ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

#41

smar έγραψε:Η λύση της επιτροπής για τη θεωρία αριθμών!

Σιλουανέ ευχαριστούμε! Όμορφο αποτέλεσμα παρά τη δυσκολία του...

Αρχιμήδης 6 · #42

kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο $Εικόνα$ είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το $Εικόνα$ και η διακρίνουσα είναι
$Εικόνα$
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν $Εικόνα$ και
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}}$ ,οπότε $Εικόνα$ άτοπο γιατί βγάζει $Εικόνα$ και είναι $Εικόνα$ και
Β) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}$ , οπότε $Εικόνα$ , πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο $Εικόνα$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

Καλησπέρα Κώστα.

n^2+n+1=m^2

Εφόσον το

είναι θετικός τότε m>n

,

Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με m+n>n+1

Συνεπώς δεν έχει λύσεις.

lefteris_tr · #43

Στο θέμα 3 της Γ λυκείου βρήκα $\displaystyle{k=26}$
Έβαλα τους αριθμούς: $\displaystyle{-16, -13, -12, -11 ,-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16}$
Μπορώ να ξέρω τι έχω κάνει λάθος γιατί είδα σε μια λύση ότι $\displaystyle{k=17.}$

#44

Προς τους διαγωνιζόμενους :

Παιδιά, καλά αποτελέσματα σε όλους σας !

Ξέρω ότι η αγωνία σας είναι μεγάλη, αλλά πρέπει να περιμένουμε λιγάκι μέχρι να διορθωθούν τα γραπτά. Σήμερα διόρθωσα τα γραπτά του Λυκείου για την Εύβοια(περιοχή Χαλκίδας) και δεν σας κρύβω ότι είναι πολύ κοπιαστική και υπεύθυνη δουλειά, πολύ πιο δύσκολη από την διόρθωση των γραπτών στις Πανελλήνιες. Πρέπει να διορθωθεί ακόμα το Γυμνάσιο και αυτό σε όλη τη χώρα. Αυτό θα πάρει κανα δυο βδομάδες τουλάχιστον.

Αποτελέσματα λογικά θα βγουν κατά τις 5-10 Φεβρουαρίου, αρχές Φεβρουαρίου το νωρίτερο. Μακάρι να τα έχουμε και νωρίτερα.

Επίσης, δεν έχει νόημα να ρωτάμε συνέχεια που θα πάνε οι βάσεις. Αυτό εξαρτάται πάντα από την επίδοση σε Πανελλήνια κλίμαα.

Υπομονή λοιπόν και ...συνεχίστε τη μελέτη ! Των φρονίμων τα παιδιά ..!

Μπάμπης

#45

lefteris_tr έγραψε:Στο θεμα 3 της Γ λυκειου βρηκα k=26
Εβαλα τους αριθμους: -16, -13, -12, -11 ,-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16
Μπορω να ξερω τι εχω κανει λαθος γιατι ειδα σε μια λυση οτι k=17

Η απάντηση είναι 28 και η λύση έχει τοποθετηθεί στην αρχή της σελίδας.

S.E.Louridas · #46

Καταρχάς θα ήθελα να δώσω τα εύσημα στους συμμετέχοντες στον διαγωνισμό αυτό, που είναι διαγωνισμός αιχμής, αφού και μόνο η συμμετοχή τους αποτελεί μία απάντηση στην πρόκληση των καιρών. Θα ήθελα να εκφράσω τα θερμά ειλικρινή συγχαρητήρια μου, τον θαυμασμό μου και να ευχηθώ καλή συνέχεια στους επιτυχόντες.

Κατά την προσωπική μου άποψη, τα θέματα του φετινού Ευκλείδη ήταν θέματα καλά, κλασικά του είδους και χωρίς κάτι το ιδιαίτερο για τον ενημερωμένο Μαθητή ή διδάσκοντα. Επιτρέψτε μου να αναφερθώ στην σκέψη αλλά και την λύση για δύο από τα θέματα της Γ’ Λυκείου.

Για το πρόβλημα 2, η στοιχειώδης σκέψη είναι να δημιουργηθεί αποκλειστική ισότητα της μορφής ${a^n} - {b^n} = 0,\;$ ή της μορφής $\root n \of a - \root n \of a = 0,\;$ ώστε να καταλήξουμε στην ζητούμενη ισότητα a=b

καθότι οι

είναι θετικοί. Συνεπώς θα μπορούσαμε να έχουμε και την λύση: $\displaystyle{\frac{a}{{a + b}} + \root 3 \of {\frac{b}{a}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b}} - \frac{1}{2} = \frac{{\root 3 \of a - \root 3 \of b }}{{\root 3 \of b }} \Leftrightarrow }$ $\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of {{a^2}} + \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right)\root 3 \of a = 2\left( {a + b} \right)\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right).$ Από την τελευταία αυτή σχέση προκύπτει ότι $\root 3 \of a = \root 3 \of b \Rightarrow a = b$ ή $\root 3 \of {\alpha \beta } \left( {\root 3 \of a + \root 3 \of \beta } \right) = \alpha + 2\beta = \left( {\root 3 \of a + \root 3 \of \beta } \right)\right)\left( {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right) +b\Rightarrow$ $0 = \left( {\root 3 \of a + \root 3 \of b } \right){\left( {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right)^2} + b,$ που είναι άτοπο.

Για τη Γεωμετρία τώρα, η ίδια η εκφώνηση του θέματος οδηγεί στην λύση. Πράγματι μετά από το "πλούσιο" κατασκευαστικό οδοιπορικό στην εκφώνηση, οδηγούμαστε άμεσα στον προσδιορισμό του ορθοκέντρου

του τριγώνου ADN

αφού δίνεται ευκρινώς ότι τα DE,NM

είναι ύψη του. Ο κύκλος λοιπόν

τέμνει την πλευρά

στο ίχνος

του τρίτου ύψους

αφού η πλευρά

είναι εκ κατασκευής και στην υπόθεση εντός της εκφώνησης διάμετρος του. Ο λύτης λοιπόν έχει σαν μοναδική του στόχευση να αποδείξει ότι το τετράπλευρο KTEM

είναι εγγράψιμμο, οπότε αναφέρει απλά ότι το σημείο

ταυτίζεται με το

. Η εγγραψιμμότητα του KTEM

γίνεται στοιχειωδώς με απλό υπολογισμό (ή για όποιον γνωρίζει ευρύτερη θεωρία χωρίς καμιά πράξη αλλά με απλή αναφορά στον κύκλο του Euler, όπως δηλαδή έκανε ευφυώς στη παρέμβαση του ο Nick1990).

kostas232 · #47

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
kostas232 έγραψε:Συμμετείχα φέτος στον Ευκλείδη της Α' Λυκείου. Πολύ ενδιαφέροντα θέματα. Τα έλυσα όλα εκτός από το τέταρτο(σε αυτό έβγαλα μονάχα μία "ταπεινή" ισότητα). Θα δώσω εδώ τη δική μου "περιπετειώδη" λύση του β) ερωτήματος του πρώτου προβλήματος, απλά και μόνο ως μία παραλλαγή.
Σκέφτομαι ως εξής: Έστω ότι ο $Εικόνα$ είναι τέλειο τετράγωνο. Τότε θα ήταν
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το $Εικόνα$ και η διακρίνουσα είναι
$Εικόνα$
οπότε έχουμε ακέραιες λύσεις εάν $Εικόνα$ και
$Εικόνα$
δηλαδή $Εικόνα$
Από εκεί έβγαλα τις περιπτώσεις
Α) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=1\\2d+c=3.\end{cases}}$ ,οπότε $Εικόνα$ άτοπο γιατί βγάζει $Εικόνα$ και είναι $Εικόνα$ και
Β) $\displaystyle{\begin{cases}2d-c=-1\\2d+c=-3\end{cases}}$ , οπότε $Εικόνα$ , πάλι άτοπο για τον ίδιο λόγο.
Συμπεραίνω έτσι ότι δεν είναι δυνατόν ο $Εικόνα$ να είναι τέλειο τετράγωνο.
Καλησπέρα Κώστα.

