Απορία-Αθροίσματα

chris97 · #1

Η αλήθεια είναι ότι δεν ήμουν σίγουρος αναφορικά με την επιλογή του
κατάλληλου φακέλου για την δημοσίευση γι αυτό το δημοσιεύω εδώ.
Είναι γνωστό ότι:
1+2+3+.......+n=n(n+1)/2

Θα ήθελα να ρωτήσω αν υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να γραφούν σε "κλειστή"
μορφή τα αθροίσματα της μορφής: S(n,m)=1^m+2^m+3^m+.....+n^m

Tolaso J Kos · #2

Είναι $\displaystyle{1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k=P_k(n)}$ . Αυτό είναι πολυώνυμο βαθμού k+1

και δίδεται του τύπου:

$\displaystyle{P_k(n)=\frac{1}{p+1}\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}{i}B_in^{k+1-i}}$

όπου B_i

οι αριθμοί ${\rm Bernoulli}$ .

Περισσότερα για τους αριθμούς ${\rm Bernoulli}$ μπορείς να δεις εδώ. Στο σύνδεσμο θα βρεις και το τύπο που σου δωσα.

chris97 · #3

Σε ευχαριστώ πολύ για το κόπο σου!

#4

chris97 έγραψε: Θα ήθελα να ρωτήσω αν υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να γραφούν σε "κλειστή"
μορφή τα αθροίσματα της μορφής:

Η απάντηση του Τόλη δεν είναι απάντηση στο ερώτημα και μάλιστα αποπροσανατολίζει.

Η σωστή απάντηση είναι "όχι δεν υπάρχει κλειστή μορφή" (η απόδειξη είναι δύσκολη).

Το να γράψουμε το άθροισμα

όρων ως άθροισμα άλλων

όρων, και μάλιστα δυσκολότερων,
μόνο κλειστή μορφή δεν είναι. Αν πάλι κάποιος νομίζει ότι είναι κλειστή η μορφή που έγραψε ο Τόλης, με αριθμούς Bernoulli,
τότε θα αναγκαστεί να δεχθεί ότι όλα μα όλα τα αθροίσματα γράφονται σε κλειστή μορφή. Π.χ.
το a_1+a_2+...+ a_n

γράφεται (!)

$\displaystyle { \sum _{k=1}^n \left (a_k- \left ( \frac {1}{n+1} - \frac {1}{k(k+1)}\right ) B_1^{2015} \right )}$

Έκανα τίποτα; Ναι, μία τρύπα στο νερό.

chris97 · #5

Καλησπέρα σας κύριε Λάμπρου
Στην πραγματικότητα η απορία μου αποτελεί ερώτημα σε φυλλάδιο σημειώσεων
του απειροστικού λογισμού 1 (στα εισαγωγικά μέρη όπου παρουσιάζεται η επαγωγή)
στο οποίο όσο και αν προσπάθησα δε μπόρεσα να βρω απάντηση .Το ερώτημα εκεί
τίθεται όπως ακριβώς το διατύπωσα εδώ.

#6

Χρήστο, χαιρετίσματα.

chris97 έγραψε:Το ερώτημα εκεί
τίθεται όπως ακριβώς το διατύπωσα εδώ.

Ίσως δεν κατάλαβα κάτι: Το βιβλίο γράφει

chris97 έγραψε: Θα ήθελα να ρωτήσω αν υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να γραφούν σε "κλειστή"
μορφή τα αθροίσματα της μορφής:

ή αυτό είναι δικό σου ερώτημα ενώ το βιβλίο σταματάει στο άθροισμα των πέμπτων δυνάμεων;

Όπως και να είναι βλέπε τα ποστ εδώ και εδώ καθώς και τις εκεί παραπομπές στην διατριβή της Στέλλας Κουτράκη και σε αρθράκι μου.

Φιλικά,

Μιχάλης

chris97 · #7

Συγκεκριμένα είναι βιβλίο-σημειώσεις από το 2009 στον απειροστικό λογισμό
από το εκπα http://eclass.uoa.gr/modules/document/i ... cf909d890o
Στο συγκεκριμένο pdf στη σελίδα 10 υπάρχει αυτό το σχόλιο-ανοιχτό ερώτημα
Σας ευχαριστώ πάντως για την ενασχόληση σας και για τις παραπομπές!!

mathematica.gr

Απορία-Αθροίσματα

Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Re: Απορία-Αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση