Ταυτότητα !

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω ότι $a,b \geq 0$ και $c \in \mathbb{R}$ με $\sqrt{a^2 + \sqrt[3]{a^4b^2}} + \sqrt{b^2 + \sqrt[3]{a^2b^4}} = c$ .

Να δειχτεί ότι $\displaystyle a^{\frac{2}{3}} + \displaystyle b^{\frac{2}{3}} = \displaystyle c^{\frac{2}{3}$ .

Άλυτη από τις σημειώσεις του δασκάλου Αντώνη Κυριακόπουλου.

makisman · #2

Για $c\neq 0$ θέτω $a=c\sqrt{k^3}$ , $b=c\sqrt{m^3}$ και αντικαθιστώντας ευκολα προκύπτει $k+m=1\Rightarrow (\frac{a}{c})^{\frac{2}{3}}+(\frac{b}{c})^{\frac{2}{3}}=1$ και η ζητούμενη. Για c=0

προφανώς

που επαληθεύει τη ζητούμενη.

Ορέστης Λιγνός · #3

Καλημέρα(!) στο

. Δίνω την προσέγγιση μου :

Έστω $\displaystyle a^\frac{2}{3}+ \displaystyle b^\frac{2}{3}=x$ .
Εύκολα τώρα $c=\sqrt{\sqrt[3]{a^4}(\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{a^2}} + \sqrt{\sqrt[3]{b^4}(\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{a^2})}= x\sqrt{x}=\sqrt{x^3} \Leftrightarrow x^3=c^2 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{c^2}$ , που είναι το ζητούμενο.

Καληνύχτα

...

mathematica.gr

Ταυτότητα !

Ταυτότητα !

Re: Ταυτότητα !

Re: Ταυτότητα !

Μέλη σε σύνδεση