Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Maidenas · #1

Καλησπέρα, θα ήθελα την άποψή σας για τα παρακάτω

Γνωρίζουμε φυσικά τον ορισμό του πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες. Οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίου ορισμού, και για κάθε σημείο σε αυτό οι εικόνες τους να είναι ίσες.
Όπως επίσης, όταν δύο συναρτήσεις είναι ίσες , τότε οποιοσδήποτε περιορισμός του πεδίου ορισμού τους θα μου έδινε δύο ίσες περιορισμένες συναρτήσεις.

Στο ερώτημα πότε δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες, σκέφτηκα αρχικά ως παράδειγμα το εξής: Αν
$f: \left \{ 0,1, 2 \right \} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου f(x)=2-x

,
τότε η ανίστροφη της

θα είναι η

$f^{-1} : \left \{ 0,1, 2 \right \} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f^{-1}(y)=2-y$

Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες. Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση.
Αν περιορίσω δηλαδή την

στο σύνολο {1,2} , τότε το αντίστοιχο πεδίο οριμού της $f^{-1}$ θα είναι το {0,1} και ο περιορισμός δύο συναρτήσεων που υποτίθεται πως είναι ίσες θα πρέπει εκ νέου να είναι ίσες.

Στην Γ' λυκείου πολλές φορές όταν ζητείται ο υπολογισμός του τύπου της αντίστροφης μιας συνάρτησης και καταλήγουμε σε μια σχέση $f^{-1}(y)= ...$ στην συνέχεια συνηθίζεται να αντικαθιστούμε την εξαρτημένη μεταβλητή y σε χ. Αυτο κατα πόσο είναι "σωστό"; Δεν θα παρασερνόταν εύκολα ένας μαθητής να πει πως οι δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες;

#2

Το παράδειγμα που φέρνεις δεν είναι κατάλληλο για Γ΄Λυκείου , αφού
ασχολούμαστε με συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων .

Maidenas · #3

Τι θα άλλαζε αν ήταν ορισμένη η f σε όλο το $\mathbb{R}$ και ένας μαθητής ρωτούσε αν οι δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 6:56 pm
Καλησπέρα, θα ήθελα την άποψή σας για τα παρακάτω

Γνωρίζουμε φυσικά τον ορισμό του πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες. Οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίου ορισμού, και για κάθε σημείο σε αυτό οι εικόνες τους να είναι ίσες.
Όπως επίσης, όταν δύο συναρτήσεις είναι ίσες , τότε οποιοσδήποτε περιορισμός του πεδίου ορισμού τους θα μου έδινε δύο ίσες περιορισμένες συναρτήσεις.

Στο ερώτημα πότε δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες, σκέφτηκα αρχικά ως παράδειγμα το εξής: Αν
$f: \left \{ 0,1, 2 \right \} \rightarrow \mathbb{R}$ όπου ,
τότε η ανίστροφη της θα είναι η

$f^{-1} : \left \{ 0,1, 2 \right \} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f^{-1}(y)=2-y$

Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες. Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση.
Αν περιορίσω δηλαδή την στο σύνολο {1,2} , τότε το αντίστοιχο πεδίο οριμού της $f^{-1}$ θα είναι το {0,1} και ο περιορισμός δύο συναρτήσεων που υποτίθεται πως είναι ίσες θα πρέπει εκ νέου να είναι ίσες.

Στην Γ' λυκείου πολλές φορές όταν ζητείται ο υπολογισμός του τύπου της αντίστροφης μιας συνάρτησης και καταλήγουμε σε μια σχέση $f^{-1}(y)= ...$ στην συνέχεια συνηθίζεται να αντικαθιστούμε την ανεξάρτηση μεταβλητή y σε χ. Αυτο κατα πόσο είναι "σωστό"; Δεν θα παρασερνόταν εύκολα ένας μαθητής να πει πως οι δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες;

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 6:56 pm
Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες. Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση.
Αν περιορίσω δηλαδή την στο σύνολο {1,2} , τότε το αντίστοιχο πεδίο οριμού της $f^{-1}$ θα είναι το {0,1} και ο περιορισμός δύο συναρτήσεων που υποτίθεται πως είναι ίσες θα πρέπει εκ νέου να είναι ίσες.

Οι συναρτήσεις

και $f^{-1}$ είναι ΙΣΕΣ

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 6:56 pm
Στην Γ' λυκείου πολλές φορές όταν ζητείται ο υπολογισμός του τύπου της αντίστροφης μιας συνάρτησης και καταλήγουμε σε μια σχέση $f^{-1}(y)= ...$ στην συνέχεια συνηθίζεται να αντικαθιστούμε την ανεξάρτηση μεταβλητή y σε χ. Αυτο κατα πόσο είναι "σωστό"; Δεν θα παρασερνόταν εύκολα ένας μαθητής να πει πως οι δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες;

Προφανώς είναι αποτέλεσμα του προηγουμένου λάθους.

Maidenas · #5

Αν ήταν ίσες δεν θα ήταν συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.

Δύο συναρτήσεις που έχουν ίδια γραφήματα, δεν είναι απαραίτητα ίσες. Αυτό μπορούμε εύκολα να το δούμε σε διανυσματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Συμμετρία ως προς άξονα σημαίνει οτι το σημείο που βρίσκεται στην μια πλευρά του ημιεπιπέδου ανακλάται ως προς την ευθεία y=x στην συγκεκριμένη περίπτωση στην άλλη μεριά του ημιεπιπέδου.
Πως είναι δυνατόν δύο ίσες συναρτήσεις να έχουν δύο ίδια σημεία σε δύο διαφορετικά ημιεπίπεδα;

Maidenas · #6

Ας γίνω λίγο πιο συγκεκριμένος.

Για το παράδειγμα που ανέφερα έχουμε τα εξής:
f(x)=2-x

όπου

$f^{-1}(y)=2-y$ , όπου y=0,1,2

Τότε όταν το χ πάρει την τιμή 0, το y θα πάρει την τιμή 2
Όταν το χ πάρει την τιμή 1, το y θα πάρει επίσης την τιμή 1
Και όταν το x πάρει την τιμή 2, το y θα πάρει την τιμή 0.

Συνεπώς τα μόνα συμπίπτωντα σημεία είναι το (1,1). Άρα δεν είναι ίσες.

sov_arvyd · #7

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 8:31 pm
Ας γίνω λίγο πιο συγκεκριμένος.

Για το παράδειγμα που ανέφερα έχουμε τα εξής:
όπου
$f^{-1}(y)=2-y$ , όπου

Τότε όταν το χ πάρει την τιμή 0, το y θα πάρει την τιμή 2
Όταν το χ πάρει την τιμή 1, το y θα πάρει επίσης την τιμή 1
Και όταν το x πάρει την τιμή 2, το y θα πάρει την τιμή 0.

Συνεπώς το μόνο κοινό τους σημείο είναι το (1,1). Άρα δεν είναι ίσες.

Μπορείς σε παρακαλώ να εξηγήσεις τι εννοείς όταν λες ότι δυο συναρτήσεις είναι ίσες; Με τον ορισμό της ισότητας όπως δίνεται στο σχολικό βιβλίο η συνάρτηση που όρισες και η αντίστροφή της είναι ίσες. (Ας πάρουμε όμως το σύνολο των παραγματικών ως πεδίο ορισμού για να αποφύγουμε τους περιορισμούς του βιβλίου).

#8

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 6:56 pm

Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες. Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση.

Oι συναρτήσεις ΕΙΝΑΙ ίσες. Εκεί κλείνει το θέμα!

Το σφάλμα σου είναι ότι νομιζεις ότι το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής παίζει ρόλο
στην συνάρτηση.

Ένας τρόπος (μέσω Θηβών) να δεις και να ξεκαθαρίσεις το σφάλμα σου είναι τα παρακάτω, που τα θέτω ως τρεις ασκήσεις.

1) Δείξε ότι αν $f, \, g$ δύο συνεχείς συναρτήσεις από το $\mathbb R$ στο $\mathbb R$ με $f\ne g$ τότε
υπάρχει διάστημα [a,b]

τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx }$ (Υπόδειξη: πάρε ένα x_o

με $f(x_o)\ne g(x_o)$ , χωρίς βλάβη f(x_o)> g(x_o)

, και βρες διάστημα $[a,\, b]$ με κέντρο το x_o

.)

2) Πάρε τις άνισες (όπως ισχυρίζεσαι) συναρτήσεις $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με τύπο f(x)=x

και $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με τύπο g(t)=t

. Δείξε ότι για κάθε [a,b]

είναι $\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = \int_a^b g(t)dt = \int_a^b g(x)dx }$ (Υπόδειξη: Και τα τρία ολοκληρώματα δίνουν $\frac {1}{2}(a^2-a^2)$

3) Πώς ερμηνεύεις ότι γι' αυτές τις συναρτήσεις τα ολοκληρώματα στο 2) είναι ίσα για κάθε [a,b]

αλλά το 1) μας λέει ότι για κάποιo [a,b]

είναι άνισα;

Maidenas · #9

Το σχολικό βιβλίο μιλάει για ισότητα συναρτήσεων που είναι ασυσχέτιστες καθ’ υπό οποιονδήποτε τρόπο.

Αν σου έδινα μια συνάρτηση f και μια g με τον ίδιο τύπο και τα πέδια ορισμού τους ήταν ασυσχέτιστα, τότε ναι θα ήταν ίσες.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν συμβαίνει το ίδιο.
Η συνάρτηση $f^{-1}$ παίρνει τα

που έρχονται απο τα

της

και στη συνέχεια τα απεικονίζει μέσω του τύπου της.

Όταν λοιπόν το

πάρει την τιμή

, τότε το

που εξαρτάται απο το

(αυτό δεν πρέπει να το ξεχνάμε) θα απεικονιστεί μέσω της

στο

, και ύστερα το y=2

θα απεικονιστεί μέσω της $f^{-1}$ στο

.

Άρα για την

όταν

θα έχουμε το σημείο (2,0)

Το

τώρα θα έχει γίνει

αφού εξαρτάται απο το

, και θα απεικονστεί μέσω της $f^{-1}$ και θα πάρουμε $f^{-1}(0)=2$ και άρα αυτό αντιστοιχεί στο σημείο (0,2)

#10

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 8:56 pm
είναι ασυσχέτιστες

Δεν ξέρω τι θα πει.

Κοίταξες τα σχόλια (σε μορφή ασκήσεων) που έγραψα;

sov_arvyd · #11

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 8:56 pm
Το σχολικό βιβλίο μιλάει για ισότητα συναρτήσεων που είναι ασυσχέτιστες καθ’ υπό οποιονδήποτε τρόπο.

Αν σου έδινα μια συνάρτηση f και μια g με τον ίδιο τύπο και τα πέδια ορισμού τους ήταν ασυσχέτιστα, τότε ναι θα ήταν ίσες.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν συμβαίνει το ίδιο.
Η συνάρτηση $f^{-1}$ παίρνει τα y που έρχονται απο τα x της f και στη συνέχεια τα απεικονίζει μέσω του τύπου της.

Όταν λοιπόν το x πάρει την τιμή 0, τότε το y που εξαρτάται απο το χ (αυτό δεν πρέπει να το ξεχνάμε) θα απεικονιστεί μέσω της f στο 2, και ύστερα το το y=2 θα απεικονιστεί μέσω της $f^{-1}$ στο 0.

Άρα για την όταν χ=2 θα έχουμε το σημείο (2,0)

Το y τώρα θα έχει γίνει 0 αφού εξαρτάται απο το χ, και θα απεικονστεί μέσω της $f^{-1}$ και θα πάρουμε $f^{-1}(0)=2$ και άρα αυτό αντιστοιχεί στο σημείο (0,2)

Πουθενά στον ορισμό ισότητας συναρτήσεων δεν μιλάει για μη συσχέτιση των συναρτήσεων. Τι σημαίνει δηλαδή ότι δυο συναρτήσεις είναι ασυσχέτιστες; Το ερώτημα είναι ένα. Ισχύει $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$ ; Η απάντηση είναι θετική και άρα οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες.

Maidenas · #12

sov_arvyd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 9:06 pm

Πουθενά στον ορισμό ισότητας συναρτήσεων δεν μιλάει για μη συσχέτιση των συναρτήσεων. Τι σημαίνει δηλαδή ότι δυο συναρτήσεις είναι ασυσχέτιστες; Το ερώτημα είναι ένα. Ισχύει $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$ ; Η απάντηση είναι θετική και άρα οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες.

Ο ορισμός της ισότητας δύο συναρτήσεων καλά κάνει και δεν μιλάει για ασυσχέτιστες συναρτήσεις διότι το x είναι κοινή μεταβλητή και για τις δύο. Δεν υπάρχει κάποια εξάρτηση λοιπόν με τον τρόπο που τίθεται ο ορισμός. Άρα ο ορισμός που δίνεται είναι σωστός.

Όταν μιλάμε για αντίστροφες συναρτήσεις τα x και τα y είναι αλληλοεξαρτώμενα.
Αν πειραξεις το πεδίο ορισμού της μιας αλλάζει το πεδίο ορισμού της άλλης.

Maidenas · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 9:04 pm

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 8:56 pm
είναι ασυσχέτιστες
Δεν ξέρω τι θα πει.

Κοίταξες τα σχόλια (σε μορφή ασκήσεων) που έγραψα;

Ασυσχέτιστες θα πει να μην σχετίζονται. Εξήγησα αναλυτικά τι εννοώ ακριβώς.
Δεν τις είδα τις ασκήσεις ακόμα αλλά θα τις μελετήσω.

Maidenas · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 8:42 pm

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 6:56 pm

Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες. Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση.
Oι συναρτήσεις ΕΙΝΑΙ ίσες. Εκεί κλείνει το θέμα!

Το σφάλμα σου είναι ότι νομιζεις ότι το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής παίζει ρόλο
στην συνάρτηση.

Ένας τρόπος (μέσω Θηβών) να δεις και να ξεκαθαρίσεις το σφάλμα σου είναι τα παρακάτω, που τα θέτω ως τρεις ασκήσεις.

1) Δείξε ότι αν $f, \, g$ δύο συνεχείς συναρτήσεις από το $\mathbb R$ στο $\mathbb R$ με $f\ne g$ τότε
υπάρχει διάστημα τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx }$ (Υπόδειξη: πάρε ένα με $f(x_o)\ne g(x_o)$ , χωρίς βλάβη , και βρες διάστημα $[a,\, b]$ με κέντρο το .)

2) Πάρε τις άνισες (όπως ισχυρίζεσαι) συναρτήσεις $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με τύπο και $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με τύπο . Δείξε ότι για κάθε είναι $\displaystyle{\int_a^b f(x)dx = \int_a^b g(t)dt = \int_a^b g(x)dx }$ (Υπόδειξη: Και τα τρία ολοκληρώματα δίνουν $\frac {1}{2}(a^2-a^2)$

3) Πώς ερμηνεύεις ότι γι' αυτές τις συναρτήσεις τα ολοκληρώματα στο 2) είναι ίσα για κάθε αλλά το 1) μας λέει ότι για κάποιo είναι άνισα;

Εντόπισα που βρίσκεται η διαφορά και γιατί είναι άστοχο το παράδειγμα.

Το x και το t δεν έχουν καμία απολύτως εξάρτηση μεταξύ τους.
Αντιθέτως τα x και y στο παράδειγμα μου εξαρτώνται.

sov_arvyd · #15

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 9:21 pm

sov_arvyd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 9:06 pm

Πουθενά στον ορισμό ισότητας συναρτήσεων δεν μιλάει για μη συσχέτιση των συναρτήσεων. Τι σημαίνει δηλαδή ότι δυο συναρτήσεις είναι ασυσχέτιστες; Το ερώτημα είναι ένα. Ισχύει $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$ ; Η απάντηση είναι θετική και άρα οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες.
Ο ορισμός της ισότητας δύο συναρτήσεων καλά κάνει και δεν μιλάει για ασυσχέτιστες συναρτήσεις διότι το x είναι κοινή μεταβλητή και για τις δύο. Δεν υπάρχει κάποια εξάρτηση λοιπόν με τον τρόπο που τίθεται ο ορισμός. Άρα ο ορισμός που δίνεται είναι σωστός.

Όταν μιλάμε για αντίστροφες συναρτήσεις τα x και τα y είναι αλληλοεξαρτώμενα.
Αν πειραξεις το πεδίο ορισμού της μιας αλλάζει το πεδίο ορισμού της άλλης.

Ισχύει ότι $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$ ; Ναι ή όχι; Οι συναρτήσεις ΔΕΝ επηρεάζονται με κανέναν τροπο από το όνομα της μεταβλητής που χρησιμοποιούμε αν τις περιγράφουμε μέσω τύπου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #16

https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)

Προς τους διαχειριστές.
Καλό θα ήταν να αλλάξει φάκελλο η ανάρτηση.

#17

Maidenas έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 08, 2021 9:38 pm
Εντόπισα που βρίσκεται η διαφορά και γιατί είναι άστοχο το παράδειγμα.

Το x και το t δεν έχουν καμία απολύτως εξάρτηση μεταξύ τους.
Αντιθέτως τα x και y στο παράδειγμα μου εξαρτώνται.

Νομίζω πως ξεφύγαμε.

Θα σου συνιστούσα ισχυρά να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου τις έννοιες.

Καλό είναι να δεις το σχόλιο που σου έγραψα στο ποστ #4 εδώ γιατί από ότι φαίνεται έχουμε επανάληψη του ίδιου φαινομένου.

Και θα συμφωνήσω με τον Σταύρο στο αμέσως προηγούμενο ποστ. Τα παραπάνω πρέπει να φύγουν από δημόσια θέα για να μην επιφέρουν σύγχυση στους μαθητές μας που είναι ακόμα στην διαδικασία μάθησης των εννοιών.

Maidenas · #18

Παρασύρθηκα, πράγματι ήταν σούπερ λάθος.
Προσπαθούσα και γω να εντοπίσω το λογικό άλμα, στο σημείο που έλεγα οτι αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε και οποιοσδήποτε περιορισμός στο πεδίο ορισμού τους θα μου έδιδε πάλι ίσες συναρτήσεις.

Το λανθασμένο μου επιχείρημα ήταν οτι δεν είναι σωστή η εξής συνεπαγωγή:

Αν $f=f^{-1} \Rightarrow \left( f|_\left\{ x_0 \right\} \right)^{-1} = f^{-1}|_{f(\left\{ x_0 \right\})}$

Η σωστή συνεπαγωγή είναι
$f=f^{-1} \Rightarrow f|_A=f^{-1}|_A$

Με συγχωρείτε για την αναστάτωση

)

#19

Maidenas έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 12, 2021 12:35 am
Παρασύρθηκα, πράγματι ήταν σούπερ λάθος.
Προσπαθούσα και γω να εντοπίσω το λογικό άλμα, στο σημείο που έλεγα οτι αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε και οποιοσδήποτε περιορισμός στο πεδίο ορισμού τους θα μου έδιδε πάλι ίσες συναρτήσεις.

Το λανθασμένο μου επιχείρημα ήταν οτι δεν είναι σωστή η εξής συνεπαγωγή:

Αν $f=f^{-1} \Rightarrow \left( f|_\left\{ x_0 \right\} \right)^{-1} = f^{-1}|_{f(\left\{ x_0 \right\})}$

Η σωστή συνεπαγωγή είναι
$f=f^{-1} \Rightarrow f|_A=f^{-1}|_A$

Με συγχωρείτε για την αναστάτωση )

Μακάρι να ήταν αυτό το πρόβλημα. Δυστυχώς είναι αλλού καθώς σε αυτά που γράφεις συγχέεις τα περί ανεξάρτητης μεταβλητής, για την οποία νομίζεις ότι το όνομά της παίζει κάποιο ρόλο.

Δεν φαίνεται να έχεις αντιληφθεί το μήνυμα που σου γράφω με το ολοκλήρωμα, στο οποίο φαίνεται ΚΑΘΑΡΑ ότι το όνομα της ανεξάτητης μεταβλητής δεν έχει σημασία. Κοντολογίς, τα $\displaystyle{ \int _a^b f(x)dx}$ , $\displaystyle{ \int _a^b f(t)dt}$ και $\displaystyle{ \int _a^b f(\xi)d\xi}$ είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα.

Ομοίως στο $\mathbb R$ οι $x\rightarrow f(x)$ και $t\rightarrow f(t)$ είναι ακριβώς οι ίδιες συναρτήσεις.

Ευκαιρία να ξαναδείς τώρα, με πιο κριτικό μάτι, αυτά που σου γράφω.

mathematica.gr

Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Re: Ισότητα συναρτήσεων και αντίστροφες συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση