεν είναι μόνο έξω από οτιδήποτε διδάσκεται στο σχολείο αλλά το θέμα
αυτό καταστρατηγεί το νομικό πλαίσιο για το επίπεδο του 2ου θέματος και έχει σαφέστατα
τιμωρητικές και διαστροφικές διαστάσεις.
Επειδή τα θέματα αυτά δε σέβονται τον κόπο των μαθητών και τις θυσίες των οικογενειών,
ακυρώνουν τη δουλειά του εκπαιδευτικού στο δημόσιο σχολείο και ιδιωτικοποιούν παραπέρα τη
δημόσια εκπαίδευση, το Υπουργείο Παιδείας έχει τεράστιες ευθύνες.
Καλούμε την ΟΛΜΕ και τις επιστημονικές ενώσεις, τους σχολικούς συμβούλους και όλους τους
συναδέλφους που σέβονται τη δουλειά τους, να απαιτήσουν την αλλαγή του Λυκείου στην
κατεύθυνση της ουσιαστικής, κριτικής και σε βάθος γνώσης γενικής Παιδείας για όλα τα παιδιά.
Οι επιστρατευμένοι βαθμολογητές επιφυλάσσονται για τη συνέχιση της βαθμολόγησης κάτω
από τις παρούσες συνθήκες.
Το Υπουργείο Παιδείας και η ΚΕΕ να αναλάβουν άμεσα τις ευθύνες τους.
ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ
Αργυράκης Δημήτρης – συντονιστής,
μέλος επιτροπής του ΒΚ
Κουτσανδρέας Γεράσιμος – συντονιστής,
μέλος επιτροπής του ΒΚ
Αγαθοκλής Βασίλειος
Βασιλειάδης Ιωάννης
Βγενής Παναγιώτης
Βερύκιος Παναγιώτης
Γιανναδάκης Μύρων
Γιώτης Ιωάννης
Γκουντουβάς Σωτήρης
Γρίβας Γεώργιος
Δεμερτζής Στάθης
Δέτσιος Παντελής
Δόγκας Δημήτρης
Κακούνης Γιώργος
Καράμπαλης Χρήστος
Κονδυλιάς Σπύρος
Κονίδας Γιώργος
Κωστόπουλος Αντώνης
Μεσσής Στέργιος
Παπαγεωργίου Γιώργος
Παπαδόπουλος Γιώργος
Ρούσαλης Ηλίας
Σάββας Σπύρος
Σαράντης Βασίλειος
Σιδέρης Απόστολος
Τζιώτζιος Αθανάσιος
Τσιλιγιάννης Χρήστος
Τσολακνίδης Αιμίλιος
Χαλκιάς Αχιλλέας
Τζαφάς Βασίλης,
Πρόεδρος ΕΛΜΕ Νότιας Αθήνας

Συγχαρητήρια για το θάρρος της γνώμης σας. Σαν μέλος της Δ.Ε. του παραρτήματος ΕΜΕ Δωδεκανήσου επισημαίνω ότι έχουμε ετοιμάσει μια τοποθέτηση στο ζήτημα αυτό και θα την ανακοινώσουμε στον τοπικό τύπο.Προσυπογράφω και σαν μαθηματικός και σαν πατέρας υποψήφιας ...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 11:13 am**

maiksouk έγραψε:Άλιμος, 28/5/2013
ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
των μαθηματικών-βαθμολογητών του 37ου Βαθμολογικού Κέντρου
Που το πάει το Υπουργείο Παιδείας;
Μετά και τα σημερινά θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης ολοκληρώθηκε η ακύρωση του δημόσιου
σχολείου.
Για τρίτη συνεχόμενη φορά φέτος τα θέματα των γενικών εξετάσεων ακυρώνουν την εκπαιδευτική
διαδικασία του Λυκείου.
Μετά τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας (που δημιούργησαν και σοβαρά προβλήματα ανισότητας
ανάμεσα σε υποψηφίους διαφορετικών κατευθύνσεων και επιλογών) και τη Φυσική Κατεύθυνσης, τα
θέματα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης δίνουν τη χαριστική βολή στο θεσμό των γενικών εξετάσεων,
ενώ ταυτόχρονα υποβαθμίζουν και το απολυτήριο των μαθητών.
Το θέμα Β3, και όχι μόνο, δεν είναι μόνο έξω από οτιδήποτε διδάσκεται στο σχολείο αλλά το θέμα
αυτό καταστρατηγεί το νομικό πλαίσιο για το επίπεδο του 2ου θέματος και έχει σαφέστατα
τιμωρητικές και διαστροφικές διαστάσεις.
Επειδή τα θέματα αυτά δε σέβονται τον κόπο των μαθητών και τις θυσίες των οικογενειών,
ακυρώνουν τη δουλειά του εκπαιδευτικού στο δημόσιο σχολείο και ιδιωτικοποιούν παραπέρα τη
δημόσια εκπαίδευση, το Υπουργείο Παιδείας έχει τεράστιες ευθύνες.
Καλούμε την ΟΛΜΕ και τις επιστημονικές ενώσεις, τους σχολικούς συμβούλους και όλους τους
συναδέλφους που σέβονται τη δουλειά τους, να απαιτήσουν την αλλαγή του Λυκείου στην
κατεύθυνση της ουσιαστικής, κριτικής και σε βάθος γνώσης γενικής Παιδείας για όλα τα παιδιά.
Οι επιστρατευμένοι βαθμολογητές επιφυλάσσονται για τη συνέχιση της βαθμολόγησης κάτω
από τις παρούσες συνθήκες.
Το Υπουργείο Παιδείας και η ΚΕΕ να αναλάβουν άμεσα τις ευθύνες τους.
ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ
Αργυράκης Δημήτρης – συντονιστής,
μέλος επιτροπής του ΒΚ
Κουτσανδρέας Γεράσιμος – συντονιστής,
μέλος επιτροπής του ΒΚ
Αγαθοκλής Βασίλειος
Βασιλειάδης Ιωάννης
Βγενής Παναγιώτης
Βερύκιος Παναγιώτης
Γιανναδάκης Μύρων
Γιώτης Ιωάννης
Γκουντουβάς Σωτήρης
Γρίβας Γεώργιος
Δεμερτζής Στάθης
Δέτσιος Παντελής
Δόγκας Δημήτρης
Κακούνης Γιώργος
Καράμπαλης Χρήστος
Κονδυλιάς Σπύρος
Κονίδας Γιώργος
Κωστόπουλος Αντώνης
Μεσσής Στέργιος
Παπαγεωργίου Γιώργος
Παπαδόπουλος Γιώργος
Ρούσαλης Ηλίας
Σάββας Σπύρος
Σαράντης Βασίλειος
Σιδέρης Απόστολος
Τζιώτζιος Αθανάσιος
Τσιλιγιάννης Χρήστος
Τσολακνίδης Αιμίλιος
Χαλκιάς Αχιλλέας
Τζαφάς Βασίλης,
Πρόεδρος ΕΛΜΕ Νότιας Αθήνας

Συγχαρητήρια για το θάρρος ,προσυπογράφω και εγώ με την διπλή μου ιδιότητα καθηγητής –γονιός υποψηφίου.
Επιτέλους σαυτό το τόπο υπάρχουν και ελεύθερες φωνές.
Το δράμα που έζησα σας το απεύχομαι
Παναγιωτόπουλος Σπύρος ,Λαμία

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 11:19 am**

Άσχετο, το βιβλίο του Ντζιώρα πόσες φορές έχει υποστεί αναμόρφωση; Έχω δύο εκδόσεις του μία του 78' που έχει λογική, αξιώματα, ακολουθίες, προόδους, σειρές, πολυώνυμα, πιθανότητες, συνδυαστική και αναλυτική γεωμετρία (αυτά τα ολίγα, πότε προλάβαιναν να τα κάνουν;!), και μία του 80 που έχει μόνο ακολουθίες, προόδους και λογαρίθμους. Καμία από τις δύο δεν έχει την άσκηση αυτή. Ένας φίλος μου έχει μία άλλη που έχει όσα και αυτή του 80', μαζί με σειρές και πολυώνυμα. Όμως ούτε εκείνου την έχει την άσκηση. Έχω βρει και στο internet μία του 76', που έχει περίπου τα ίδια με του 80', αλλά και ένα κεφάλαιο για απροσδιόριστη ανάλυση, η οποία το έχει το B3. Ξέρω πώς αυτό παρεκκλίνει από το θέμα, θα μπορούσε όμως κάποιος να μου πει συνοπτικά ποια από όλες τις εκδόσεις είναι η πληρέστερη και τι περιεχόμενα έχει;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 11:22 am**

SYNEXEIA MONOTONHS SYNARTHSHS.pdf: (381.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 256 φορές

Σχετικά με το αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο D.L.H στο ερώτημα Δ1 , επισυνάπτω απόδειξη πρότασης από το σύγγραμμα ΑΝΑΛΥΣΗ - ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ του κ. Μιχάλη Παπαδημητράκη (Μαθηματικό τμήμα Πανεπιστημίου Κρήτης) το οποίο κυκλοφορεί ελεύθερα στο διαδίκτυο. Προσωπική μου άποψη είναι πως δεν μπορεί να θεωρηθεί σωστή η λύση με D.L.H διότι δεν μπορεί να δικαιολογηθεί σε καμία περίπτωση από το μαθητή η συνέχεια της f' στο σημείο 1.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 12:05 pm**

ArgirisM έγραψε:Άσχετο, το βιβλίο του Ντζιώρα πόσες φορές έχει υποστεί αναμόρφωση; Έχω δύο εκδόσεις του μία του 78' που έχει λογική, αξιώματα, ακολουθίες, προόδους, σειρές, πολυώνυμα, πιθανότητες, συνδυαστική και αναλυτική γεωμετρία (αυτά τα ολίγα, πότε προλάβαιναν να τα κάνουν;!), και μία του 80 που έχει μόνο ακολουθίες, προόδους και λογαρίθμους. Καμία από τις δύο δεν έχει την άσκηση αυτή. Ένας φίλος μου έχει μία άλλη που έχει όσα και αυτή του 80', μαζί με σειρές και πολυώνυμα. Όμως ούτε εκείνου την έχει την άσκηση. Έχω βρει και στο internet μία του 76', που έχει περίπου τα ίδια με του 80', αλλά και ένα κεφάλαιο για απροσδιόριστη ανάλυση, η οποία το έχει το B3. Ξέρω πώς αυτό παρεκκλίνει από το θέμα, θα μπορούσε όμως κάποιος να μου πει συνοπτικά ποια από όλες τις εκδόσεις είναι η πληρέστερη και τι περιεχόμενα έχει;

Υπάρχει στο βιβλίο έκδοσης 1972 ( ναι 1972!) καφέ χρώματος και σίγουρα λυμένη στο βιβλίο λύσεων έκδοσης 1978 από Γ.Κορφιάτης σελίδα 134 αριθμός 173

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 1:08 pm**

matha έγραψε:
siobaras έγραψε:Όπως παρατήρησε συνάδελφος σε άλλο forum, το Β3 ήταν απλή εφαρμογή του θεωρήματος του Rouche
http://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9's_theorem

Δεν πιστεύω να μην το κάνατε στους μαθητές σας;
Ας ηρεμήσουμε λίγο. Η επίκληση στο θεώρημα Rouche είναι άκυρη.

Πάντως, πέρα από τους μαθητές, θα έπρεπε να προβληματίσει και το ότι πάρα πολλοί καθηγητές ήρθαν σε δύσκολη θέση με το Β3.
Δεν είναι λίγο παράξενο να μπορεί κανείς να οσμίζεται από μακριά τη συνάρτηση, στην οποία θα εφαρμόσει το παλιοθεώρημα Rolle και στη συνέχεια 4 Θ.Μ.Τ., αλλά να χτυπιέται με το Β3;

Μάλλον δεν κατάλαβες το χιουμοριστικό ύφος. Ίσως δεν το έκανα εγώ εμφανές. Άλλη φορά θα βάζω [χιούμορ]...[/χιούμορ].

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 3:15 pm**

nikoszan έγραψε:Για να μην δημιουργηθούν λανθασμένες εντυπώσεις στους μαθητές που διαγωνίζονται για τους οποίους οι θεωρητικές μαθηματικές γνώσεις που "νόμιμα" μπορούν να χρησιμοποιήσουν προέρχονται μόνο από το σχ. βιβλίο.Η χρήση του κανόνα
de L' Hospital στην συγκεκριμένη περίπτωση απαιτεί γνώσεις που ο μαθητής δεν διαθέτει και η χρήση τους πρέπει να συνοδεύεται με απόδειξη (που είναι έξω από την ύλη τους ,οπότε αδύνατο με τα δεδομένα τους να γίνει ).Έτσι η χρήση του κανόνα de L' Hospital χωρίς το δεδομένο της συνέχειας της δεν είναι σωστή απάντηση .
Ν.Ζ.

ευχαριστούμε για την διευκρίνηση

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 5:51 pm**

parmenides51 έγραψε:
nikoszan έγραψε:Για να μην δημιουργηθούν λανθασμένες εντυπώσεις στους μαθητές που διαγωνίζονται για τους οποίους οι θεωρητικές μαθηματικές γνώσεις που "νόμιμα" μπορούν να χρησιμοποιήσουν προέρχονται μόνο από το σχ. βιβλίο.Η χρήση του κανόνα
de L' Hospital στην συγκεκριμένη περίπτωση απαιτεί γνώσεις που ο μαθητής δεν διαθέτει και η χρήση τους πρέπει να συνοδεύεται με απόδειξη (που είναι έξω από την ύλη τους ,οπότε αδύνατο με τα δεδομένα τους να γίνει ).Έτσι η χρήση του κανόνα de L' Hospital χωρίς το δεδομένο της συνέχειας της δεν είναι σωστή απάντηση .
Ν.Ζ.
ευχαριστούμε για την διευκρίνηση

Περιγράφω μια απάντηση.
f παραγωγίσιμη στο π.ο. άρα και στο 1 (δεξιά-αριστερά). Παίρνω τον ορισμό του παράγωγου αριθμού $f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{[f(x)-f(1)]'}{[x-1]'}=\lim_{x\rightarrow 1}f'(x)$ (είναι παραγωγίσιμη κοντά στο 1), επομένως f'(1)= $\lim_{x\rightarrow 1}f'(x)$ . Γενικά ισχύει ότι αν f συνεχής στο (α, β) και παραγωγίσιμη στο (α, ξ)U(ξ, β) με $\lim_{x\rightarrow ξ}f'(x)=k \in R$ (πραγματικός) τότε f' συνεχής στο ξ (και f παραγωγίσιμη στο ξ). Υπάρχει και σχετική επισήμανση (απο αξιόλογους σχολικούς συμβούλους) με αφορμή την άσκηση 10 σελ.292 η οποία δεν έχει συνεχή παράγωγο εξ αιτίας του ότι δεν υπάρχει το όριο της f΄ στο 0.
Στη προκειμένη περίπτωση όμως ισχύουν οι προϋποθέσεις για D.L.H. και η δικαιολόγηση δεν ήταν απρόσιτη για τους μαθητές. Αρκεί μέσα στο γενικό πανικό να πήγαινε το μυαλό τους στη συνέχεια. Για όσους το κάνανε η απάντησή τους νομίζω είναι πλήρης και δεν είναι αδύνατο για τα δεδομένα τους. Γνωρίζω μαθητές (λίγους) που το κάνανε.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 6:20 pm**

Doloros έγραψε: Υπάρχει στο βιβλίο έκδοσης 1972 ( ναι 1972!) καφέ χρώματος και σίγουρα λυμένη στο βιβλίο λύσεων έκδοσης 1978 από Γ.Κορφιάτης σελίδα 134 αριθμός 173

Φιλικά Νίκος

Ναι!
Και συναντήθηκα μαζί του το Πάσχα! Καφέ και βρήκα και το "λυσάρι" του με έξτρα ασκήσεις...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 6:52 pm**

Το πρόβλημα:
«Αν

είναι ρίζα του πολυωνύμου $p\left( x \right) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_0 \quad \left( * \right)$ , τότε ισχύει $\left| v \right| < 1 + \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left| {a_i } \right|}$ » είναι κλασικό θέμα που υπάρχει σχεδόν σε όλα τα βιβλία επί των πολυωνύμων (προφανώς και σε μία από τις καλύτερες όλων των εποχών Άλγεβρα του εν ζωή Τεράστιου Η. Ντζιώρα στην οδό Λόντου στην Αθήνα περίπου εφαπτομενικά στο βιβλιοπωλείο Αίθρα του Ε. Σπανδάγου) αλλά και σε πολλά τεύχη των περιοδικών της Ε.Μ.Ε.
Η λύση του ξεκινά ως εξής: Αν $\left| v \right| \leqslant 1,$ η (*) ισχύει, αν
$\left| v \right| > 1$ τότε έχουμε $\left| v \right|^n \leqslant \left| {a_{n - 1} } \right|\left| v \right|^{n - 1} + ... + \left| {a_0 } \right| \Rightarrow ...\left| v \right|^n < \left| {a_{n - 1} } \right|\left| v \right|^{n - 1} + ... + \left| {a_0 } \right|\left| v \right|^{n - 1} ...$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 7:06 pm**

Μια ερώτηση για το Δ3 : Με βάση τη λύση που αναφέρεται και στις λύσεις του mathematica "Δ3 -4η λύση ( για την εξίσωση) "
μια και αποδεικνύεται ότι $h((1,\alpha ]) =[h(\alpha )=0,\lim_{x\rightarrow 1^{-}}h(x))$ επειδή η

γνησίως φθίνουσα δηλ το $\alpha$ είναι ρίζα από αριστερά
και $h([\alpha,+\infty ]) =[h(\alpha )=0,\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x))$ επειδή η

γνησίως αύξουσα δηλ το $\alpha$ είναι ρίζα από δεξιά.

Άρα το $\alpha$ είναι διπλή ρίζα ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 7:13 pm**

Μια άλλη λύση για το Β3.

$\displaystyle{{\nu ^3} + {\alpha _2}{\nu ^2} + {\alpha _1}\nu = - {\alpha _0} \Leftrightarrow \nu \left( {{\nu ^2} + {\alpha _2}\nu + {\alpha _1}} \right) = - {\alpha _0}}$

Έστω $\displaystyle{\left| \nu \right| \ge 4}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left| {{\alpha _0}} \right| = \left| {\nu \left( {{\nu ^2} + {\alpha _2}\nu + {\alpha _1}} \right)} \right| = \left| \nu \right|\left| {{\nu ^2} + {\alpha _2}\nu + {\alpha _1}} \right| \ge \left| \nu \right|\left( {\left| {{\nu ^2} + {\alpha _2}\nu } \right| - \left| {{\alpha _1}} \right|} \right) = \left| \nu \right|\left( {\left| {\nu \left( {\nu + {\alpha _2}} \right)} \right| - \left| {{\alpha _1}} \right|} \right) = \\ \left| \nu \right|\left( {\left| \nu \right|\left| {\nu + {\alpha _2}} \right| - \left| {{\alpha _1}} \right|} \right) \ge \left| \nu \right|\left[ {\left| \nu \right|\left( {\left| \nu \right| - \left| {{\alpha _2}} \right|} \right) - \left| {{\alpha _1}} \right|} \right] \ge 4\left[ {4\left( {4 - 3} \right) - 3} \right] = 4 \end{array}}$
άτοπο

Χρησιμοποίησαμε δύο φορές την $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 7:25 pm**

bilstef έγραψε:Μια ερώτηση για το Δ3 : Με βάση τη λύση που αναφέρεται και στις λύσεις του mathematica "Δ3 -4η λύση ( για την εξίσωση) "
μια και αποδεικνύεται ότι $h((1,\alpha ]) =[h(\alpha )=0,\lim_{x\rightarrow 1^{-}}h(x))$ επειδή η γνησίως φθίνουσα δηλ το $\alpha$ είναι ρίζα από αριστερά
και $h([\alpha,+\infty ]) =[h(\alpha )=0,\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x))$ επειδή η γνησίως αύξουσα δηλ το $\alpha$ είναι ρίζα από δεξιά.

Άρα το $\alpha$ είναι διπλή ρίζα ;

Αφού

, προφανώς h'(a)=0

.

