Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

papamixalis · #41

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19: Αν ο εξαψήφιος αριθμός $\displaystyle{K=199a1b}$ διαιρείται με το και με το και ο αριθμός $\displaystyle{L= K+2016}$ είναι πολλαπλάσιο του

, να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{K ,L}$

Καλησπέρα

Αφού ο

διαιρείται με το

θα πρέπει

$b=5 \vee b=0$

Για b=5

Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του

να διαιρείται με το

Η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει το

είναι το

Όμως για

και

Ο αριθμός

δεν διαιρείται με το

Άρα θα πρέπει b=0

Για

που διαιρείται με το

Φιλικά
Μιχάλης

#42

ΑΣΚΗΣΗ 20: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x , \frac{18}{x} , \frac{x+5}{x+1}}$ είναι φυσικοί, να αποδείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{A= x^2 -4x+12}$ παίρνει

μία μόνο τιμή την οποία και να βρείτε

papamixalis · #43

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x , \frac{18}{x} , \frac{x+5}{x+1}}$ είναι φυσικοί, να αποδείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{A= x^2 -4x+12}$ παίρνει

μία μόνο τιμή την οποία και να βρείτε

Για να είναι ο $\dfrac{18}{x}$ φυσικός πρέπει το

να είναι διαιρέτης του

Άρα οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το

είναι :

$x=1 \vee x=2 \vee x=3 \vee x=6 \vee x=9 \vee x=18$

Τις περιπτώσεις επαληθεύουν μόνο οι αριθμοί x=1

και

Και στις δύο περιπτώσεις

A=9

Φιλικά
Μιχάλης

#44

ΑΣΚΗΣΗ 21:Αν διαιρέσουμε τον φυσικό αριθμό

με το

, βρίσκουμε υπόλοιπο

. Τι υπόλοιπο θα βρούμε, αν διαιρέσουμε τον

με το

;

T-Rex · #45

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21:Αν διαιρέσουμε τον φυσικό αριθμό με το , βρίσκουμε υπόλοιπο . Τι υπόλοιπο θα βρούμε, αν διαιρέσουμε τον

με το ;

$a=15\pi +12=3.5.\pi +2.5+2=5(3\pi +2)+2$

#46

ΑΣΚΗΣΗ 22: Ένα άλογο τρώει

μπάλες άχυρο σε

μέρες, ενώ ένας γαϊδαράκος, τρώει

μπάλες άχυρο σε 23 μέρες. Πόσες μπάλες

άχυρο πρέπει να αγοράσουμε, για να ταϊσουμε και τα δύο ζώα επί 230

μέρες;

papamixalis · #47

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22: Ένα άλογο τρώει μπάλες άχυρο σε μέρες, ενώ ένας γαϊδαράκος, τρώει μπάλες άχυρο σε 23 μέρες. Πόσες μπάλες

άχυρο πρέπει να αγοράσουμε, για να ταϊσουμε και τα δύο ζώα επί μέρες;

Με μέθοδο των τριών βρίσκουμε ότι το άλογο τρώει $\dfrac{1}{5}$ μπάλας σε

μέρα ενώ ο γαϊδαράκος τρώει $\dfrac{5}{23}$ μπάλας άχυρο σε

μέρα.

Άρα πολ/ντας και τα 2 με το 230

βρίσκουμε ότι για το άλογο θα χρειαστούμε

μπάλες άχυρο, ενώ για τον γάιδαρο

μπάλες άχυρο.
Άρα θέλουμε συνολικά

μπάλες άχυρο.

Φιλικά
Μιχάλης

#48

ΑΣΚΗΣΗ 23: Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ ... +\frac{1}{100} < 19,2}$ .

Προσπαθήστε στη συνέχεια να αποδείξετε την εξής πιο ισχυρή ανισότητα από την προηγούμενη:

$\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ ... +\frac{1}{100} < 16\frac{1}{30}}$ .

Μπορείτε να βρείτε και μια ακόμα πιο ισχυρή ανισότητα από τις δύο παραπάνω , όπου στο δεύτερο μέλος να έχουμε έναν φυσικό αριθμό;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο αριθμός $\displaystyle{16\frac{1}{30}}$ είναι μικτός

Εύα · #49

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23: Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ ... +\frac{1}{100} < 19,2}$ .

Προσπαθήστε στη συνέχεια να αποδείξετε την εξής πιο ισχυρή ανισότητα από την προηγούμενη:

$\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ ... +\frac{1}{100} < 16\frac{1}{30}}$ .

Μπορείτε να βρείτε και μια ακόμα πιο ισχυρή ανισότητα από τις δύο παραπάνω , όπου στο δεύτερο μέλος να έχουμε έναν φυσικό αριθμό;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο αριθμός $\displaystyle{16\frac{1}{30}}$ είναι μικτός

$\displaystyle{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+....+\frac{1}{100}<19,2=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}....+\frac{1}{5}=\frac{96}{5}=96:5=19,2}$

Τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{1}{6},\frac{1}{7}...\frac{1}{100} < \frac{1}{5}.}$ Μετατρέπουμε λοιπόν όλα τα κλάσματα σε $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ και η ανισότητα ισχύει.

#50

ΑΣΚΗΣΗ 24: Θεωρούμε τους διψήφιους αριθμούς $\displaystyle{A4}$ και $\displaystyle{6B}$ . Αν γνωρίζουμε ότι τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{A4}{23}}$ και $\displaystyle{\frac{222}{6B}}$

είναι ισοδύναμα, να βρείτε τα ψηφία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .

Εύα · #51

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24: Θεωρούμε τους διψήφιους αριθμούς $\displaystyle{A4}$ και $\displaystyle{6B}$ . Αν γνωρίζουμε ότι τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{A4}{23}}$ και $\displaystyle{\frac{222}{6B}}$

είναι ισοδύναμα, να βρείτε τα ψηφία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .

ΛΥΣΗ

Αφού $\displaystyle{\frac{A4}{23}}$ και $\displaystyle{\frac{222}{6B}}$ είναι ισοδύναμα τότε σύμφωνα με μέθοδο χιαστί $\displaystyle{23.222=A4.6B}$

$\displaystyle{222.23=5106}$ άρα $\displaystyle{A=7 , B=9}$ και έτσι $\displaystyle{74.69=222.23}$

#52

ΑΣΚΗΣΗ 25: Έχουμε δύο τρίγωνα $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{DEZ}$ , για τα οποία γνωρίζουμε ότι οι γωνίες $\displaystyle{B , E}$ είναι ίσες, οι γωνίες $\displaystyle{A , D}$

είναι παραπληρωματικές και οι γωνίες $\displaystyle{C , Z}$ είναι συμπληρωματικές. Να βρεθούν πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{B}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Διόρθωσα ένα λάθος στην πληκτρολόγηση. Αντί τις γωνίες

και

, ζητάμε τις

και

. Ευχαριστώ τον Μιχάλη (papamihalis) για την επισήμανση.

#53

Εύα έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24: Θεωρούμε τους διψήφιους αριθμούς $\displaystyle{A4}$ και $\displaystyle{6B}$ . Αν γνωρίζουμε ότι τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{A4}{23}}$ και $\displaystyle{\frac{222}{6B}}$

είναι ισοδύναμα, να βρείτε τα ψηφία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .

ΛΥΣΗ

Αφού $\displaystyle{\frac{A4}{23}}$ και $\displaystyle{\frac{222}{6B}}$ είναι ισοδύναμα τότε σύμφωνα με μέθοδο χιαστί $\displaystyle{23.222=A4.6B}$

$\displaystyle{222.23=5106}$ άρα $\displaystyle{A=7 , B=9}$ και έτσι $\displaystyle{74.69=222.23}$

Ας δούμε λίγο πιο αναλυτικά την λύση της Εύας:

Θέλουμε να είναι $\displaystyle{5106=A4 . 6B}$ . Για να ισχύει η ισότητα αυτή, θα πρέπει ο αριθμός $\displaystyle{A4 . 6B}$ να λήγει σε $\displaystyle{6}$ . Άρα πρέπει το ψηφίο $\displaystyle{B}$ να είναι

$\displaystyle{4}$ ή $\displaystyle{9}$ . Έτσι θα πάρουμε δύο περιπτώσεις:

(1) $\displaystyle{B=4}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{5106=A4 . 64}$ και άρα $\displaystyle{A4 = \frac{5106}{64}}$ . Επειδή όμως η διαίρεση του $\displaystyle{5106}$ με τον $\displaystyle{64}$ δεν είναι τέλεια, η περίπτωση

αυτή απορρίπτεται

(2) $\displaystyle{B=9}$ . Τότε $\displaystyle{5106=A4 . 69}$ και άρα $\displaystyle{A4 =\frac{5106}{69} = 74}$ . Άρα $\displaystyle{A=7}$ . Έτσι τα ψηφία που ζητάμε είναι $\displaystyle{A=7 , B=9}$

papamixalis · #54

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 25: Έχουμε δύο τρίγωνα $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{DEZ}$ , για τα οποία γνωρίζουμε ότι οι γωνίες $\displaystyle{B , E}$ είναι ίσες, οι γωνίες $\displaystyle{A , D}$

είναι παραπληρωματικές και οι γωνίες $\displaystyle{C , Z}$ είναι συμπληρωματικές. Να βρεθούν πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{B}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Διόρθωσα ένα λάθος στην πληκτρολόγηση. Αντί τις γωνίες και , ζητάμε τις και . Ευχαριστώ τον Μιχάλη (papamihalis) για την επισήμανση.

Καλημέρα

Γράφω όλες τις σχέσεις που προκύπτουν.

A+B+C=180 (1)

Αν αντικαταστήσω τις (3),(4),(5)

στην

Προκύπτει:

$180-D+90-Z+E=180 \Leftrightarrow E-D-Z=-90$
Προσθέτοντας κατά μέλη με την

$2E=90 \Leftrightarrow E=B=45$

Φιλικά
Μιχάλης

#55

ΑΣΚΗΣΗ 26:

πρόβατα τρώνε σε

μέρες

μπάλες τριφύλλι. Πόσα πρόβατα μπορούμε να ταϊσουμε για 180

μέρες αν έχουμε 120

μπάλες τριφύλλι;

#56

ΑΣΚΗΣΗ 27: Τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ των μαθητών ενός σχολείου μετακινούνται πεζοί , το $\displaystyle{40}$ % των υπολοίπων με λεωφορείο και όλοι οι άλλοι

με ποδήλατο. Να βρείτε ποιο ποσοστό % των μαθητών μετακινούνται πεζοί, ποιο με λεωφορείο και ποιο με ποδήλατο.

vasisot · #57

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26: πρόβατα τρώνε σε μέρες μπάλες τριφύλλι. Πόσα πρόβατα μπορούμε να ταϊσουμε για μέρες αν έχουμε

μπάλες τριφύλλι;

Το πρόβλημα περιέχει τρία ποσά. Διαπιστώνουμε ότι είναι ευθέως ανάλογα τα ποσά τριφύλλι - μέρες και τριφύλλι - πρόβατα, ενώ είναι αντιστρόφως ανάλογα τα ποσά μέρες - πρόβατα, διατηρώντας το τρίτο ποσό σταθερό. Έτσι αν οι παρακάτω στήλες παριστάνουν αντίστοιχα τριφύλλι , μέρες, πρόβατα θα έχουμε

$\displaystyle{\begin{matrix} 4 & 20 & 12\\ 1 & 5 & 12\\ 120 & 5 & 12 \cdot 120 =1440 \\ 120 & 5\cdot 36 = 180 & 1440: 36 = 40 . \end{matrix}}$

Πιο σύντομα και πιο "μαθηματικά" χρησιμοποιώντας ότι ο λόγος
τριφύλλι / (μέρες x πρόβατα) είναι σταθερός θα έχουμε

$\displaystyle{ \frac{4}{20\cdot 12 } =\frac{120}{180 \cdot x}} \Leftrightarrow x =40$ πρόβατα.

papamixalis · #58

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27: Τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ των μαθητών ενός σχολείου μετακινούνται πεζοί , το $\displaystyle{40}$ % των υπολοίπων με λεωφορείο και όλοι οι άλλοι

με ποδήλατο. Να βρείτε ποιο ποσοστό % των μαθητών μετακινούνται πεζοί, ποιο με λεωφορείο και ποιο με ποδήλατο.

Καλημέρα

Το

% των μαθητών μετακινούνται πεζοί.

Το

% του υπόλοιπου

% δηλαδή το $0,4 \cdot 0,25=0,1=10$ % με λεωφορείο και το υπόλοιπο

% με ποδήλατο.

Φιλικά
Μιχάλης

#59

ΑΣΚΗΣΗ 28: Αν $\displaystyle{x , y , z}$ είναι φυσικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(x , y ,z)}$ , που επαληθεύουν την εξίσωση:

$\displaystyle{x(3x+y)+z(3x+y)=14}$

papamixalis · #60

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: Αν $\displaystyle{x , y , z}$ είναι φυσικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(x , y ,z)}$ , που επαληθεύουν την εξίσωση:

$\displaystyle{x(3x+y)+z(3x+y)=14}$

Καλημέρα

Ονομάζω

φυσικοί.
Όλες οι πιθανές περιπτώσεις είναι

a=1 b=14

Αντικαθιστώντας βρίσκω τις διάφορες τιμές των x,y,z

λύνω την τελευταία ενδεικτικά.

3x+y=14

και

Άρα από την πρώτη σχέση θα είναι 4 περιπτώσεις

x=1 y=11

Όμως θα πρέπει και x+z=1

Αφού οι αριθμοί είναι φυσικοί κρατάμε μόνο την πρώτη περίπτωση και άρα z=0

Άρα όλα τα πιθανά ζεύγη είναι
(x,y,z)=(0,1,14),(0,2,7),(1,4,1),(2,1,0),(1,11,0)

Φιλικά
Μιχάλης

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση