Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #61

19.

$24x^2 -60x + 36 = \frac{1}{\sqrt{5x-7}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

dimplak · #62

20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$

STOPJOHN · #63

dimplak έγραψε:19.

$24x^2 -60x + 36 = \frac{1}{\sqrt{5x-7}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Kαλημέρα Δημήτρη
Πρέπει $x>\dfrac{7}{5}$

$6(x-1)(2x-3)=\dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-7}}{\sqrt{5x-7}\sqrt{x-1}}\Leftrightarrow 6(x-1)(2x-3)\sqrt{x-1}\sqrt{5x-7}=\dfrac{-2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{5x-7}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}, 6(1-x)\sqrt{x-1}\sqrt{5x-7}=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{5x-7}}$

Η τελευταία εξίσωση δεν έχει λύση ,λόγω του περιορισμού ,άρα μοναδική λύση η $x=\dfrac{3}{2}$

Φιλικά και ΘΡΥΛικά

Γιάννης

KARKAR · #64

dimplak έγραψε:19.

$24x^2 -60x + 36 = \dfrac{1}{\sqrt{5x-7}} - \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$

Ενδιαφερόμαστε για $x>\dfrac{7}{5}$ . Από τη μελέτη του τριωνύμου (που έχει ρίζες

και $\dfrac{3}{2}$ ) ,

έχουμε ότι 24x^2 -60x + 36<0

για $x\in (\dfrac{7}{5},\dfrac{3}{2})$ και 24x^2 -60x + 36>0

για $x>\dfrac{3}{2}$ .

Το δεύτερο μέλος μηδενίζεται για $x=\dfrac{3}{2}$ , είναι θετικό για $x\in (\dfrac{7}{5},\dfrac{3}{2})$ και αρνητικό για $x>\dfrac{3}{2}$ ,

διότι π.χ. : $x>\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 4x>6\Leftrightarrow 5x>x+6\Leftrightarrow 5x-7>x-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5x-7}} - \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}<0$ .

Συνεπώς μοναδική ρίζα της εξίσωσης , είναι η $x=\dfrac{3}{2}$

dimplak · #65

21.

$x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}$

Ιστοσελίδα · #66

dimplak έγραψε:21.

$x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}$

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $6x-4\sqrt{2}\geq 0 \Leftrightarrow x\geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Τότε:
$x^3+4 \sqrt{2} = 6\sqrt[3]{6x-4 \sqrt{2}} \Leftrightarrow$

$x^3-2\sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -6\sqrt{2} \Leftrightarrow$

$x^3-\left(\sqrt{2}\right)^3 = 6 \left(\sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -\sqrt{2}\right) \Leftrightarrow$

$(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2\right) = 6\cdot\dfrac{6x - 4 \sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \Leftrightarrow$

$(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2\right) = 36\cdot\dfrac{x-\sqrt{2}}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \Leftrightarrow$

$(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2-\dfrac{36}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$x=\sqrt{2}$

Η συνάρτηση στην παρένθεση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left[\frac{2\sqrt{2}}{3},+\infty\right)$

#67

#68

23.

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$

KARKAR · #69

socrates έγραψε:23.

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$

Υποθέτοντας βάσιμα , ότι δεν υπάρχει το

μπροστά από την αφαιρούμενη ρίζα :

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - \sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1+(x+1)^2}=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{(x+1)^2}$

Επειδή $(x+1)^2\geq 0$ και x^2+x+1>0

, το β' μέλος της αρχικής μη αρνητικό .

Αλλά αν $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , τότε κάποιος από τους a,b

είναι μηδέν

και ο κλήρος πέφτει υποχρεωτικά στο (x+1)^2

, οπότε

.

#70

KARKAR έγραψε:
socrates έγραψε:23.

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$
Υποθέτοντας βάσιμα , ότι δεν υπάρχει το μπροστά από την αφαιρούμενη ρίζα :

...

Κι, όμως, υπάρχει...

dimplak · #71

24.

$x^3 + 3x^2 - 3 \sqrt[3]{3x+5} = 1- 3x$

dimplak · #72

socrates έγραψε:23.

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$

Τα υπόρριζα είναι θετικά για κάθε $x \in R$ .