Αφού και h(a)=0

, το

είναι ρίζα της

πολλαπλότητας $\geq 2$ . Θέλει λίγο προσοχή η πολλαπλότητα ρίζας μη πολυωνυμικών εξισώσεων.Το αν είναι διπλή ρίζα ( κι όχι τριπλή ή τετραπλή κοκ) δεν έχει αποδειχθεί στη λύση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2013 8:18 pm**

Αντιγράφω αυτούσια μια λύση που μου μεταφέρθηκε από συνάδελφο για έλεγχο σχετικά με την απόδειξη της συνέχειας στο Δ1.
Θα ήθελα να μου πείτε εαν είναι σωστή.

Απόδειξη ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f΄}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_o= 1}$

(άρα μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα του De L’ Hospital στην εύρεση του $\displaystyle{f'(1)}$ )

Η $\displaystyle{ f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ άρα υπάρχει το $\displaystyle{f'(1)}$ και είναι πραγματικός αριθμός.

Η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως αύξουσα

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x<1}$ έχει όριο στο $\displaystyle{x_o= 1}$ έστω το $\displaystyle{\rho_1}$

(έχει όριο, ως γν. αύξουσα με άνω φράγμα το $\displaystyle{f'(1)}$ )

με $\displaystyle{\rho_1 \le f'(1)}$ γιατί $\displaystyle{x<1}$ οπότε $\displaystyle{f'(x) < f'(1)}$ και $\displaystyle{ \lim_{x\to 1^-} f'(x) \le f'(1)}$ .

Έτσι $\displaystyle{\lim_{h\to 0^-} f'(1+h)=\rho_1}$

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x>1}$ έχει όριο στο $\displaystyle{x_o= 1}$ έστω το $\displaystyle{\rho_2}$

(έχει όριο ως γν. αύξουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ με κάτω φράγμα το $\displaystyle{f'(1)}$

ή θεωρώντας την $\displaystyle{-f}$ που είναι γν. φθίνουσα με κάτω φράγμα το $\displaystyle{f'(1)}$ )

με $\displaystyle{\rho_2 \ge f'(1)}$ γιατί $\displaystyle{x>1}$ οπότε $\displaystyle{f'(x) > f'(1)}$ και $\displaystyle{ \lim_{x\to 1^+} f'(x) \ge f'(1)}$ .

Έτσι $\displaystyle{\lim_{h\to 0^+} f'(1+h)=\rho_2}$

Άρα ισχύει $\displaystyle{\rho_1\le f'(1) \le \rho_2}$

Έστω ότι η $\displaystyle{f΄}$ δεν είναι συνεχής. Τότε $\displaystyle{\rho_1 < \rho_2}$ .

Με χρήση De L’ Hospital και των παραπάνω σχέσεων

$\displaystyle{\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+5h)-f(1-h)}{h}=\lim_{h\to 0^-}(5f' (1+5h)+f'(1-h))=5 \rho_1 + \rho_2}$ (θέτω $\displaystyle{u=5h}$ και $\displaystyle{u=-h}$ αντίστοιχα)

$\displaystyle{\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+5h)-f(1-h)}{h}=\lim_{h\to 0^+}(5f' (1+5h)+f'(1-h))=5 \rho_2 + \rho_1}$ (θέτω $\displaystyle{u=5h}$ και $\displaystyle{u=-h}$ αντίστοιχα)

Τα πλευρικά όρια του $\displaystyle{\frac{f(1+5h)-f(1-h)}{h}}$ όμως είναι ίσα (αφού δίνεται ότι το όριο είναι ίσο με $\displaystyle{0}$ ),

έτσι $\displaystyle{5 \rho_1 +\rho_2=5 \rho_2 + \rho_1}$ άρα $\displaystyle{\rho_1=\rho_2}$ , ΑΤΟΠΟ.

Άρα $\displaystyle{f΄}$ συνεχής στο $\displaystyle{x_o= 1}$ .

Παρατηρήσεις
1.Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η παραπάνω απόδειξη χωρίς απαγωγή σε άτοπο για να αποδειχθεί απευθείας ότι $\displaystyle{f'(1)=0}$
2. Η ύπαρξη των πλευρικών ορίων της $\displaystyle{f'}$ ξεφεύγει από την διδαχθείσα ύλη των μαθητών αλλά είναι επιστημονικά ορθή.

mathematica.gr

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013