Παραγοντικό (ορισμός)

Συντονιστής: spyros

christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Παραγοντικό (ορισμός)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Παρ Οκτ 16, 2009 10:55 pm

Τι μας οδήγησε στο να ορίσουμε το 0!=1;



Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Σάβ Οκτ 17, 2009 12:38 am

Κατά πάσα πιθανότητα θα είμαι λάθος αλλά μία προσέγγιση ίσως θα ήταν αυτή:
Θέλουμε να διαλέξουμε n άτομα από n άτομα(δεν μας ενδιαφέρει η σειρά),πόσοι τρόποι υπάρχουν:1
Άρα
\binom{n}{n}=1 \Longleftrightarrow \frac{n!}{n! \cdot 0!}=1 \Longleftrightarrow 0!=1....




fmak65
Δημοσιεύσεις: 678
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Τετ Νοέμ 04, 2009 2:57 am

εγω με αυτο τον τροπο εξηγω στους μαθητες μου γιατι α^0 = 1 και α^-1 = 1/α
δηλαδη α^4 = α*α*α*α
α^3 = α^4/α = α*α*α
α^2 = α^3/α = α*α
α^1 = α^2/α = α
α^0 = α^1/α =1
α^-1 = 1/α
α^-2 = (1/α)/α = 1/(α^2)
κ.ο.κ.

ΙΔΕΑ??????????
Μηπως παρομοια μπορουμε να ορισουμε παραγοντικο αρνητικου αριθμου????
μηπως γνωριζει κανεις αν υπαρχει κατι σχετικο ή αν χρειαστηκε πουθενα σε κανενα ερευνητη??????
κυριως η ερωτηση απευθυνετε σε πανεπιστημιακους (π.χ. κ.Λαμπρου κ.α.)που ισως ξερουν κατι περισσοτερο


Μαραντιδης Φωτης

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 04, 2009 1:09 pm

Κατ' αρχάς να ξεκαθαρίσουμε ότι το 0!=1 είναι ορισμός. Δεν θα δώσουμε λοιπόν απόδειξη ότι 0!=1 αλλά επιχειρήματα υπέρ της επιλογής να ορισθεί έτσι. (Σωστά φυσικά ρωτηθηκέ τι μας οδήγησε να ορίσουμε 0!=1. Απλώς το επαναλαμβάνω για να μην ληφθούν αυτά που θα γράψω από κάποιον που μας διαβάζει ως απόδειξη.)

Ιστορικά δεν γνωρίζω την απάντηση. Αυτό που μπορώ να πω είναι ότι αρκετοί τύποι γράφονται πιο εύκολα με αυτό τον ορισμό. Ένας τέτοιος τύπος είναι αυτός που παράθεσε ο Dimitris X. Αν επιλέγαμε οποιοδήποτε άλλο ορισμό για το 0! ο τύπος \displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} } δεν θα ίσχυε για k=0 ή k=n. Μια άλλη περίπτωση είναι από το θεώρημα Taylor. Αν δεν διαλέγαμε 0!=1 θα έπρεπε να γράφαμε π.χ. \displaystyle{e^x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}} αντί του πιο ευπαρουσίαστου \displaystyle{e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}}.

Ένα πιο μοντέρνο επιχείρημα (και σίγουρα μεταγενέστερο του ορισμού του 0!) έχει να κάνει με τον ορισμό της συνάρτησης ως συνόλου. Τι μετράει το n!; Μετράει τον αριθμό των μεταθέσεων n αριθμών. Διαφορετικά, μετράει τον αριθμό τον συναρτήσεων f: \{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\} οι οποίες είναι ένα προς ένα και επί. Ομοίως είναι λογικό να ζητάμε το 0! να μετράει τον αριθμό των συναρτήσεων f: \emptyset \to \emptyset οι οποίες είναι 1-1 και επί. Φυσικά κάποιος θα πει «Τι τρέλλες είναι αυτές. Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις!». Και όμως υπάρχει μία. Αν δούμε κάθε συνάρτηση f:A \to B σαν ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (a,b) (με τις συνθήκη ότι για όλα τα a \in A υπάρχει μοναδικό ζεύγος (a,b) στο σύνολο), τότε το κενό σύνολο είναι μία τέτοια συνάρτηση! Για παρόμοιους λόγους επιλέγουμε να ορίζουμε 0^0 = 1.

Για την ερώτηση του fmak65 αν μπορεί να οριστεί παραγοντικό αρνητικού αριθμού η απάντηση είναι ναι (και όχι). Ο Euler ήταν νομίζω ο πρώτος που μελέτησε πως μπορεί να επεκταθεί το παραγοντικό και για άλλους πραγματικούς αριθμούς όχι μονάχα τους θετικούς ακεραίους. Ήθελε λοιπόν να βρει μια ομαλή καμπύλη που να ενώνει τα σημεία (1,1), (2,2), (3,6), ... Αν και υπάρχουν αρκετοί τρόποι να γίνει αυτό ο Euler κατέληξε στο ακόλουθο ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \; dt}

Το ολοκλήρωμα ορίζεται για κάθε μιγαδικό αριθμο z του οποίου το πραγματικό μέρος είναι θετικό. Επίσης μπορεί να ελεγχθεί ότι \Gamma(n) = (n-1)!. (Εδώ μπορεί κάποιος να πει «Τότε γιατί δεν δουλεύουμε με την συνάρτηση f(z) = \Gamma(z+1) ώστε να έχουμε f(n) = n!; Η συνάρτηση Γάμμα εμφανίζεται τώρα σε αρκετούς τομείς των μαθηματικών και τελικά επικράτησε να χρησιμοποιείται αυτή πάλι διότι θα ήταν πιο βολικό να γράφουμε \Gamma(z) παρά f(z-1).) Μια άλλη ιδιότητα της συνάρτησης Γάμμα είναι ότι \Gamma(z+1) = z\Gamma(z). (για κάθε z με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 0). Μάλιστα είναι η μοναδική συνάρτηση η οποία ικανοποιεί αυτήν την συνθήκη μαζί με την συνθήκη \Gamma(1)=1 και κάποιες επιπλέον συνθήκες κυρτότητας.) Τι γίνεται όμως με αρνητικούς αριθμούς (πιο γενικά για μιγαδικούς αριθμούς με μη θετικό πραγματικό μέρος); Υπάρχει μια διαδικασία "αναλυτικής επέκτασης" η οποία σε αυτήν την περίπτωση λειτουργεί ως εξής: Γνωρίζουμε την συνάρτηση όταν το πραγματικό μέρος του z ανήκει στο (0,1]. Χρησιμοποιώντας τον τύπο \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) και προσποιούμενοι ότι δουλέυει και για κάθε z με πραγματικό μέρος στο (-1,0] μπορούμε να επεκτείνουμε την \Gamma(z) και να την ορίσουμε για κάθε z με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του -1. Με μία εξάιρεση. Δεν ορίσουμε το \Gamma(0) αφού ο τύπος θα έλεγε \Gamma(1) = 0\Gamma(0). Συνεχίζοντας με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να επεκτείνουμε την συνάρτηση Γάμμα και να την ορίσουμε για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους μη θετικούς ακεραίους. (Για αυτόν το λόγο είπα ότι η απάντηση στην ερώτηση ήταν και ναι και όχι. Μάλλον ο fmak65 σκεφτόταν την επέκταση στους αρνητικούς ακεραίους αλλά η συνάρτηση Γάμμα δεν ορίζεται σε αυτούς.) Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα που λέει ότι όπως και να κάνουμε την αναλυτική επέκταση θα καταλήξουμε στην ίδια συνάρτηση. Με άλλα λόγια η κάπως αυθαίρετη επιλογή του τύπου \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) για την επέκταση δεν παίζει κανένα ρόλο. (Για περισσότερες πληροφορίες, απλώς ψάξτε στο google για Gamma function.)



Κωνσταντίνα Ρι
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 02, 2015 4:09 pm

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κωνσταντίνα Ρι » Δευ Νοέμ 02, 2015 4:18 pm

Θα ήθελα να ρωτήσω γιατί ισχύει αυτό (υπάρχει σε μια άσκησή μου που αφορά σύγκλιση σειρών και συγκεκριμένα της \displaystyle{\sum \frac{1}{n!}}) :

\displaystyle{a_n =\frac{1}{n!}, a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!(n+1)}}}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Δευ Νοέμ 02, 2015 5:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Τονισμός κειμένου και διόρθωση LaTeX.



Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Νοέμ 02, 2015 8:44 pm

Demetres έγραψε:.... Για παρόμοιους λόγους επιλέγουμε να ορίζουμε 0^0 = 1. ...
Πρόκειται για τυπογραφικό; Αν και αμφιβάλλω...


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Άβαταρ μέλους
G.Bas
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
Επικοινωνία:

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Bas » Δευ Νοέμ 02, 2015 10:09 pm

Κωνσταντίνα Ρι έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω γιατί ισχύει αυτό (υπάρχει σε μια άσκησή μου που αφορά σύγκλιση σειρών και συγκεκριμένα της \displaystyle{\sum \frac{1}{n!}}) :

\displaystyle{a_n =\frac{1}{n!}, a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!(n+1)}}}
Αν και άκυρο με το αρχικό ποστ, ποια ακριβώς είναι η ερώτησή σου;

Η (a_n) ορίζεται ως a_n=1/n! άρα η a_{n+1} θα είναι η \displaystyle{a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)n!} αφού από τον ορισμό του παραγοντικού είναι (n+1)!=1\cdot 2\cdots n\cdot (n+1)=n!\cdot (n+1).


Let Solutions Say Your Method!

George Basdekis

Cauchy-Schwarz is the best tool!

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 02, 2015 10:55 pm

Christos.N έγραψε:
Demetres έγραψε:.... Για παρόμοιους λόγους επιλέγουμε να ορίζουμε 0^0 = 1. ...
Πρόκειται για τυπογραφικό; Αν και αμφιβάλλω...

Όχι, δεν είναι τυπογραφικό. Πρόκειται για μία σύμβαση που συνηθίζεται σε διάφορες περιστάσεις (όχι όμως στην ελληνική σχολική πραγματικότητα).

Ας δούμε ένα παράδειγμα: Όλοι συμφωνούμε με την γραφή \displaystyle{\sum _{k=0}^{\infty}x^k = \frac {1}{1-x} , \, ~|x| < 1 \, (*)}. Το ίδιο ολογράφως παίρνει την μορφή

\displaystyle{1+x+ x^2 + ... =  \frac {1}{1-x} , \, ~|x| < 1\, (**)}.

Ειδικά για x=0 η τελευταία δίνει, βέβαια, το αληθές 1=1. Πάμε όμως τώρα πίσω στην (*) για να δούμε τι γίνεται αν θέσουμε x=0. Εκεί ο πρώτος όρος (που αντιστοιχεί στο k=0), για x=0 εμφανίζεται ως 0^0. Η σύγκριση αυτού με την (**) μας οδηγεί να υιοθετήσουμε ως "καλή ιδέα" την εκδοχή 0^0=1, παρ΄ όλη την απροσδιοριστία.

Πρόκειται ακριβώς για μία σύμβαση η οποία έχει πρακτικά πλεονεκτήματα αλλά πρέπει πάντα να θυμώμαστε ότι είναι απλά ένας συμβολισμός και δεν πρέπει να κάνουμε πράξεις με χρήση του.

Τέτοιοι "περίεργοι" συμβατικοί συμβολισμοί είναι συχνοί στα Ανώτερα Μαθηματικά. Για παράδειγμα στα Σχολικά Μαθηματικά το 0\cdot \infty είναι ΠΑΝΤΑ απροσδιόριστη μορφή. Αντίθετα στην Θεωρία Μέτρου ΠΑΝΤΑ υιοθετούμε την σύμβαση 0\cdot \infty =0. Δεν ξέρω ούτε ένα βιβλίο Θεωρίας Μέτρου που δεν υιοθετεί την περίεργη αυτή σύμβαση. Ο λόγος είναι γιατί τα θεωρήματα έχουν ενιαία διατύπωση και δεν χρειάζεται να λέμε ότι "εξαιρείται η τάδε περίπτωαση". Καλή ώρα όπως για το \displaystyle{\sum _{k=0}^{\infty}x^k = \frac {1}{1-x} , \, ~|x| < 1 \, (*)} που είδαμε παραπάνω, είναι ανεκτό αλλιώς θα έπρεπε να σημειώσουμε ότι εξαιρείται το x=0 , το οποίο όμως δεν εξαιρείται στην (**).



Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παραγοντικό (ορισμός)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Νοέμ 03, 2015 12:24 am

Βρήκα και αυτό , ελπίζω να φανεί χρήσιμο, ειδικότερα η υποενότητα "Μηδέν στη μηδενική δύναμη".


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες