Μιγαδικοί με ανάλυση ...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί $z\ne 0$ για τους οποίους ισχύει ${{z}^{3}}=\bar{z}\cdot {{3}^{1-\left| z \right|}}$ .
Α) Να δείξετε ότι οι εικόνες των

είναι σημεία του κύκλου με κέντρο

και ακτίνα

.
Β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του $\left| z+1+2i \right|$ .

tdsotm111 · #2

Είναι: $z^3=\bar{z}\cdot 3^{1-|z|} \Leftrightarrow z^3 \cdot 3^{|z|}=3\bar{z} \Rightarrow |z|^3\cdot 3^{|z|}=3|z|$ (1)
όμως $z\ne 0$ άρα |z|>0

και η (1) γίνεται: $|z|^2\cdot 3^{|z|}=3$ με προφανή ρίζα την |z|=1

.
Εύκολα δείχνουμε ότι η ρίζα είναι μοναδική:
Αν $f(x)=x^2\cdot 3^x-3$ με x>0

είναι $f'(x)=2x \cdot 3^x+x^2\cdot 3^x ln3>0$ , άρα η f γν. αύξουσα άρα και 1-1 άρα η ρίζα χ=1 είναι μοναδική.

Ακόμα είναι:
$||z|-|1+2i||\le |z+1+2i|\le |z|+|1+2i| \Leftrightarrow$
$|1-\sqrt{5}| \le |z+1+2i| \le 1+\sqrt{5} \Leftrightarrow$
$\sqrt{5}-1 \le |z+1+2i| \le 1+\sqrt{5}$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

tdsotm111 έγραψε:
Ακόμα είναι:
$||z|-|1+2i||\le |z+1+2i|\le |z|+|1+2i| \Leftrightarrow$
$|1-\sqrt{5}| \le |z+1+2i| \le 1+\sqrt{5} \Leftrightarrow$
$\sqrt{5}-1 \le |z+1+2i| \le 1+\sqrt{5}$

Η τριγωνική ανισότητα δεν εξασφαλίζει (από μόνη της) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή .
Επιπλέον η συγκεκριμένη άσκηση έχει παγίδα ...

kochris · #4

tdsotm111 έγραψε:Είναι: $z^3=\bar{z}\cdot 3^{1-|z|} \Leftrightarrow z^3 \cdot 3^{|z|}=3\bar{z} \Rightarrow |z|^3\cdot 3^{|z|}=3|z|$ (1)
όμως $z\ne 0$ άρα και η (1) γίνεται: $|z|^2\cdot 3^{|z|}=3$ με προφανή ρίζα την .
Εύκολα δείχνουμε ότι η ρίζα είναι μοναδική:
Αν $f(x)=x^2\cdot 3^x-3$ με είναι $f'(x)=2x \cdot 3^x+x^2\cdot 3^x ln3>0$ , άρα η f γν. αύξουσα άρα και 1-1 άρα η ρίζα χ=1 είναι μοναδική.
....

Πρέπει να βρούμε ποιοι μιγαδικοί του μοναδιαίου κύκλου ικανοποιούν την εξίσωση $z^3=\bar{z}$ ...

tdsotm111 · #5

Πραγματικά, για z=x+yi

με $x,y\ne 0$ και |z|=1

λύνουμε το σύστημα:
x^2+y^2=1

(1)

(2) οπότε (αν δεν κάνω λάθος) βρίσκουμε 4 μιγαδικούς τους:
$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
και επομένως γνωρίζοντας τους μιγαδικούς μπορούμε να βρούμε και να συγκρίνουμε τα 4 μέτρα |z+1+2i|

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #6

tdsotm111 έγραψε:Πραγματικά, για με $x,y\ne 0$ και λύνουμε το σύστημα:
(1)
(2) οπότε (αν δεν κάνω λάθος) βρίσκουμε 4 μιγαδικούς τους:
$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
$z_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
και επομένως γνωρίζοντας τους μιγαδικούς μπορούμε να βρούμε και να συγκρίνουμε τα 4 μέτρα

Φίλε tdsotm111 πρέπει να έκανες λάθος πράξεις ...
Σου έχω στείλει και προσωπικό μήνυμα ...

tdsotm111 · #7

Χρήστο έχεις δίκιο, έκανα βιαστικά τις πράξεις...
Οι μιγαδικοί είναι οι 1,-1, i,-i

Ανδρέας

Ωmega Man · #8

Για το πρώτο |z|>0

.

$z^{3} = \bar{z} 3^{1-|z|}\Rightarrow z^{4} = |z|^{2} 3^{1-|z|} \Rightarrow |z|^{4} = |z|^{2} 3^{1- |z|}\Rightarrow |z|^{2} = 3^{1-|z|}$

$\Rightarrow 2\ln|z| = (1-|z|)\ln|3|$ , το ln|3|>0 παίρνουμε τις περιπτώσεις
$\bullet |z|<1$ , τότε το αριστερό μέλος είναι αρνητικό και το δεξί θετικός
$\bullet |z|=1$ , ικανοποιεί την τελευταία ισότητα 0=0
$\bullet |z|>1$ , το αριστερό μέλος είναι θετικό και το δεξί αρνητικό

άρα |z|=1.

mathematica.gr

Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Re: Μιγαδικοί με ανάλυση ...

Μέλη σε σύνδεση