$\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1 \Leftrightarrow$

$\sqrt{2x^2 + 3x + 2} = 2\sqrt{ x^2 + x +1} + (x +1)$

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο οπότε μετά από πράξεις προκύπτει ότι:

$-3x^2 - 3x - 3 = 4(x+1)\sqrt{x^2 + x +1} \Leftrightarrow$

$4(x+1)\sqrt{x^2 + x +1} + 3(x^2 + x + 1) = 0 \Leftrightarrow$

$\sqrt{x^2 + x + 1} [ 4(x+1) + 3 \sqrt{x^2 + x + 1} ] = 0$ ΄

Όμως ισχύει $\sqrt{x^2 + x + 1} > 0$ για κάθε $x \in R$ , οπότε προκύπτει ότι:

$4(x+1) + 3 \sqrt{x^2 + x + 1} = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^2 + x + 1} = -4(x+1)$ .

Για x < - 1

υψώνουμε στο τετράγωνο , οπότε προκύπτει ότι:

7χx^2 + 23x+ 7 = 0

με λύσεις $x_{1,2} = \frac{-23 \pm \sqrt{333}}{14}$

Δεκτή είναι μόνο η λύση $x = \frac{-23 - \sqrt{333}}{14} \approx - 2, 95$ .

STOPJOHN · #73

socrates έγραψε:23.

$\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}$

Καλημέρα

Θέτουμε $w=\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow w^{2}=x^{2}+x+1,w>0$
H εξίσωση γράφεται
$\sqrt{2w^{2}+x}-2w=x+1\Leftrightarrow \sqrt{2w^{2}+x}=2w+x+1\Leftrightarrow 0=2w^{2}+x^{2}+x+1+4w(x+1)\Leftrightarrow 0=3w^{2}+4w(x+1)\Leftrightarrow 3w+4(x+1)=0\Leftrightarrow 3\sqrt{x^{2}+x+1}=-4(x+1)\Leftrightarrow 0=7x^{2}+23x+7,x<-1,2w>-(x+1), x=\dfrac{-23+\sqrt{333}}{14},x=\dfrac{-23-\sqrt{333}}{14}$
Δεκτή η τελευταία τιμή του χ

Γιάννης

dimplak · #74

25.

$2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}$

dimplak · #75

26.

$(x-2) \sqrt{11 -2x} + (x-4) \sqrt{2x - 1} = 2 \sqrt{24x - 4x^2 - 11}$

KARKAR · #76

dimplak · #77

KARKAR έγραψε:

$\sqrt{2x^2-6x+5}=x+\sqrt{-x^2+3x-2}$

Οι περιορισμοί είναι $1 \le x \le 2$ .

Θέτουμε y = x - 1

οπότε $0 \le y \le 1$ και με αντικατάσταση και με πράξεις προκύπτει ότι:

$\sqrt{2y^2 - 2y + 1} = y + 1 + \sqrt{y -y^2}$

Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε πράξεις οπότε προκύπτει ότι:

$2y^2 - 5y = 2(y+1)\sqrt{y - y ^2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$

$\sqrt{y} [ \sqrt{y} (2y - 5) - 2(y+1) \sqrt{1-y}] = 0$

Συνεπώς $\sqrt{y} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (μοναδική λύση) διότι αποδεικνύεται με διάταξη ότι

$\sqrt{y} (2y - 5) - 2(y+1) \sqrt{1-y} < 0$ για $0 \le y \le 1$ .

dimplak · #78

28.

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2$

dimplak · #79

socrates έγραψε:22.
$2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt {x^3 + 8}$

Πρέπει $-2 \le x \le 1$ ή $x \ge 2$ . Τότε έχουμε ότι:

$3 \sqrt{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 2 [ (x^2 - 2x + 4) - (x+2)] \Leftrightarrow$

$3 \sqrt{x+2} \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 [ (x^2 - 2x + 4) - (x+2)] \Leftrightarrow$

3 a b = 2(b^2 - a^2)

όπου $a = \sqrt{x+2}$ και $b= \sqrt{x^2 - 2x + 4}$ (1)

Όμως b > 0

, οπότε διαιρώντας με b^2

προκύπτει από την (1) ότι:

$2 \frac{a^2}{b^2} + 3 \frac{a}{b} - 2 = 0$ και αν θέσουμε $t = \frac{a}{b}$ προκύπτει ότι:

2 t^2 + 3t - 2 = 0

(2) .

Η εξίσωση (2) έχει λύσεις $t = \frac{1}{2}$ (δεκτή) και t = - 2

(απορρίπτεται)

Ἀρα ισχύει ότι:

$\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2 - 2x + 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}$ (δεκτές και οι δύο).

dimplak · #80

29.

$\sqrt{x} \sqrt{2 - x^3} + \sqrt{2x^3 - 1} = - 5x^2 + 12x - 5$

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση