Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Eukleidis · #61

24.

Να αποδείξετε πώς για τυχαίους θετικούς πραγματικούς ισχύει:
$\displaystyle{\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{{1 + xy}}}$

Νασιούλας Αντώνης · #62

Eukleidis έγραψε:24.

Να αποδείξετε πώς για τυχαίους θετικούς πραγματικούς ισχύει:
$\displaystyle{\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{{1 + xy}}}$

Πρόκειται για τη γνωστή ανισότητα:

$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}, a,b,c>0$

αν θέσουμε όπου α το 1, παίρνουμε τη δοθείσα.

Αυτό βέβαια δεν είναι απόδειξη, σαν πληροφορία το δίνω, όποτε η άσκηση παραμένει.

Αντώνης

KARKAR · #63

Άσκηση 25

α) Δείξτε ότι κάθε φυσικός αριθμός $\displaystyle{$ \alpha , μπορεί να γραφεί στη μορφή :

100\lambda +10\delta + \mu , ώστε : }

$\lambda ,\delta ,\mu , \in \mathbb{N}$ , και $\delta ,\mu$ μονοψήφιοι

β) Βρείτε τους φυσικούς αριθμούς , των οποίων το τετράγωνο λήγει σε $\displaystyle{$ 2

ίσα ψηφία.

Eukleidis · #64

Ολες οι 25 ασκήσεις σε pdf.

Μέχρι τώρα δεν έχουν απαντηθει αναλυτικά οι 6,11,12,16,21,25

H τρίτη έκδοση του αρχείου με διορθωση μικρολαθών.

Νασιούλας Αντώνης · #65

Eukleidis έγραψε:Ολες οι 25 ασκήσεις σε pdf.

Μέχρι τώρα δεν έχουν απαντηθει αναλυτικά οι 6,11,12,15,16,18,21,23,24,25

Γιώργο ευχαριστούμε πολύ!!!

Αντώνης

Νασιούλας Αντώνης · #66

Παρόλο που νομίζω ότι μέσα από τη συζήτηση του chris gatos με τον linardatos και από τις υποδείξεις του κ. Χρήστου ουσιαστικά έχει δοθεί λύση στο 15, ας δώσω μια ολοκληρωμένη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Νασιούλας Αντώνης · #67

Για το 16α σύμφωνα με τον αλγόριθμο που έχω ανεβάσει εδώ θα είναι:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BILL_FC · #68

Μια λύση για την 24(ελπίζω οι πράξεις να ναι σωστές)...:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

irakleios · #69

για την 18.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

gtk1994 · #70

Μια λύση για τη 25

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

irakleios · #71

gtk1994 έγραψε:Μια λύση για τη 25
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
α) Κάθε φυσικός αριθμός αριθμός α έχει τη μορφή:
$a=a_{n}\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+....+a_1\cdot 10+a_0$ ,
όπου $a_n, a_{n-1},....., a_1, a_0$ είναι φυσικοί μονοψήφιοι
Άρα, $a=10[10(a_n\cdot 10^{n-2}+a_{n-1}\cdot 10^{n-3}+......a_2)+a_1]+a_0 \Rightarrow a=100\lambda+10\delta +\mu$ ,
όπου
$\lambda=a_n\cdot 10^{n-2}+a_{n-1}\cdot 10^{n-3}+......a_2, \delta =a_1, \mu=a_0$

β)Έστω φυσικός αριθμός
Τότε και ο είναι φυσικός
Άρα, σύμφωνα με το ερωτημα α)
ο μπορεί να γραφεί ως :
, όπου φυσικοί μονοψήφιοι και=φυσικός
Σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει
$a^2=100b+10c+c\Leftrightarrow$

Για να είναι ο τετράγωνο φυσικού αριθμού πρέπει
c=0 ή 1 ή 4 ή 5 ή 6 ή 9
Αν πάρουμε mod4 για το εξετάζοντας τα τετραγωνικά του υπόλοιπα
βρίσκουμε πως c=0 ή 3 ή 4 ή 7 ή 8 ή 9
Άρα, σε συνδυασμό με την
έχουμε πως ή

Για έχουμε
και επειδή
πρέπει και =τέλειο τετράγωνο
Άρα , οι φυσικοί αριθμοί που ψάχνουμε είναι

Για έχουμε
Επειδή πρέπει και
$25b^2+11=m^2\Leftrightarrow$
, όπου φυσικοί
Έχουμε ότι ο είναι πρώτος και .
Άρα, $\left.\begin{matrix} m+5b=11\\ m-5b=1 \end{matrix}\right\}$ ,
από όπου προκύπτει ότι και
Άρα,
Τελικά οι ζητούμενοι φυσικοί αριθμοί είναι οι

Mεταξύ των 900 και 1600 βρίκεται και το 12544 που ικανοποιεί. οι ζητούμενοι φυσικοί είναι όλα τα τέλεια τετράγωνα που τελειώνουν σε 00 και 44 με ρίζες τους φυσικούς που τελειώνου σε 0 και 12.

gtk1994 · #72

Μια απάντηση για την 23

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

gtk1994 · #73

Κύριε irakleios μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως έχασα λύσεις ???
Ευχαριστώ

irakleios · #74

gtk1994 έγραψε:Κύριε irakleios μήπως μπορείτε να μου εξηγήσετε πως έχασα λύσεις ???
Ευχαριστώ

ναι το έχεις στην παραγοντοποίηση είναι σχέτο 25b Και όχι 25b^2

gtk1994 · #75

Ωχ ναι συγγνώμη για αυτό το ανόητο λάθος
Αν προλάβω θα διορθώσω τη λύση μου.
Απλώς θα ήθελα να ξέρω (επειδή δίνω και εγώ το άλλο σάββατο στον ευκλείδη β' λυκείου): Αυτή η λύση όπως την ξεκίνησα μπορεί να οδηγήσει στο ζητούμενο??

Ευχαριστώ

#76

Άσκηση 26

Αν $a_1,a_2, \cdots, a_n\in [0,1]$ , $n\geq 2$

νδο $\displaystyle \frac{a_1}{a_1a_2+n-1}+\frac{a_2}{a_2a_3+n-1}+...+\frac{a_n}{a_na_1+n-1}\leq 1$ .

Άσκηση 27

Αν x,y,z>0

τέτοιοι ώστε $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ ,

νδο $(x+1)(y+1)(z+1)\leq (x+y)(y+z)(z+x)$ .

Άσκηση 28

Έστω $X=\{8,9,...\}$ και η συνάρτηση $f:X\rightarrow X$ τέτοια ώστε f(x+y)=f(xy)

για κάθε $x,y \in \{4,5,...\}$ .

Αν f(8)=9

, υπολογίστε το f(9)

.

slash · #77

Σωστος ο gtk.

chris · #78

socrates έγραψε:

Άσκηση 27

Αν τέτοιοι ώστε $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ ,

νδο $(x+1)(y+1)(z+1)\leq (x+y)(y+z)(z+x)$ .

Μια ιδέα...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Eukleidis · #79

Προτείνω να μη δοθούν αλλες ασκήσεις μέχρι να λυθούν οι εναπομείνουσες, αλλιώς δεν κερδίζουμε τίποτα, απλά εχουμε μια συλλογή ασκήσεων που δε θα μπορεί ο καθένας να εκμεταλλευτεί.