Εφόσον το είναι θετικός τότε ,

Εδώ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης έχουμε τον πρώτο παράγοντα θετικό και τον δεύτερο παράγοντα ίσο με

Συνεπώς δεν έχει λύσεις.

Χαρά μου να βλέπω εναλλακτικές λύσες που αποφευγουν την φλυαρία και μόνο να βελτιώσουν τη σκέψη μας μπορούν

STEVE · #48

Εχουμε το Σχέδιο Βαθμολόγησης Ευκλείδη 2015 ?

Ανδρέας Πούλος · #49

Για το 3ο θέμα της Γ Γυμνασίου.
Όπως το λύσαμε στον Όμιλο Μαθηματικών του Π.Π.Σ.Π.Θ. την Δευτέρα 19/1/2015 το απόγευμα.

Η πρώτη εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα είναι η: 100x+10y+z=43(x+y+z)+9

, (1)
και η δεύτερη είναι η: 100z+10y+x=30(x+y+z)+6

, (2).
Η ευφυής παρατήρηση που απλοποιεί το πρόβλημα αφορά την εξίσωση (2).

Από το αριστερό μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 100z+10y+x

είναι το

, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του

.
Από το δεξί μέλος προκύπτει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 30(x+y+z)+6

είναι το 6, αφού το υπόλοιπο μέρος είναι πολλαπλάσιο του 10.
Άρα, x=6

.
Οπότε οι εξισώσεις (1) και (2) ξαναγράφονται ως 600+10y+z=43(6+y+z)+9

, (3)
και 100z+10y+6=30(6+y+z)+6

, (4).
Η επίλυση του γραμμικού συστήματος 2x2 των (3) και (4) με αγνώστους

,

μας δίνει τη λύση y = 5

,

.

Ανδρέας Πούλος

H.V. · #50

Ψάχνω εικονίδιο που να βγάζει το καπέλο!
Άλλη μια παρατήρηση που προκύπτει από την εξίσωση (2) είναι ότι zyx πολλαπλάσιο του 3, άρα x+y+z (άθροισμα ψηφίων) θα είναι πολλαπλάσιο του 3.

StLain7 · #51

Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα; (Μήπως έχουμε και σχέδιο βαθμολόγησης του Ευκλείδη 2015)

jason.prod · #52

Η βάση φέτος πού περίπου θα κυμανθεί;
Κυρίως ρωτάω για Β' και Γ' Γυμνασίου

MathExplorer · #53

Κατά κανόνα με 2.5 θέματα σωστά περνας (στο Λύκειο). Στο Γυμνάσιο περνάς σιγουρα αν έχεις 3 θέματα σωστά, μπορει και 2.5.

vivikas · #54

Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;

#55

vivikas έγραψε:Ξέρετε πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;

Το πιο πιθανό μέσα στην άλλη βδομάδα .Λείπουν διορθώσεις, αλλά η διαδικασία άρχισε.

Μπ

Σταύρος Σταυρόπουλος · #56

Βγήκαν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη: http://www.hms.gr/node/920

GiannisPaokara · #57

Ξέρει κανείς πόσο ήταν η βάση; Κυρίως για λύκειο (β και γ λυκείου)

MathExplorer · #58

Συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους και κυρίως στους επιτυχόντες! Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη!

kostas232 · #59

Τα συγχαρητήρια μου σε ολους τους συμμαθητές μου, επιτυχόντες και μη, που συμμετείχαν.

#60

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά !!!

Καλή συνέχεια στο μεγάλο στίβο του Αρχιμήδη !!!

Μπ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση