Ακριβώς τρεις λύσεις

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2x+3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ sinx+sin2x}}$ , $\displaystyle{x \in R}$ .
α) Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει ακριβώς τρεις λύσεις .
β) Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=k}$ έχει ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε $\displaystyle{k\in R}$ .
γ) Μπορείτε να βρείτε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , ορισμένη σε διάστημα , ώστε η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=k}$
να έχει ακριβώς δύο λύσεις για κάθε τιμή του $\displaystyle{k}$ που ανήκει στο σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ ;

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2x+3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ sinx+sin2x}}$ , $\displaystyle{x \in R}$ .
α) Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει ακριβώς τρεις λύσεις .
β) Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=k}$ έχει ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε $\displaystyle{k\in R}$ .
γ) Μπορείτε να βρείτε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , ορισμένη σε διάστημα , ώστε η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=k}$
να έχει ακριβώς δύο λύσεις για κάθε τιμή του $\displaystyle{k}$ που ανήκει στο σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ ;

Καλησπέρα!
Μια ...προσπάθεια στην καταπληκτική συνάρτηση! (Για τα 2 πρώτα υποερωτήματα...)
α) Ισχύει: για κάθε $x\geq 2\pi$ $\Leftrightarrow$ $2x\geq 4\pi$ (1) ,
$sinx\geq-1$ $\Leftrightarrow$ $3\pi sinx\geq-3\pi$ (2) και $sin2x\geq-1$ (3).

Προσθέτοντας κατά μέλη τις τρεις σχέσεις έχουμε: $f(x)\geq\pi-1>0$ , για κάθε $x>2\pi$ .

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι $f(x)\leq -\pi+1<0$ , για κάθε $x<-2\pi$ .

Συνεπώς εξετάζω την

στο $[-2\pi,2\pi]$ .
Είναι: $f'(x)=2+3\pi cosx + 2cos2x$ και $f''(x)=-3\pi sinx - 4sin2x = -sinx(3\pi+8cosx)$
Άρα το πρόσημο της f''

εξαρτάται από το πρόσημο του sinx

.

Συνεπώς έχουμε f''(x)<0

, για κάθε $x\epsilon (-2\pi,-\pi)$ $\Rightarrow$ f' :

γνησίως φθίνουσα στο $[-2\pi,-\pi]$ . Επίσης $f'(-\frac{3\pi}{2})=0$ .
Άρα : f'(x)>0

, για κάθε $x\epsilon (-2\pi,-\frac{3\pi}{2})$ $\Rightarrow$ f :

γνησίως αύξουσα στο $[-2\pi,-\frac{3\pi}{2}]$ .
Επιπλέον f'(x)<0

, για κάθε $x\epsilon (-\frac{3\pi}{2},-\pi)$ $\Rightarrow$ f :

γνησίως φθίνουσα στο $[-\frac{3\pi}{2},-\pi]$ .

Ομοίως έχουμε f''(x)>0

, για κάθε $x\epsilon (-\pi,0)$ $\Rightarrow$ f' :

γνησίως αύξουσα στο $[-\pi,0]$ . Επίσης $f'(-\frac{\pi}{2})=0$ .
Άρα : f'(x)<0

, για κάθε $x\epsilon (-\pi,-\frac{\pi}{2})$ $\Rightarrow$ f :

γνησίως φθίνουσα στο $[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$ .
Επιπλέον f'(x)>0

, για κάθε $x\epsilon (-\frac{\pi}{2},0)$ $\Rightarrow$ f :

γνησίως αύξουσα στο $[-\frac{\pi}{2},0]$ .

Επομένως για την μονοτονία της

έχουμε:

γνησίως αύξουσα στο $[-2\pi,-\frac{3\pi}{2}]$ , οπότε: $f([-2\pi,-\frac{3\pi}{2}])= [f(-2\pi),f(-\frac{3\pi}{2})]=[-4\pi,0]$ ,
f :

γνησίως φθίνουσα στο $[-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]$ , οπότε: $f([-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}])= [f(-\frac{3\pi}{2}),f(-\frac{\pi}{2})]=[-4\pi,0]$ ,
f :

γνησίως αύξουσα στο $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ , οπότε: $f([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])= [f(-\frac{\pi}{2}),f(\frac{\pi}{2})]=[-4\pi,4\pi]$ ,
f :

γνησίως φθίνουσα στο $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ , οπότε: $f([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}])= [f(\frac{3\pi}{2}),f(\frac{\pi}{2})]=[0,4\pi]$ και
f :

γνησίως αύξουσα στο $[\frac{3\pi}{2},2\pi]$ , οπότε: $f([\frac{3\pi}{2},2\pi])= [f(\frac{3\pi}{2}),f(2\pi)]=[0,4\pi]$ .

Προφανείς λύσεις είναι οι: $-\frac{3\pi}{2} , 0, \frac{3\pi}{2}]$ . Επομένως λόγω μονοτονίας μοναδικές.

β) Από το προηγούμενο υποερώτημα το σύνολο τιμών της

στο $[-2\pi,2\pi]$ είναι το: $[-4\pi,4\pi]$ .
Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)-k

με $k\epsilon[-4\pi, 4\pi]$ .
Αν $k\epsilon[-4\pi, 0]$ , η

μηδενίζεται (από την μονοτονία του α υποερωτήματος) στα:
$[-2\pi,-\frac{3\pi}{2}]$ , $[-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]$ και $[-\frac{\pi}{2},0]$ .
Αντίστοιχα για $k\epsilon[0,4\pi]$ , η

μηδενίζεται (από την μονοτονία του α υποερωτήματος) στα:
$[0,\frac{\pi}{2}]$ , $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ και $[\frac{3\pi}{2},2\pi]$ .

Ομοίως προκύπτει ότι $f([2\pi,6\pi])=[4\pi, 12\pi]$ , συνεπώς η

έχει τρεις ρίζες για κάθε $k\epsilon[4\pi, 12\pi]$ και
$f([-6\pi,-2\pi])=[-12\pi, -4\pi]$ , συνεπώς η

έχει τρεις ρίζες για κάθε $k\epsilon[-12\pi, -4\pi]$ .
Τελικά f(R)=R

, άρα η

έχει τρεις λύσεις, για κάθε $k\epsilon R$ .

Πραγματικά εκπληκτική άσκηση! Θα προσπαθήσω και για το γ.
Καλό βράδυ!
Σταμ. Γλάρος

Antonis Loutraris · #3

Mία προσέγγιση για το (γ):

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση με τη ζητούμενη ιδιότητα.

Ας θεωρήσουμε λοιπόν μία συνεχής συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
για την οποία για κάθε $k\in f\left([a,b]\right)$ υπάρχουν μοναδικά $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ ώστε $f(x_{1})=f(x_{2})=k.$

Έστω λοιπόν f(a)=f(b).

Τότε είτε

για κάθε $x\in(a,b)$ είτε f(x)<f(a)

για κάθε $x\in(a,b).$
Εντελώς όμοια για το f(b).

Ας θεωρήσω τη πρώτη περίπτωση δηλαδή οτι f(x)>f(a)

για κάθε $x\in(a,b)$ . Τότε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης
πιάνεται στο (a,b)

και μάλιστα δύο φορές, δηλαδή υπάρχουν μοναδικά $x_{1},x_{2}\in(a,b)$ με $x_{1}<x_{2}$ ώστε $f(x)\leq f(x_{1})$ και $f(x)\leq f(x_{2})$ για κάθε $x\in[a,b].$ Τώρα με εφαρμογή του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής στα διαστήματα $[a,x_{1}],[x_{1},x_{2}],[x_{2},b]$ η συνεχής συνάρτηση

θα αναγκαστεί
να πάρει την ίδια τιμή τουλάχιστον τρείς φορές το οποίο αντιβαίνει με την υπόθεση.

Mε ένα παρόμοιο επιχείρημα μπορούμε να δείξουμε ότι αν το

είναι άρτιος τότε δεν υπάρχει συνεχής

που παίρνει τη κάθε τιμή ακριβώς

φορές.

Φιλικά,

Αντώνης

mathematica.gr

Ακριβώς τρεις λύσεις

Ακριβώς τρεις λύσεις

Re: Ακριβώς τρεις λύσεις

Re: Ακριβώς τρεις λύσεις

Μέλη σε σύνδεση