πράξεις με το άπειρο

math · #1

Χαιρετώ την μεγάλη και αξιόλογη παρέα του mathematica. Θα ήθελα να ρωτήσω σχετικά με το άπειρο και τις πράξεις που εμφανίζονται κατά τον υπολογισμό ορίων. Ακούω από πολλούς συναδέλφους μαθηματικούς ότι δεν πρέπει να εμφανίζονται οι πράξεις με το άπειρο δηλαδή το παρακάτω δεν πρέπει να φαίνεται
$\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}} \right)=-2\cdot \left( +\infty \right)=-\infty }$

analisi oebd 1992 2.pdf: παράδειγμα; (405.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 133 φορές

Τελικά τι ισχύει? Στην βαθμολόγηση θα κόβατε κάτι τέτοιο όσοι βαθμολογείτε;

#2

Καταρχήν καλώς όρισες στην παρέα μας.

Εγώ δεν θα ήθελα να εμφανίζεται μια τέτοια πράξη σε ένα γραπτό,

αλλά παράλληλα ποτέ δεν θα υποστήριζα ότι πρέπει να κοπούν μονάδες από κάποιο μαθητή που το χρησιμοποιεί.

math · #3

Στο παλιό βιβλίο της Ανάλυσης, πάντως, επιτρέπονταν. Όπως φαίνεται και στο pdf που ανέβασα, το είχε και σαν παράδειγμα το σχολικό βιβλίο. Τελικά είναι λάθος και γιατί; Τι μεσολάβησε και το νέο σχολικό αποφεύγει να γράψει τέτοιες πράξεις;

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Τονισμός των λέξεων και λοιπά.

#4

Νομίζω ότι αν μπούμε στη διαδικασία να θεωρούμε τέτοια πράγματα "λάθος" κινδυνεύουμε να καταλήξουμε εδώ.

#5

math έγραψε:Χαιρετώ την μεγάλη και αξιόλογη παρέα του mathematica. Θα ήθελα να ρωτήσω σχετικά με το άπειρο και τις πράξεις που εμφανίζονται κατά τον υπολογισμό ορίων. Ακούω από πολλούς συναδέλφους μαθηματικούς ότι δεν πρέπει να εμφανίζονται οι πράξεις με το άπειρο δηλαδή το παρακάτω δεν πρέπει να φαίνεται
$\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}} \right)=-2\cdot \left( +\infty \right)=-\infty }$
analisi oebd 1992 2.pdf
Τελικά τι ισχύει? Στην βαθμολόγηση θα κόβατε κάτι τέτοιο όσοι βαθμολογείτε;

Χρόνια πολά και καλωσήρθες στην οικογένεια του mathematica.

- Στη σχολική τάξη προσπαθούμε να είμαστε κοντά στους συμβολισμούς του σχολικού βιβλίου και ως εκ τούτου αποφεύγουμε όσο μπορούμε τις ''επιτρεπτές'' πράξεις με τα άπειρα.

- Από την άλλη, μια και είναι ζήτημα σύμβασης και όχι μαθηματικής ουσίας και η πράξη δείχνει ότι ο μαθητής τα καταφέρνει πολύ καλά όταν χρησιμοποιεί αυτές τις πράξεις, δεν έχει νόημα να αποτρέψουμε το μαθητή να τις χρησιμοποιεί ή να μην του τις δείξουμε ως εναλλακτική γραφή(μόνο για γραφή πρόκειται και όχι για κάτι άλλο).

- Αν ισχυριστούμε ότι είναι λάθος η χρήση αυτών των πράξεων, τότε είναι σα να κοροϊδεύουμε ή να υποτιμάμε τον εαυτό μας, αφού πχ στα προγηγούμενα σχολικά βιβλία αυτό περιέχονταν ως θεωρία(επέκταση των πράξεων), αλλά και επειδή αυτό είναι μια παγκόσμια πια πρακτική. Με πολύ θλίψη θυμάμαι παλιές συζητήσεις για το αν η χρήση της συνεπαγωγής ήταν λάθος ή απαγορευμένη ενέργεια επειδή δεν την είχαν τα προηγούμενα βιβλία και μερικοί συνομιλητές μας επέμεναν ότι ήταν λάθος.Τι θα έλεγαν όμως τώρα που το σχολικό την επανέφερε στην α΄λυκείου ; Το σχολικό δεν μπορεί ποτέ - και δεν πρέπει ποτέ - να υπερκεράσει τη μαθηματική παιδεία και αξία του δασκάλου, διότι διαφορετικά ή το βιβλίο είναι ακατάλληλο ή ο δάσκαλος ανεπαρκής. Τα σχολικά βιβλία αποτελούν πάντα το βασικό οδηγό και τίποτα περισσότερο.

- Για στέρηση μονάδων σε γραπτό Πανελληνίων εξετάσεων που θα είχε μια τέτοια πράξη , δεν τολμώ καν να φανταστώ και στο πιο εφιαλτικό σενάριο ότι θα μπορούσε να υπάρξει τέτοια εκδοχή.

- Ο αντίλογος ότι δεν μπορεί ο καθένας να εισάγει νέες έννοιες ή σύμβολα κλπ έχει βάση, αλλά δεν ταιριάζει με την περίπτωση που συζητάμε και προφανώς κανένας δεν έχει διαφορετική άποψη.

- Προσωπικά αποφεύγω αυτές τις πράξεις μόνο και μόνο για να μην επιφορτίσω το μαθητή με κάτι που δε θα το δει στο βιβλίο του.Θα πρότεινα όμως σε μια ανανέωση του σχολικού βιβλίου να αναγραφούν οι πράξεις στη σχετική ενότητα, διότι διδακτικά η χρήση τους είναι αποτελεσματική, μια και στο μυαλό μας αυτή η πράξη γίνεται, είτε το λέμε είτε όχι !

Μπάμπης

math · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
math έγραψε:Χαιρετώ την μεγάλη και αξιόλογη παρέα του mathematica. Θα ήθελα να ρωτήσω σχετικά με το άπειρο και τις πράξεις που εμφανίζονται κατά τον υπολογισμό ορίων. Ακούω από πολλούς συναδέλφους μαθηματικούς ότι δεν πρέπει να εμφανίζονται οι πράξεις με το άπειρο δηλαδή το παρακάτω δεν πρέπει να φαίνεται
$\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}} \right)=-2\cdot \left( +\infty \right)=-\infty }$
analisi oebd 1992 2.pdf
Τελικά τι ισχύει? Στην βαθμολόγηση θα κόβατε κάτι τέτοιο όσοι βαθμολογείτε;
Χρόνια πολά και καλωσήρθες στην οικογένεια του mathematica.

- Στη σχολική τάξη προσπαθούμε να είμαστε κοντά στους συμβολισμούς του σχολικού βιβλίου και ως εκ τούτου αποφεύγουμε όσο μπορούμε τις ''επιτρεπτές'' πράξεις με τα άπειρα.

- Από την άλλη, μια και είναι ζήτημα σύμβασης και όχι μαθηματικής ουσίας και η πράξη δείχνει ότι ο μαθητής τα καταφέρνει πολύ καλά όταν χρησιμοποιεί αυτές τις πράξεις, δεν έχει νόημα να αποτρέψουμε το μαθητή να τις χρησιμοποιεί ή να μην του τις δείξουμε ως εναλλακτική γραφή(μόνο για γραφή πρόκειται και όχι για κάτι άλλο).

- Αν ισχυριστούμε ότι είναι λάθος η χρήση αυτών των πράξεων, τότε είναι σα να κοροϊδεύουμε ή να υποτιμάμε τον εαυτό μας, αφού πχ στα προγηγούμενα σχολικά βιβλία αυτό περιέχονταν ως θεωρία(επέκταση των πράξεων), αλλά και επειδή αυτό είναι μια παγκόσμια πια πρακτική. Με πολύ θλίψη θυμάμαι παλιές συζητήσεις για το αν η χρήση της συνεπαγωγής ήταν λάθος ή απαγορευμένη ενέργεια επειδή δεν την είχαν τα προηγούμενα βιβλία και μερικοί συνομιλητές μας επέμεναν ότι ήταν λάθος.Τι θα έλεγαν όμως τώρα που το σχολικό την επανέφερε στην α΄λυκείου ; Το σχολικό δεν μπορεί ποτέ - και δεν πρέπει ποτέ - να υπερκεράσει τη μαθηματική παιδεία και αξία του δασκάλου, διότι διαφορετικά ή το βιβλίο είναι ακατάλληλο ή ο δάσκαλος ανεπαρκής. Τα σχολικά βιβλία αποτελούν πάντα το βασικό οδηγό και τίποτα περισσότερο.

- Για στέρηση μονάδων σε γραπτό Πανελληνίων εξετάσεων που θα είχε μια τέτοια πράξη , δεν τολμώ καν να φανταστώ και στο πιο εφιαλτικό σενάριο ότι θα μπορούσε να υπάρξει τέτοια εκδοχή.

- Ο αντίλογος ότι δεν μπορεί ο καθένας να εισάγει νέες έννοιες ή σύμβολα κλπ έχει βάση, αλλά δεν ταιριάζει με την περίπτωση που συζητάμε και προφανώς κανένας δεν έχει διαφορετική άποψη.

- Προσωπικά αποφεύγω αυτές τις πράξεις μόνο και μόνο για να μην επιφορτίσω το μαθητή με κάτι που δε θα το δει στο βιβλίο του.Θα πρότεινα όμως σε μια ανανέωση του σχολικού βιβλίου να αναγραφούν οι πράξεις στη σχετική ενότητα, διότι διδακτικά η χρήση τους είναι αποτελεσματική, μια και στο μυαλό μας αυτή η πράξη γίνεται, είτε το λέμε είτε όχι !

Μπάμπης

Με κάλυψες απόλυτα και με βρίσκεις απόλυτα σύμφωνο με όσα γράφεις. Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις.

math · #7

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Νομίζω ότι αν μπούμε στη διαδικασία να θεωρούμε τέτοια πράγματα "λάθος" κινδυνεύουμε να καταλήξουμε εδώ.

Συμφωνώ απόλυτα.

kostaskyritsis · #8

Προσωπικά εξηγώ το θέμα στους μαθητές. Δηλ. ότι σε κάποια βιβλιογραφία επιτρέπεται και σε άλλες όχι και τους προτείνω να βάζουν τη συμβατική πράξη σε παρένθεση και να γράφουν:
$\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}} \right)=(-2\cdot \left( +\infty \right) )=-\infty }$

ή

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{5}{x^2}=\left(\frac{5}{0^+}\right)=+\infty$

#9

Ήθελα να γράψω από την πρώτη μέρα τη γνώμη μου για το θέμα αλλά δεν τα κατάφερα. Το κάνω τώρα.

Αυτό που παραθέτει ο "math" είναι από το αντίστοιχο βιβλίο της 1ης Δέσμης που είχα την τύχη κι εγώ να διδαχθώ. Στο βιβλίο αυτό και συγκεκριμένα στη σελίδα 74-75 όριζε το "επεκτεταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών: $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ " με άλλα λόγια το συμπαγές σύνολο των πραγματικών αριθμών μέσα στο οποίο συμπεριελάμβανε τους $\pm\infty$ και τους αντιμετώπιζε ως αριθμούς με τις ιδιότητες της διάταξης τις οποίες δεχόταν: "Για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό $a\in\mathbb{R}$ ισχύει $-\infty < a$ , $a<+\infty$ , $-\infty<+\infty$ " και αμέσως μετά είχε ένα πίνακα με πράξεις στο $\overline{\mathbb{R}}$ . Από το σημείο αυτό και μετά χρησιμοποιεί τα $\pm\infty$ ως πραγματικούς αριθμούς κάνοντας λογισμό και υπολογίζοντας όρια χρησιμοποιώντας τα - όπως στο παράδειγμα του math - κατά τη διάρκεια υπολογισμού του ορίου.

Εκεί νομίζω έχει τις ρίζες του ο συγκεκριμένος προβληματισμός. Παρά λοιπόν το ότι τονίζω στους μαθητές ότι δε νομιμοποιούνται - σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο - να χρησιμοποιούν ως πραγματικούς αριθμούς τους $\pm\infty$ , τους αναφέρω ότι το συγκεκριμένο θέμα είναι καθαρά θέμα σύμβασης. Εννοείται ότι προτιμότερο είναι να δεχτούμε αυτή τη σύμβαση που είχε και το σχολικό βιβλίο της 1ης Δέσμης για να μην υπάρχουν προβλήματα.

Όμως τις λίγες φορές που έχω τύχει στο βαθμολογικό κέντρο και έχει τεθεί ο προβληματισμός δεν υπήρξε ποτέ πρόταση από οποιονδήποτε συνάδελφο να θεωρήσει ελλειπή (και ακόμα χειρότερα λανθασμένη) μία απάντηση που χρησιμοποιεί τα $\pm\infty$ ως πραγματικούς αριθμούς. Και πολύ σωστά!!

Με την ευκαιρία του παραπάνω προβληματισμού, να πω ότι έχω παρατηρήσει κατά καιρούς ότι συμβαίνει το εξής: Παρά το ότι στην ύλη δεν συμπεριλαμβάνονται ή εξαιρούνται αποδείξεις θεωρημάτων (που όμως υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο), εντούτοις κυκλοφορούν πολλές ασκήσεις στο σχολικό είτε σε εξωσχολικά βιβλία που έχουν τις ιδέες που συμπεριλαμβάνονται σε αυτές τις αποδείξεις.

Χαρακτηριστικό το παράδειγμα με τις διαφορικές εξισώσεις και ακόμη πιο χειροπιαστό οι ασκήσεις στα όρια που για να τα υπολογίσεις χρειάζεται να προσθαφαιρέσεις κάτι στον αριθμητή (ή στον παρονομαστή) ιδέα η οποία υπάρχει στον υπολογισμό παραγώγου του γινομένου 2 συναρτήσεων (εκτός ύλης). Ως παράδειγμα αναφέρω την άσκηση 7 Β ομάδα σελίδα 240 και το θέμα 4γ των Πανελληνίων Εξετάσεων του 2008 που όχι μόνο δεν είναι εκτός ύλης (μιλάω για την άσκηση 7), αλλά τίθεται και ως θέμα στις πανελλήνιες εξετάσεις.

Το παραπάνω το τονίζω πάντοτε στους μαθητές μου! Μπορεί οι αποδείξεις να μπαίνουν ή να βγαίνουν από την ύλη όμως η ασκησιολογία γύρω από αυτές τις ιδέες που κρύβει η απόδειξη μένει και κυκλοφορεί από βιβλίο σε βιβλίο!! Αυτός είναι και ο λόγος που πάντοτε επιλέγω να κάνω κάποιες αποδείξεις ακόμη κι αν είναι εκτός ύλης. Ο μαθητής μόνο κερδισμένος μπορεί να βγει από αυτή τη διαδικασία! Έτσι διδάσκω πάντοτε την απόδειξη της παραγωγισιμότητας του γινομένου δύο συναρτήσεων, την απόδειξη για το ότι $|\sin{x}|\leq |x|$ , ότι $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1$ κτλ κτλ...

Αλέξανδρος

mathematica.gr

πράξεις με το άπειρο

πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Re: πράξεις με το άπειρο

Μέλη σε σύνδεση