Ρίζες μιας... εξίσωσης

maiksoul · #1

Έστω η (με άγνωστο τον

) εξίσωση :

$x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge )$ ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς

και

,

ενώ για τον αριθμό $\lambda$ είναι γνωστό ότι $\lambda\in$ $A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1 \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ]$ .

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .

#2

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον ) εξίσωση :

$x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge )$ ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς και ,

ενώ για τον αριθμό $\lambda$ είναι γνωστό ότι $\lambda\in$ $A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1 \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ]$ .

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .

Χαιρετώ τον Μιχάλη και κάνω μια προσπάθεια. Επειδή βρέθηκα σε χωράφια ξένα της Α΄ Λυκείου φοβάμαι μήπως έχω κάποιο λάθος.

Η εξίσωση $\displaystyle {x^2} + ({\lambda ^3} + 2)x + 2{\lambda ^2} + 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)$ έχει διακρίνουσα
$\displaystyle D = {\left( {{\lambda ^3} + 2} \right)^2} - 4\left( {2{\lambda ^2} + 1} \right)$

Για να έχει η (1) διπλή ρίζα πρέπει και αρκεί

$\displaystyle D = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^6} + 4{\lambda ^3} - 8{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}\left( {{\lambda ^4} + 4\lambda - 8} \right) = 0$ (2)

Αφού $\displaystyle \lambda \in {\rm A}$ η (2) γίνεται $\displaystyle {\lambda ^4} + 4\lambda - 8 = 0$ .

Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα $\displaystyle \lambda = - 2$ , που απορρίπτεται αφού δεν ανήκει στο

.

Με διαίρεση πολυωνύμων (ύλη Γ΄ Γυμνασίου) ή έστω με σχήμα Horner η εξίσωση (με τιμές στο

) γίνεται $\displaystyle \left( {\lambda + 2} \right)\left( {{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0$ .

Μελετάμε τη συνάρτηση $\displaystyle f\left( \lambda \right) = {\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4$ με $\displaystyle \lambda \in IR$ .

Έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \lambda \right) = 3{\lambda ^2} - 4\lambda + 4 > 0$ για κάθε $\displaystyle \lambda \in IR$ άρα η συνάρτηση f(x)

είναι γνησίως αύξουσα. Είναι $\displaystyle f\left( 1 \right) = - 1 < 0$ και $\displaystyle f\left( 2 \right) = 4 > 0$ , άρα, αφού είναι συνεχής στο [1,2]

, από Θ. Bolzano, έχει μια ρίζα στο (1, 2)

, που δεν ανήκει στο

, άρα η αρχική εξίσωση δεν μπορεί να έχει διπλή ρίζα.

#3

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον ) εξίσωση :

$x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge )$ ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς και ,

ενώ για τον αριθμό $\lambda$ είναι γνωστό ότι $\lambda\in$ $A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1 \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ]$ .

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .

Καλησπέρα σε όλους!

Δεν είμαι σίγουρος ότι έχω καταλάβει καλά. Έχω πάντως την εντύπωση ότι με τον όρο ακριβώς μία ρίζα, δεν εννοούμε διπλή ρίζα. Αν ισχύει αυτό, τότε μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει ακριβώς μία ρίζα όταν μπορεί να γίνει πρωτοβάθμια. Στην περίπτωσή μας η εξίσωση δεν είναι πρωτοβάθμια αφού ο συντελεστής του x^2

είναι η μονάδα. Η μόνη περίπτωση λοιπόν, είναι η εξίσωση να έχει δύο ρίζες εκ των οποίων η μία να είναι

ή

που απορρίπτονται.

Αν ο συλλογισμός μου είναι σωστός, βρίσκω για $\lambda=2,$ $\boxed{x=-9}$

Από τα διαστήματα που δίνονται για το $\lambda,$ η διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = (\lambda + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4)}$ είναι θετική μόνο στο $\displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}$

Αν x=1,

η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{{\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} + 4 = 0}$ που είναι άτοπο αφού $\displaystyle{\lambda \in \left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}$

Αν x=-1,

τότε προκύπτει ότι $\lambda =2$ και εύκολα βρίσκουμε ότι $\boxed{x=-9}$

#4

αυτό Κάτι παρεμφερές αλλά πιο απλό .

#5

Καλημέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον Μιχάλη για τη διακριτική υπόδειξη με π.μ.

Αφήνω όπως είναι την ανάρτησή μου για διδακτικούς λόγους.

Το σημείο που με προβλημάτισε κυρίως ήταν ότι χρειάστηκε να χρησιμοποιήσω θεωρήματα της Γ΄ Λυκείου για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης (2). Καταλαβαίνοντας ότι έχω βγει εκτός ορίων της Α΄ Λυκείου, σταμάτησα.

Φαντάζομαι ότι ο Γιώργος συνέχισε την άσκηση από το σημείο όπου απορρίφθηκε η διπλή ρίζα.

george visvikis έγραψε: Από τα διαστήματα που δίνονται για το $\lambda,$ η διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = (\lambda + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4)}$ είναι θετική μόνο στο $\displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}$

Πάντως, θα χαρώ να δω τόσο την επίλυση της εξίσωσης (2) όσο και το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.

maiksoul · #6

Καλημέρα σε όλους!
Φαίνεται ότι η εκφώνηση της άσκησης ,δυσκόλεψε και δεν βοήθησε όσο ίσως έπρεπε, όσους ασχολήθηκαν με αυτήν.Οπότε ίσως (ίσως και όχι..) να είναι κάποια αδυναμία της ίδιας και καλό είναι να διατυπωθούν από κάποιους,αν το επιθυμούν, κάποιες βελτιώσεις της.
Επίσης θέλω να πω πως δεν ξέρω αν έχω τοποθετήσει την άσκηση, η οποία σίγουρα έχει αρκετές απαιτήσεις, στο σωστό φάκελο, οπότε αν έχω κάνει λάθος, θα παρακαλούσα τους υπεύθυνους να την μεταφέρουν εκεί που ανήκει .
Τελειώνοντας να πω ότι η έχω λύση για την άσκηση η οποία χρησιμοποιεί μόνο ύλη Άλγεβρας Α λυκείου, την οποία αν καταστεί απαραίτητο θα δώσω .

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
george visvikis έγραψε: Από τα διαστήματα που δίνονται για το $\lambda,$ η διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = (\lambda + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4)}$ είναι θετική μόνο στο $\displaystyle{\left[ {2,\frac{5}{2}} \right]}$
Πάντως, θα χαρώ να δω τόσο την επίλυση της εξίσωσης (2) όσο και το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση δεν λύνεται με ύλη Α' Λυκείου. Κατέληξα στη μορφή $\displaystyle{\Delta = (\lambda + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4)}$ χρησιμοποιώντας Horner και

στη συνέχεια αφού $\lambda+2>0$ εξέτασα το πρόσημο του $\lambda ^3 - 2\lambda ^2 + 4\lambda - 4$ στα διαστήματα που έδινε. Προηγουμένως όμως είχα

διαπιστώσει ότι λόγω μονοτονίας είχε μόνο μία πραγματική ρίζα στο (1, 2)

(με τρόπο εκτός ύλης).

maiksoul · #8

Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την (2)

είναι $\lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow$ $(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow$
$\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0$ η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.

#9

maiksoul έγραψε:Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την είναι $\lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow$ $(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow$
$\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0$ η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.

Καλημέρα Μιχάλη!

Έστω ότι η εξίσωση $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0}$ έχει μία θετική ρίζα.

Δεν μπορεί όμως να είναι $\displaystyle{\lambda > 2}$ γιατί $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = {\lambda ^2}(\lambda - 2) + 4(\lambda - 1) > 0}$

Δεν μπορεί να είναι ούτε $\displaystyle{\lambda < 1}$ γιατί $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}(\lambda - 1) + 4(\lambda - 1) = {\lambda ^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{({\lambda ^2} + 4)(\lambda - 1) = {\lambda ^2} > 0 \Leftrightarrow \lambda > 1}$ , που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο

maiksoul · #10

george visvikis έγραψε:
maiksoul έγραψε:Γιώργο και Γιώργο Καλημέρα,μια λύση για την είναι $\lambda ^{4}+4\lambda -8=0\Leftrightarrow \lambda ^{4}-16+4\lambda +8=0\Leftrightarrow$ $(\lambda +2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}+4)+4(\lambda +2)=0\Leftrightarrow$
$\lambda =-2 \vee \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0\Rightarrow \lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4=0$ η τελευταία δεν έχει αρνητική ρίζα, επομένως αν έχει θα έχει κάποια από το Α, θετική.Εδώ τώρα έχει το δικό της ενδιαφέρον να δειχθεί ότι η τελευταία δεν έχει ούτε κάποια θετική ρίζα από το Α.Το αφήνω προς το παρόν για να ασχοληθούν και κάποιοι άλλοι, αν το επιθυμούν.
Καλημέρα Μιχάλη!

Έστω ότι η εξίσωση $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0}$ έχει μία θετική ρίζα.

Δεν μπορεί όμως να είναι $\displaystyle{\lambda > 2}$ γιατί $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = {\lambda ^2}(\lambda - 2) + 4(\lambda - 1) > 0}$

Δεν μπορεί να είναι ούτε $\displaystyle{\lambda < 1}$ γιατί $\displaystyle{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2}(\lambda - 1) + 4(\lambda - 1) = {\lambda ^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{({\lambda ^2} + 4)(\lambda - 1) = {\lambda ^2} > 0 \Leftrightarrow \lambda > 1}$ , που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο

Καλημέρα Γιώργο , ναι αυτή είναι μια από τις λύσεις!

nikkru · #11

maiksoul έγραψε:Έστω η (με άγνωστο τον ) εξίσωση :

$x^{2}+(\lambda ^{3}+2)x+2\lambda ^{2}+1=0...(\blacklozenge )$ ,η οποία έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς και ,

ενώ για τον αριθμό $\lambda$ είναι γνωστό ότι $\lambda\in$ $A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1 \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ]$ .

Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .

Με ύλη Α΄Λυκείου.

Αν x_1,x_2

οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι: $x_1+x_2=-\lambda ^3-2$ και $x_1x_2=2\lambda ^2+1>0$ .

Αφού $\lambda\in$ $A=\left [ -1,-\frac{1}{2} \right ]\cup \left [\frac{1}{2},1 \right ]\cup \left [ 2, \frac{5}{2}\right ]$ άρα $\lambda \geq -1\Rightarrow -\lambda ^3-2\leq -1<0$ .

Αφού οι ρίζες x_1,x_2

έχουν αρνητικό άθροισμα και θετικό γινόμενο θα είναι και οι δύο αρνητικές,
οπότε: x_1=-1

και έτσι, $x_2=-2\lambda ^{2}-1$ .

Από $x_1+x_2=-\lambda ^3-2 \Leftrightarrow (-2\lambda ^{2}-1)+(-1)=-\lambda ^3-2\Leftrightarrow \lambda ^3-2\lambda ^2=0\Leftrightarrow \lambda=2$ ή $\lambda=0$ .
Η τιμή $\lambda=0$ απορρίπτεται λόγω περιορισμών ενώ η τιμή $\lambda=2$ είναι δεκτή $\left (\Delta =64>0 \right )$ .

Συνεπώς, ρίζες της εξίσωσης είναι οι: x_1=-1

και

.

maiksoul · #12

Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .

#13

Αν και έχουν γραφτεί παραπάνω, δίδω σύνοψη αυτών που ισχύουν ( και επί της ουσίας συμφωνώ )

Το τριώνυμο : $f(x) = {x^2} + ({\lambda ^3} + 2)x + 2{\lambda ^2} + 1$ παρουσιάζει ελάχιστο στο

$\boxed{{x_0} = - \frac{{{\lambda ^3} + 2}}{2}}$ το $\boxed{f({x_0}) = \frac{{ - {\lambda ^2}}}{4} \cdot (\lambda + 2)({\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + 4\lambda - 4)}$ .

Στα δύο πρώτα διαστήματα , $f({x_0}) > 0$ και άρα η εξίσωση : f(x) = 0

είναι αδύνατη

: Sulanis.png (14.43 KiB) Προβλήθηκε 2349 φορές

Στο διάστημα τώρα $\Delta = [2,\dfrac{5}{2}]$ , $f({x_0}) < 0$ συνεπώς η εξίσωση f(x) = 0

έχει δύο

διακεκριμένες αρνητικές ρίζες . Η πιο μεγάλη ας την πούμε ${x_1} \geqslant - 1$ και η πιο μικρή

${x_2} \leqslant - 9$ με το ίσον να πιάνεται αν $\boxed{\lambda = 2}$ .

nikkru · #14

maiksoul έγραψε:Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .

Καλό απόγευμα Μιχάλη,

Μάλλον καθένας μας ερμηνεύει διαφορετικά το " ακριβώς μια λύση", το οποίο νομίζω ότι είναι διαφορετικό από το " δύο ρίζες ίσες" .

'Έτσι, αφού η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και έχουμε δεδομένο " έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς και "
άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις και μάλιστα η άλλη λύση της είναι το

ή το

.

Αν βέβαια λέγοντας " ακριβώς μια λύση" περιλάβουμε και την περίπτωση η δευτεροβάθμια εξίσωση να έχει δύο λύσεις ίσες,
μια λύση της άσκησης έχει δώσει ο Doloros στην προηγούμενη ανάρτηση.

Φιλικά, Νίκος.

#15

nikkru έγραψε:
maiksoul έγραψε:Καλημέρα nikkru (Νίκο;...)! Σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου.Στην απάντηση σου έχω να παρατηρήσω τα εξής:

1) Στην λύση σου θεωρείς ότι οι (αρνητικές..όπως πολύ σωστά επισημαίνεις..) ρίζες τις εξίσωσης , είναι...διαφορετικές μεταξύ τους.Αυτό όμως δεν είναι το μοναδικό που μπορεί να συμβεί και ούτε προκύπτει αναγκαστικά από τα δεδομένα.

2)Πρέπει να συμπληρωθεί η λύση σου , με το τι γίνεται ( αν γίνεται ) με την περίπτωση που οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες.

Εάν έχεις χρόνο και διαρκεί ακόμα το ενδιαφέρον σου για την άσκηση ,προσπάθησε να συμπληρώσεις αν θες την απάντηση σου .
Καλό απόγευμα Μιχάλη,

Μάλλον καθένας μας ερμηνεύει διαφορετικά το " ακριβώς μια λύση", το οποίο νομίζω ότι είναι διαφορετικό από το " δύο ρίζες ίσες" .

'Έτσι, αφού η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και έχουμε δεδομένο " έχει ακριβώς μία λύση διαφορετική από τους αριθμούς και "
άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις και μάλιστα η άλλη λύση της είναι το ή το .

Καλησπέρα σε όλους!

Έτσι ακριβώς το ερμηνεύω κι εγώ και το έγραψα πιο πάνω άλλωστε. Υπάρχει όμως γενικότερη διχογνωμία.

Μία σχετική συζήτηση έχει γίνει εδώ

maiksoul · #16

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Πάντως, θα χαρώ να δω..... το πρόσημο της Διακρίνουσας λυμένα με εργαλεία της Α΄ Λυκείου.

Είναι $D=\lambda ^{2}(\lambda +2)(\lambda ^{3}-2\lambda ^{2}+4\lambda -4)$

Για να μην μείνει αναπάντητο το ερώτημα ...του Γιώργου

Είναι σαφές ότι για τις αρνητικές τιμές τις παραμέτρου είναι D<0

ενώ για τις υπόλοιπες θετικές έχουμε ότι:

$D=\lambda ^{2}(\lambda +2)(\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+\lambda ^{2}+3\lambda+ \lambda-4)$

$D=\lambda ^{2}(\lambda +2)[(\lambda -1)^{3}+\lambda ^{2}+\lambda -3]$

Οπότε:

Αν $\lambda<1$ τότε $D<\lambda ^{2}(\lambda +2)(0+1+1-3)<0$

Αν $\lambda>2$ τότε $D>\lambda ^{2}(\lambda +2)(1+2+2-3)>0$

mathematica.gr

Ρίζες μιας... εξίσωσης

Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Re: Ρίζες μιας... εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση