Ανισότητα

panagiotis99 · #1

Kαλησπέρα σε όλους

Ας δούμε μία ανισότητα που προσπάθησα να λύσω σήμερα:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι:

$\frac{1}{(2a+b)^2}+\frac{1}{(2b+c)^2}+\frac{1}{(2c+a)^2} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

G.Bas · #2

panagiotis99 έγραψε:Kαλησπέρα σε όλους

Ας δούμε μία ανισότητα που προσπάθησα να λύσω σήμερα:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι:

$\frac{1}{(2a+b)^2}+\frac{1}{(2b+c)^2}+\frac{1}{(2c+a)^2} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Όμορφη!

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

1η περίπτωση. $\displaystyle{4(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2.}$

Ισχύει τότε από την Ανισότητα Cauchy-Schwarz για το αριστερό μέλος

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{(2a+b)^2}+\frac{1}{(2b+c)^2}+\frac{1}{(2c+a)^2}&\geq\frac{[(2c+b)+(2a+c)+(2b+a)]^2}{(2a+b)^2(2c+b)^2+(2b+c)^2(2a+c)^2+(2c+a)^2(2b+a)^2}\\&=\frac{9(a+b+c)^2}{(a+b+c)^4+18(ab+bc+ca)^2}. \end{aligned}}$

Μένει, λοιπόν, να αποδείξουμε την

$\displaystyle{9(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^4+18(ab+bc+ca)^2}$
η οποία γράφεται

$\displaystyle{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]\geq 0.}$

2η περίπτωση. $\displaystyle{a^2+b^2+c^2>4(ab+bc+ca)}$ και ας είναι επιπλέον $\displaystyle{c=\max\{a,b,c\}.}$ Από την Ανισότητα AM-GM ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{(2a+b)^2}+\frac{1}{(2b+c)^2}\geq\frac{2}{(2a+b)(2b+c)}.}$

Αρκεί, δηλαδή, να αποδείξουμε τώρα την Ανισότητα

$\begin{aligned}\displaystyle{\frac{2}{(2a+b)(2b+c)}+\frac{1}{(2c+a)^2}\geq\frac{1}{ab+bc+ca}&\Leftrightarrow \left(\frac{2}{(2a+b)(2b+c)}-\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{1}{(2c+a)^2}\geq 0\\&\Leftrightarrow\frac{b(c-2a-2b)}{(2a+b)(2b+c)(ab+bc+ca)} +\frac{1}{(2c+a)^2}\geq 0\end{aligned}}}$

Θα αποδείξουμε πως $\displaystyle{c>2a+2b.}$

Πράγματι, είναι

$\displaystyle{\begin{aligned}c(c-2a-2b)&=[(a^2+b^2+c^2-4(ab+bc+ca)]-a^2-b^2+4ab+2bc+2ac\\&=[(a^2+b^2+c^2-4(ab+bc+ca)]+2a(c-a)+2b(c-b)+(a+b)^2+2ab>0.\end{aligned}}$

panagiotis99 · #3

Eξαιρετικά

Ας δούμε και την γενίκευση που δυστυχώς δεν έχω βρει κάποια προσέγγιση:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι για κάθε πραγματικό $p \geq 2$ ισχύει:

$\frac{1}{(pa+b)^2}+\frac{1}{(pb+c)^2}+\frac{1}{(pc+a)^2} \geq \frac{9}{(p+1)^2(ab+bc+ca)}$

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση