Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#561

Πράγματι, είναι εύκολο να δούμε, όπως έγραψε ο Μιχάλης, ότι δεν μπορούμε να έχουμε διαφορετικό χρώμα σε όλες τις κορυφές του ισοπλεύρου τριγώνου
Και τώρα ας το δυσκολέψουμε λιγάκι:

ΑΣΚΗΣΗ 248: Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 1.

#562

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 248: Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 1.

Υπάρχει και εδώ (με επιπλέον ερώτημα).

#563

Πλήρης η δημοσίευση που έχει κάνει ο Δημήτρης (Demetres) , σε παραπομπή που μας δίνει, η οποία αφορά θέματα όπως το παραπάνω (για όσους ενδιαφέρονται να επεκταθούν περισσότερο).

Για την άσκηση 248, έχω υπόψιν την παρακάτω λύση:

Θεωρούμε πάνω στο επίπεδο δύο ρόμβους ABCD,AEZH

οι οποίοι έχουν κοινή την κορυφή τους

, πλευρά ίση με 1 και την γωνία της κορυφής

ίση με 60 μοίρες. Επίσης είναι με τέτοιον τρόπο τοποθετημένοι ώστε η απόσταση

να είναι ίση με μονάδα.
Από την αρχή του περιστερώνα, (αφού έχουμε 7 κορυφές και 3 χρώματα) θα υπάρχουν 3 τουλάχιστον κορυφές που θα έχουν το ίδιο χρώμα. Επίσης από την ίδια αρχή, δύο τουλάχιστον από αυτά θα ανήκουν στον ίδιο ρόμβο. Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι όπως και να θεωρήσουμε τα τρία σημεία του αυτού χρώματος, δύο τουλάχιστον, θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1.

#564

ΑΣΚΗΣΗ 249:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η

είναι ακέραιος αριθμός ( $n\epsilon N$ )

#565

ΑΣΚΗΣΗ 250:
Αν $x,y\epsilon R$ και αν ισχύει ότι:

$x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}-8(x+y+2xy)=-43$ , να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

$A=x^{4}+y^{4}$

Αρχιμήδης 6 · #566

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 249:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η είναι ακέραιος αριθμός ( $n\epsilon N$ )

Aφού η παράσταση είναι ακέραιος τότε η ρίζα είναι ρητός !
Έστω $\sqrt{2n+3}=a/b$ όπου a,b

ακέραιοι με

μη μηδενικό τότε n=(a^2-3b^2)/2b^2

Τώρα αν στην αρχική παράσταση θέσουμε όπου n=(a^2-3b^2)/2b^2

και

ακέραιο τότε μετά από πράξεις καταλήγουμε ότι $25(a-b)^{2}=m(2b)^{2}$ άρα

τέλειο τετράγωνο.

#567

Και μια ακόμα λύση για την άσκηση 249, που μας έδωσε ο "Αρχιμήδης":

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 249:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η είναι ακέραιος αριθμός ( $n\epsilon N$ )

Πρέπει λοιπόν ο αριθμός 2n+3

να είναι τέλειο τεράγωνο και επειδή είναι περιττός (ως άθροισμα άρτιου και περιττού), θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο περιττού. Άρα υπάρχει

φυσικός αριθμός ώστε να είναι

$2n+3=(2k+1)^{2}\Rightarrow n=2k^{2}+2k-1$ . Άρα

$A=\frac{25}{2}[2k^{2}+2k-1+2-\sqrt{(2k+1)^{2}}]\Rightarrow$

$A=\frac{25}{2}(2k^{2}+2k-1+2-2k-1)\Rightarrow$

$A=25k^{2}=(5k)^{2}$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αρχιμήδης 6 · #568

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 250:
Αν $x,y\epsilon R$ και αν ισχύει ότι:

$x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}-8(x+y+2xy)=-43$ , να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

$A=x^{4}+y^{4}$

Σε τέτοιες ασκήσεις που δίνεται εξίσωση στους πραγματικούς και ζητάει να υπολογιστεί μια παράσταση όπως στην περίπτωση μας με ακριβές νούμερο τότε προσπαθούμε να την φέρουμε σε μορφή $a_1x_1^{2}+a_2x_2^{2}+....a_kx_k^{2}=0$
και a_i>0

οπότε θα έχει λύση μόνο για x_i=0

.
Στην περίπτωση μας τώρα μετά από πράξεις η εξίσωση γίνετε :
(x+y-4)^2+3(xy-3)^2=0

άρα όπως είπαμε παραπάνω θα έχει λύση μόνο για x+y=4

,

Οπότε

και

#569

ΑΣΚΗΣΗ 251
Σε ένα ενυδρείο υπάρχουν ψάρια και των δύο φύλων.
Επιλέγουμε στη τύχη δύο ψάρια. Αν η πιθανότητα να είναι και τα δύο του ιδίου φύλου είναι 1/2,

να δείξετε ότι ο αριθμός των ψαριών στο ενυδρείο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΑΣΚΗΣΗ 252
Αν

και

είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τότε ο αριθμός $x\Box y$ είναι επίσης μη αρνητικός ακέραιος.
Η πράξη $\Box$ ικανοποιεί τη συνθήκη: $(x\Box y)(y\Box z) = x\Box z.$

Αν $23 \Box 47 \ne 0$ να υπολογίσετε τον αριθμό $61 \Box 89.$

ΑΣΚΗΣΗ 253
Ένας αριθμός ατόμων παίζουν το παρακάτω παιχνίδι:
Κάθε παίκτης έχει αρχικά € 300.
Στην αρχή κάθε γύρου, ο κάθε παίκτης δίνει € 10 στη "μάνα". Τα χρήματα αυτά δεν επιστρέφουν ξανά στο παιχνίδι.
Στο τέλος κάθε γύρου, κάποιος παίκτης (π.χ. ο χαμένος

) μοιράζει τα χρήματά του στους υπόλοιπους παίκτες σε ίσα ποσά και αποχωρεί από το παιχνίδι.
Το παιχνίδι τελειώνει όταν μείνει μόνο ένας παίκτης, ο οποίος είναι και ο νικητής.
Αν ο νικητής έχει, στο τέλος του παιχνιδιού, τόσα χρήματα όσα ξεκίνησε, δηλαδή € 300, να βρείτε τον αρχικό αριθμό των παικτών.

Αρχιμήδης 6 · #570

Λύση της 251
Έστω t,l

τα αρσενικά και τα θυληκά αντίστοιχα τότε [ $\fraq{C(t,2)+C(l,2)}]/[{C(t,2)+C(l,2)+tl}]=\fraq{1}/{2}$
Mετά απο πράξεις καταλήγουμε ότι (t-l)^2=t+l

άρα αποδείχθηκε.
Αφού t,l

ακέραιοι τότε οι τιμές των t,l

ανήκουν στο σύνολο $A=(\fraq{k(k+1)}/{2},\fraq{k(k-1)}/{2},\fraq{(k+1)(k+2)}/{2})$

#571

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 249:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η είναι ακέραιος αριθμός ( $n\epsilon N$ )

Προφανώς το $\sqrt{2n+3}$ είναι περιττός φυσικός, οπότε

$A= \left(5\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2} \right)^2$

με $\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2}$ φυσικό.

#572

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 253
Ένας αριθμός ατόμων παίζουν το παρακάτω παιχνίδι:
Κάθε παίκτης έχει αρχικά € 300.
Στην αρχή κάθε γύρου, ο κάθε παίκτης δίνει € 10 στη "μάνα". Τα χρήματα αυτά δεν επιστρέφουν ξανά στο παιχνίδι.
Στο τέλος κάθε γύρου, κάποιος παίκτης (π.χ. ο χαμένος ) μοιράζει τα χρήματά του στους υπόλοιπους παίκτες σε ίσα ποσά και αποχωρεί από το παιχνίδι.
Το παιχνίδι τελειώνει όταν μείνει μόνο ένας παίκτης, ο οποίος είναι και ο νικητής.
Αν ο νικητής έχει, στο τέλος του παιχνιδιού, τόσα χρήματα όσα ξεκίνησε, δηλαδή € 300, να βρείτε τον αρχικό αριθμό των παικτών.

Έστω n οι παίκτες, οπότε παίχτηκαν n-1 γύροι. Όλα τα λεφτά ήταν (υπήρχαν ...) 300n τα οποία είναι ίσα με αυτά που κράτησε η μάνα, και έφυγαν από το παιχνίδι, συν τα 300 του νικητή:

$n\cdot 10+(n-1)10+(n-2)10+...+2\cdot 10+300=n\cdot 300$

$\Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}10+290=300n$

$\Rightarrow n^2-59n+58=0\Rightarrow n=1, n=58$

κ.λπ.

#573

rek έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 249:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η είναι ακέραιος αριθμός ( $n\epsilon N$ )

Προφανώς το $\sqrt{2n+3}$ είναι περιττός φυσικός, οπότε

$A= \left(5\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2} \right)^2$

με $\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2}$ φυσικό.

Πολύ ωραία και σύντωμη λύση!!

#574

ΑΣΚΗΣΗ 254:
Να αποδείξετε ότι αν

πρώτος, με p>3

, τότε ο αριθμός $p^{2}-1$ διαιρείται με το 24.

#575

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 254:

Να αποδείξετε ότι αν πρώτος, με , τότε ο αριθμός

$p^{2}-1$ διαιρείται με το 24.

Έχει συζητηθεί εδώ.

Βάζω όμως την λύση και εδώ, για να υπάρχει.

Έχουμε ότι p^2-1=(p-1)(p+1)

.

Επειδή p-1,p+1

δύο διαδοχικοί άρτιοι (αφού $p\neq2$ ), έπεται εύκολα ότι 8|(p-1)(p+1)

.

Επίσης, οι p-1,p,p+1

είναι 3 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Κάποιος λοιπόν από αυτούς θα είναι πολλαπλάσιο του 3. Επειδή

πρώτος με $p\neq 3$ , κάποιος από τους p-1,p+1

θα είναι πολλαπλάσιο του 3.

Άρα, 3|(p-1)(p+1)

.

Οπότε, αφού (3,8)=1

, έχουμε ότι $3\cdot8|(p-1)(p+1)$ .

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

spiros filippas · #576

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 254: Να αποδείξετε ότι αν πρώτος, με , τότε ο αριθμός

$p^{2}-1$ διαιρείται με το 24.

Νομίζω ότι μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο για κάθε

περιττό και μη δαιρετό από το 3 (και όχι απαραίτητα πρώτο):

Είναι $\displaystyle p^2\equiv 1(mod8)\Leftrightarrow p^2-1\equiv 0(mod8)~(1)$ αφού

περιττός, και

$\displaystyle p^2\equiv 1(mod3)\Leftrightarrow p^2-1\equiv 0(mod3)~(2)$ αφού $p \neq 0 (mod3)$

Το ζητούμενο έπεται απο τις (1) κ (2)

#577

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 254: Να αποδείξετε ότι αν πρώτος, με , τότε ο αριθμός

$p^{2}-1$ διαιρείται με το 24.

Ωραιότατη η λύση του Νίκου.

Για ποικιλία, δίνω και μια ακόμα λύση:

Επειδή ο

είναι πρώτος, θα έχει την μορφή p=6k+1

ή

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $p=6k+1\Rightarrow p^{2}-1=12k(3k+1)$

*Αν

άρτιος, δηλ. k=2n

τότε $p^{2}-1=24n(6n+1)$ και άρα έχουμε το ζητούμενο.

* Αν

περιττός, δηλ. k=2n+1

τότε $p^{2}-1=12(2n+1)(6n+4)=24(2n+1)(3n+2)$ οπότε και πάλι έχουμε το ζητούμενο.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: p=2k+5

Εργαζόμαστε ομοίως.

#578

ΑΣΚΗΣΗ 255:
Στο επίπεδο θεωρούμε ένα 2011

-γωνο. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν να φέρουμε μια ευθεία πάνω σε αυτό το επίπεδο που να τέμνει όλες τις πλευρές του.

(την βάζω χωρίς να έχω προσπαθήσει να την λύσω, και ότι προκύψει...)

#579

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 255:
Στο επίπεδο θεωρούμε ένα -γωνο. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν να φέρουμε μια ευθεία πάνω σε αυτό το επίπεδο που να τέμνει όλες τις πλευρές του.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια ευθεία.

Ονομάζουμε το πολύγωνο $A_1A_2...A_{2011}.$ Τα σημεία A_1

και

θα ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία. Το A_3

όπως επίσης και όλα τα σημεία με περιττό δείκτη θα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο. Όμως το τμήμα $A_1A_{2011}$ είναι πλευρά του πολυγώνου, άρα τα $A_1, A_{2011}$ ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία, άτοπο.

#580

spiros filippas έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 254: Να αποδείξετε ότι αν πρώτος, με , τότε ο αριθμός

$p^{2}-1$ διαιρείται με το 24.

Νομίζω ότι μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο για κάθε περιττό και μη δαιρετό από το 3 (και όχι απαραίτητα πρώτο):

Είναι $\displaystyle p^2\equiv 1(mod8)\Leftrightarrow p^2-1\equiv 0(mod8)~(1)$ αφού περιττός, και

$\displaystyle p^2\equiv 1(mod3)\Leftrightarrow p^2-1\equiv 0(mod3)~(2)$ αφού $p \neq 0 (mod3)$

Το ζητούμενο έπεται απο τις (1) κ (2)

Σωστά Σπύρο. Πράγματι, θα μπορούσε ο p να είναι οποισδήποτε περιττός αλλά μη διαιρετός με το 3. Μπράβο για την παρατηρητικότητά σου.

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση