Τοπικό θέμα

KARKAR · #1

: Τοπικό θέμα.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 1461 φορές

Σημείο

κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο

δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο POS

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

#2

Φανερά η θέση του S προκύπτει από στροφή του P περί την αρχή των αξόνων κατά την φορά των δεκτών του ρολογιού κατά 90 μοίρες. Ο ημιάξονας Oy συμπίπτει με τον ημιάξονα Ox και ο ημιάξονας Ox συμπίπτει με τον ημιάξονα Oy'. ( σα να λέμε το y πάει το στο x και το x πάει στο -y)

Επομένως, προκύπτει η παραβολή x=y^2/4

Εκτός φακέλλου,....

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Τοπικό θέμα.pngΣημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο

δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Ωραία και μονολοκετική λύση η αμέσως από πάνω. Ας δούμε και μία με πιο πολλά λόγια.

Οι συντεταγμένες του

είναι της μορφής $(p, \frac {p^2}{4})$ (στο σχήμα το

είναι αρνητικό και θα μείνω σε αυτή την περίπτωση). Αν φέρουμε την προβολή

του

στον άξονα των

, και ομοίως την προβολή

του

, εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα $OPP', \, OSS'$ είναι ίσα. Από αυτό εύκολα συμπεραίνουμε ότι οι συντεταγμένες του S(x, y)

είναι $S(\frac {p^2}{4}, \, -p)$ . Άρα $x= \frac {p^2}{4}, \, y= -p$ . Άρα y^2= (-p)^2 = p^2=4x

. Αυτή είναι η ζητούμενη εξίσωση. Αν την θέλουμε στην μορφή y=f(x)

, είναι $y= 2\sqrt x, \, x >0$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Τοπικό θέμα.pngΣημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο

δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Αυτά τα ωραία του Κώστα με τη βοήθεια μιγαδικών .

: Τοπικό θέμα.jpg (27.79 KiB) Προβλήθηκε 1393 φορές

Ας είναι $P\left( {p,\dfrac{{{p^2}}}{4}} \right)\,\,,\,\,y \geqslant 0$ . Το

, είναι εικόνα του μιγαδικού , $z = p + \dfrac{{{p^2}}}{4}i$ , Τότε το

είναι η εικόνα του μιγαδικού , $w = - zi = \dfrac{{{p^2}}}{4} - pi$ .

Αν λοιπόν w(x,y)

θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{{p^2}}}{4} \hfill \\ y = - p \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{y^2} = 4x}$

S.E.Louridas · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Τοπικό θέμα.pngΣημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο
δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Aν

είναι το συμμετρικό του

ως προς τον άξονα

, τότε το

θα βρίσκεται στη δεδομένη γραφική παράσταση και

$\angle SOy=\angle QOx,$ με OS=OQ.

Άρα τα σημεία S, Q

είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας του 1ου τεταρτημορίου (και έτσι εναλλάσσονται οι ρόλοι των μεταβλητών).

Επομένως η εξίσωση της γραμμής που γράφει το

είναι η

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Τοπικό θέμα.pngΣημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο

δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Και οι τρεις γεωμετρικές λύσεις , των Κ. Κ. Ρεκούμη , Λάμπρου και Λουρίδα,

μας δείχνουν την απαράμιλλη ομορφιά της Ευκλειδείου Γεωμετρίας .

Από την άλλη μεριά μας δείχνουν ότι, η συνάρτηση , $y = f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{4}$ μπορεί να διαχωριστεί σε δύο

συνεχείς και συναρτήσεις : $y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\,\,,x \leqslant 0$ είτε , $y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\,\,,x \geqslant 0$ των οποίων οι

αντίστροφες μας δίδουν , στην ένωσή τους, την καμπύλη με εξίσωση : ${y^2} = 4x$

S.E.Louridas · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Σημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Πάντα και μόνο για λόγους πλουραλισμού.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι:

$P\left( {r\cos \theta ,\;r\sin \theta } \right) \Rightarrow 4\sin \theta = r{\cos ^2}\theta .$
Αλλά τότε εύκολα παίρνουμε:
$(OP=OS,\;\;OP \bot OS) \Rightarrow S\left( {x,y} \right),\;x = r\sin \theta > 0,\,\;y = r\cos \theta \Rightarrow {y^2} = 4x \Rightarrow y = 2\sqrt x .$

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 7:16 pm
Σημείο κινείται πάνω στην παραβολή με εξίσωση : $y=\dfrac{x^2}{4}$ . Με τρίτη κορυφή το σημείο

δημιουργούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Και μία ακόμα Γεωμετρική λύση: Η εστία της δοθείσας είναι το E(0,1)

και η διευθετούσα είναι η y=-1

. Έστω

η προβολή του

στην

, και

η προβολή του

στην

και έστω

το σημείο

. Εύκολα βλέπουμε από την ισότητα των τριγώνων OEP, OSF

ότι

. Παρόμοια, PQ=ST

. Έχουμε τότε από τον ορισμό της παραβολής ότι

ST=PQ=PE=SF

.

Αλλά η ST=SF

μας δίνει ακριβώς ότι ο τόπος του

είναι παραβολή με εστία το

και διευθετούσα την x=-1

. Από εκεί, αν θέλουμε, βρίσκουμε την εξίσωσή της.

mathematica.gr

Τοπικό θέμα

Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση