Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

mathstudent03 · #1

Διαβάζοντας δυναμοσειρές στους πραγματικούς και τους μιγαδικούς παρατήρησα κάτι ενδιαφέρον:
Στους μιγαδικούς αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάποια περιοχή τότε είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη και αναλυτική δηλαδή αναλύεται σε δυναμοσειρά.
Στο R μπορεί να έχεις μια συνάρτηση, με το πολυώνυμο Taylor της να συγκλίνει σε κάποια περιοχή (δηλαδή είμαστε εντός της ακτίνας σύγκλισης της δυναμοσειράς), αλλά να μη συγκλίνει στη συνάρτηση της οποίας είναι το ανάπτυγμα Taylor. Για να επιβεβαιώσουμε ότι το ανάπτυγμα συγκλίνει στη συνάρτηση που θέλουμε πρέπει να πάρουμε το υπόλοιπο και να ελέγξουμε ότι τείνει στο 0. (Αν κάπου λέω κάτι λάθος ας με διορθώσει κάποιος).
Μπορεί κάποιος να μου δείξει ένα τέτοιο παράδειγμα γιατί το έχω απορία;
Δηλαδή ζητάω μια συνάρτηση που θα αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά που θα συγκλίνει σε κάποια περιοχή, αλλά όχι στη συνάρτηση της οποίας είναι το ανάπτυγμα.

#2

mathstudent03 έγραψε:...Στο R μπορεί να έχεις μια συνάρτηση, με το πολυώνυμο Taylor της να συγκλίνει σε κάποια περιοχή (δηλαδή είμαστε εντός της ακτίνας σύγκλισης της δυναμοσειράς), αλλά να μη συγκλίνει στη συνάρτηση της οποίας είναι το ανάπτυγμα Taylor. Για να επιβεβαιώσουμε ότι το ανάπτυγμα συγκλίνει στη συνάρτηση που θέλουμε πρέπει να πάρουμε το υπόλοιπο και να ελέγξουμε ότι τείνει στο 0. (Αν κάπου λέω κάτι λάθος ας με διορθώσει κάποιος). ...

mathstudent03
καλώς όρισες στο mathematica.gr

Από τα γραφόμενά σου, δυστυχώς, δεν μπόρεσα να καταλάβω τι ακριβώς ρωτάς. Όμως, όπως και να έχει, υπάρχουν κάποια ασαφή σημεία στην διατύπωσή σου που θα πρέπει να ξεκαθαριστούν. Τουτέστιν:
Τι εννοείς γράφοντας το "...πολυώνυμο Taylor της να συγκλίνει σε κάποια περιοχή..." ; Αν με το πολυώνυμο Taylor, εννοείς
1) μόνο το $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=0}^{\nu-1}\frac{f^{({i})}_{\nu}({x_0})}{i!}\,({x-x_0})^{i}$ δεν λέμε ότι "συγκλίνει σε κάποια περιοχή" ,
2) το $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=0}^{\nu-1}\frac{f^{({i})}_{\nu}({x_0})}{i!}\,({x-x_0})^{i}+R_{\nu}$ , τότε το "συγκλίνει σε κάποια περιοχή" και το "το υπόλοιπο ότι τείνει στο 0" είναι, ουσιαστικά, το ίδιο.

Επίσης στα όσα γράφεις συγχέονται οι έννοιες πολυώνυμο Taylor και δυναμοσειρά.

Οι παραπάνω παρατηρήσεις δεν γίνονται εξ αιτίας κάποιων τυπικών ασαφειών. Στα Μαθηματικά, όταν οι έννοιες είναι ξεκαθαρισμένες, τα τυπικά προβλήματα υπερπηδώνται. Νομίζω, επομένως, ότι πρώτα πρέπει ο ίδιος να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες που αναφέρεις, ώστε το ερώτημά σου να είναι σαφές.

Ελπίζω κάποιος άλλος συνάδελφος να μπορεί να βοηθήσει περισσότερο.

φιλικά

#3

To στάνταρ παράδειγμα είναι η συνάρτηση

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} e^{-\frac {1}{x^2}} \text{ if } x\ne 0 \\ 0 \text{ if } x= 0 \end{cases}$

Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι η

είναι άπειρα παραγωγίσιμη (το μόνο προβληματικό σημείο είναι το x=0

) και ότι η παράγωγος στο x=0

κάθε τάξης ισούται με

, δηλαδή είναι $\displaystyle f^{(n)}(0)=0\, \, \forall n \in \mathbb N$ .
Με άλλα λόγια, το ανάπτυγμα Taylor της

, αν δεν ελέγξουμε το σφάλμα, είναι η μηδενική δυναμοσειρά, δηλαδή όχι η

.

Την συνάρτηση αυτή ή τις παραλλαγές της θα τη βρεις στα καλά βιβλία Απειροστικού Λογισμού. Π.χ. έψαξες στον Νεγρεπόντη; Πάω στοίχημα ότι κάτι παρεμφερές θα βρεις εκεί.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathstudent03 · #4

Πολύ εντυπωσιακό παράδειγμα. Δυστυχώς δεν έχω το Νεγρεπόντη. Θα δω μήπως το βρω κάπου.
Ευχαριστώ πάρα πολύ και τους 2... και καλώς σας βρήκα

mathstudent03 · #5

Ασχολήθηκα με τη συνάρτηση και έκανα κάποιες σκέψεις που θα ήθελα να καταθέσω:

Η συνάρτηση αυτή έχει την περίεργη ιδιότητα να δίνει ανάπτυγμα Taylor που συγκλίνει, αλλά όχι στη συνάρτηση από την οποία προήλθε. Αυτό εμένα μου λέει ότι αν θεωρήσω την επέκτασή της στους μιγαδικούς τότε δε θα είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη (γιατί τότε θα ήταν αναλυτική και το ανάπτυγμά της θα έδινε τη συνάρτηση, πράγμα που δε συμβαίνει).
Έκανα μια προσπάθεια να αποδείξω και κατασκευαστικά ότι δεν παραγωγίζεται στο C με τη μιγαδική έννοια. Αρχικά πήγα με τις εξισώσεις Cauchy-Riemann και τα έμπλεξα. Μετά προσπάθησα με τον ορισμό και η κατάσταση ήταν απροσδόκητα απλή. Καθώς πήρα το λόγο μεταβολής και προσέγγιζα από τον πραγματικό και τον φανταστικό άξονα κατέληξα σε 2 διαφορετικά όρια επιβεβαιώνοντας αυτό που περίμενα, δηλαδή ότι η συνάρτηση είναι μη παραγωγίσιμη.

Το πρώτο ερώτημα που με απασχόλησε είναι το εξής:
Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η περίεργη συμπεριφορά της f στο R οφείλεται στο ότι είναι μη παραγωγίσιμη μιγαδικά; Αν ναι μου φαίνεται πολύ ενδιαφέρον το ότι μια πραγματική συνάρτηση έχει μια περίεργη συμπεριφορά που βρίσκει την εξήγησή της εκτός του R, αλλά στο C.

Πάντως είναι λογικό ότι αν έχω αυτή τη συγκεκριμένη περίεργη συμπεριφορά να έχω αναγκαστικά μη παραγωγίσιμη συνάρτηση στο C.
Το δεύτερο ερώτημα είναι το εξής:
Το αντίστροφο ισχύει; Δηλαδή έστω ότι έχω μια συνάρτηση πραγματική και απείρως παραγωγίσιμη στο R που το ανάπτυγμα Taylor συγκλίνει και που η μιγαδική επέκτασή της είναι μη παραγωγίσιμη μιγαδικά. Τότε αυτό συνεπάγεται ότι το ανάπτυγμα Taylor στο R θα συγκλίνει κάπου αλλά όχι στη συνάρτησή μου;

Και ένα τρίτο ερώτημα: δυσκολεύτηκα στο να αποδείξω το ότι η f που αναφέρατε στο προηγούμενο μήνυμα έχει στο 0 όλες τις παραγώγους ίσες με 0

. Πως γίνεται αυτό;

#6

mathstudent03 έγραψε:..Και ένα τρίτο ερώτημα: δυσκολεύτηκα στο να αποδείξω το ότι η f που αναφέρατε στο προηγούμενο μήνυμα έχει στο 0 όλες τις παραγώγους ίσες με 0 . Πως γίνεται αυτό;

Με επαγωγή στο όριο πηλίκου διαφορών $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}\dfrac{f^{({n})}(x)-0}{x-0}$ .

Υ.Γ. Δεν είναι ντροπή να "κολλάει" κάποιος. Σε όλους συμβαίνει!

mathstudent03 · #7

Μέχρι εκεί το έφτασα. Δηλαδή για n=1 βγαίνει (έκανα και λίγο de l’ hospital) ελπίζω να έχω το δικαίωμα γιατί δεν έχει αποδειχτεί ακόμα η παραγωγισιμότητα στο 0 αλλά εγώ μιλάω για την υπόλοιπη περιοχή και παίρνω το όριο καθώς $x\rightarrow 0$

Μετά πήγα στο επαγωγικό βήμα. Δέχτηκα ότι f^n(0)=0

και θέλω να δείξω ότι $f^{n+1}(0)=0$ . Πήρα το λόγο (όπως γράψατε) και είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ . Θέλω να κάνω de l’ hospital αλλά δεν έχω τον τύπο της f^n(x)

στην υπόλοιπη περιοχή. Εκεί σκάλωσα.
Μου βγαίνει δηλαδή
$\lim_{\frac{f^n(x)-f^n(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f^n(x)}{x}}$
Είναι μορφή $\frac{0}{0}$ και εφαρμόζω de l’ hospital. Οπότε βγαίνει
$\lim_{x\rightarrow 0}f^{n+1}(x)$

Εδώ κόλλησα. Και λέω ότι θέλω τον τύπο της παραγώγου στην υπόλοιπη περιοχή. Αν δεν κάνω λάθος δηλαδή αυτό που καταλαβαίνω είναι ότι πρέπει να βρω και τον επαγωγικό τύπο της παραγώγου

#8

mathstudent03 έγραψε: Το πρώτο ερώτημα που με απασχόλησε είναι το εξής:
Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η περίεργη συμπεριφορά της f στο R οφείλεται στο ότι είναι μη παραγωγίσιμη μιγαδικά; Αν ναι μου φαίνεται πολύ ενδιαφέρον το ότι μια πραγματική συνάρτηση έχει μια περίεργη συμπεριφορά που βρίσκει την εξήγησή της εκτός του R, αλλά στο C.

Πάντως είναι λογικό ότι αν έχω αυτή τη συγκεκριμένη περίεργη συμπεριφορά να έχω αναγκαστικά μη παραγωγίσιμη συνάρτηση στο C.
Το δεύτερο ερώτημα είναι το εξής:
Το αντίστροφο ισχύει; Δηλαδή έστω ότι έχω μια συνάρτηση πραγματική και απείρως παραγωγίσιμη στο R που το ανάπτυγμα Taylor συγκλίνει και που η μιγαδική επέκτασή της είναι μη παραγωγίσιμη μιγαδικά. Τότε αυτό συνεπάγεται ότι το ανάπτυγμα Taylor στο R θα συγκλίνει κάπου αλλά όχι στη συνάρτησή μου;

Το πρόβλημα με αυτά τα δύο ερωτήματα είναι πως δεν μπορούμε πάντα να δώσουμε νόημα στην «μιγαδική επέκταση μιας πραγματικής συνάρτησης». Φαντάζομαι στην συγκεκριμένη περίπτωση εννοείς την συνάρτηση $f(z) = e^{-1/z^2}$ για $z \neq 0$ και f(0) = 0

. Γιατί όμως να είναι αυτή η «μιγαδική της επέκταση»; Και ποια θα ήταν η μιγαδική επέκταση της συνάρτησης $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x > 0 \\ 0 & x \leqslant 0.\end{cases}}$

Αυτό που ισχύει είναι ότι αν υπάρχει επέκταση που να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη τότε αυτή είναι μοναδική. Πιο συγκεκριμένα, αν f,g

είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις με f(x) = g(x)

για κάθε πραγματικό

, τότε

για κάθε μιγαδικό

. Οπότε σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε πράγματι να μιλάμε για την «μιγαδική επέκταση» (analytic continuation στην βιβλιογραφία) της συνάρτησης. Αυτό είναι συνέπεια του identity theorem.

Αν μια συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παντού απείρως παραγωγίσιμη και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η σειρά Taylor γύρω από το

συγκλίνει στο f(x)

ονομάζονται αναλυτικές.

Οπότε: Αν η

δεν είναι αναλυτική τότε ασφαλώς δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια μιγαδικώς παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{C}$ . Για το αντίστροφο, νομίζω πως αν η

είναι αναλυτική, τότε μπορεί να επεκταθεί σε ένα μια μιγαδικώς παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb{C}$ αλλά όχι απαραίτητα σε όλο το $\mathbb{C}$ .

#9

mathstudent03 έγραψε:...Εδώ κόλλησα. Και λέω ότι θέλω τον τύπο της παραγώγου στην υπόλοιπη περιοχή. Αν δεν κάνω λάθος δηλαδή αυτό που καταλαβαίνω είναι ότι πρέπει να βρω και τον επαγωγικό τύπο της παραγώγου

Δεν είναι απαραίτητο να βρεθεί ακριβώς ο τύπος της $f^{(n)}$ .

Μία νύξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathstudent03 · #10

Demetres έγραψε: Το πρόβλημα με αυτά τα δύο ερωτήματα είναι πως δεν μπορούμε πάντα να δώσουμε νόημα στην «μιγαδική επέκταση μιας πραγματικής συνάρτησης». Φαντάζομαι στην συγκεκριμένη περίπτωση εννοείς την συνάρτηση $f(z) = e^{-1/z^2}$ για $z \neq 0$ και . Γιατί όμως να είναι αυτή η «μιγαδική της επέκταση»; Και ποια θα ήταν η μιγαδική επέκταση της συνάρτησης $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x > 0 \\ 0 & x \leqslant 0.\end{cases}}$

Εννοούσα ότι απλά αλλάζεις το x με το z, αλλά τελικά το θέμα δεν είναι τόσο απλό όταν εμπλέκονται θέματα διάταξης.

Demetres έγραψε: Αυτό που ισχύει είναι ότι αν υπάρχει επέκταση που να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη τότε αυτή είναι μοναδική. Πιο συγκεκριμένα, αν είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις με για κάθε πραγματικό , τότε για κάθε μιγαδικό . Οπότε σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε πράγματι να μιλάμε για την «μιγαδική επέκταση» (analytic continuation στην βιβλιογραφία) της συνάρτησης. Αυτό είναι συνέπεια του identity theorem.

Αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον.

grigkost έγραψε: Δεν είναι απαραίτητο να βρεθεί ακριβώς ο τύπος της $f^{(n)}$ .

Μία νύξη:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Να αποδειχθεί ότι γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει $f^{(n)}({x})=\dfrac{P_{n}({x})}{x^{3n}}\,e^{-\frac{1}{x^2}}$ , $x\in\mathbb{R}^{*}$ , όπου $P_{n}({x})$ είναι ένα πολυώνυμο (τι βαθμού; ) .

Το κοίταξα αυτό με την παραγώγιση. Δε χρειάζεται να δεις ακριβώς το βαθμό (πρέπει πάντως να είναι 2(n-1)) για n παραγωγίσεις. Μπορείς εύκολα να δεις ότι ο βαθμός του παρονομαστή ανεβαίνει κατά 3 και του αριθμητή κατά 2. Οπότε έχεις γινόμενο 2 συναρτήσεων που τείνουν στο 0.

Αυτό που αξιζει να κρατηθεί σαν ιδέα είναι ότι δε χρειάζεται να βρεις τον ακριβή τύπο για να βρεις το όριο. Μπορείς να δεις τι γίνεται με τους μεγιστοβάθμιους όρους αφού αυτοί θα καθορίσουν την κατάσταση. Για να είμαι ειλικρινής δε συνέχισα το ψάξιμο προς αυτή την κατεύθυνση γιατί πίστευα πως θα μου έχει ξεφύγει κάτι και θα είναι πιο απλό (πχ θα έβγαινε αμέσως με κάποιο τρυκ).

Έμαθα αρκετά από αυτή την κουβέντα. Ευχαριστώ πάρα πολύ.

mathematica.gr

Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Re: Σύγκλιση δυναμοσειράς σε πραγματικούς και μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση