ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

G.Tsikaloudakis · #1

Διαγώνισμα:'' Πρωϊνή Κατασκευή''

Ξανακοιτώντας σήμερα το διαγώνισμα, διαπιστώνω ότι στο Δγ2 ,πρέπει να συμπλήρωθεί:
υπάρχει μοναδικό x_o

, με

, τέτοιο ώστε:

x_o^2 - x_o g(x_o ) + 1 = 0

( ή μπορούμε να διαγράψουμε τη λέξη μοναδικό)

Νομίζω τώρα όλα είναι ο.κ.

#2

Γιώργο καλημέρα και χρόνια πολλά.
Στο A_2

λες
Αν η

είναι συνεχής , τότε υποχρεωτικά είναι συνεχής
και στο [a,b]

.
Που είναι συνεχής η συνάρτηση;
Νομίζω πως εκεί θέλει το κάτι 'άλλο.
Επιπλέον στο τέλος του τέταρτου θέματος ξεφυτρώνει ένα όριο από το πουθενά!
Δεν καταλαβαίνω πως συνδέεται με το θέμα.
Χ.Κ

G.Tsikaloudakis · #3

Χρήστο Χρόνια πολλά , καλή χρονιά.
Ευχαριστώ για τις επισήμανσεις ,
Όντως, πρέπει να διαγράφει το τελευταίο όριο στο αρχείο(μπήκε κατά λάθος , από άλλη άσκηση).
Για το Α2, ''συνεχης η

'' , σημαίνει συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

#4

G.Tsikaloudakis έγραψε:Χρήστο Χρόνια πολλά , καλή χρονιά.
Ευχαριστώ για τις επισήμανσεις ,
Όντως, πρέπει να διαγράφει το τελευταίο όριο στο αρχείο(μπήκε κατά λάθος , από άλλη άσκηση).
Για το Α2, ''συνεχης η '' , σημαίνει συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Οκ αλλά ποιό είναι το πεδίο ορισμού της;
Το λέω απλά για να είμαστε εντάξει με τους γράφοντες το διαγώνισμα.
Καλό απόγευμα.

dennys · #5

3ο ΘΕΜΑ
1) Το πεδίο ορισμού είναι : $Df=(-\infty,-1)$ γιατί πρέπει $-x-1>0 \rightarrow x<-1$
επειδή $f ' (x)= \frac{-x}{x+1}<0$ η συνάρτηση είναι γν φθίνουσα (ή ως αθροισμα γν.φθινουσών )
2) Με όρια βρίσκουμε οτι $lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ και $lim_{x\to{-1}}f(x)=-\infty$ και επομένως το $f(A)=(-\infty,+\infty)=D{f^{-1}}$
3)Για τα κοινά σημεία παίρνουμε την ισότητα $f(x)=f^{-1}(x) ,x \in DftomiDf^{-1}$ αρα $f(f(x))=x \Rightarrow f(-x+ln(-x-1))=x \Rightarrow -(-x+ln(-x-1))+ln(x-ln((-x-1)-1)=x$
και έχω ln(x-ln(-x-1)-1)=ln(-x-1)

$\Rightarrow 2x-ln(-x-1)=0$ . Αν θέσω g(x)=2x-ln(-x-1)

επειδή ειναι γν αύξουσα και με όρια στα $-\infty,-1$ βρίσκω
$lim_{x\to -\infty} g(x)=lim {ln{e^{2x}}-ln(-x-1)}=-\infty$ και $lim_{x\to{-1}g(x)= +\infty$ υπάρχει μοναδικό χο ωστε g(Xo)=0

, αφου φυσικά η συν.ειναι συνεχής
που είναι ως πράξεις συνεχών και ειναι γν. αύξουσα.
4) Για a<b<-1, f(a)>f(b),

$ln{\frac{-a-1}{-b-1}}>a-b$
$\frac{a+1}{b+1}>e^{a-b}$
$a e^{b}+e^b>e^a+e^{a} b$

Μάκης Χατζόπουλος · #6

G.Tsikaloudakis έγραψε: Για το Α2, ''συνεχης η f'' , σημαίνει συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Γιώργο το

ανήκει στο πεδίο ορισμού της

; Αυτό δεν φαίνεται, γιατί δεν έχουμε ορίσει την

, οπότε αν το κλειστό διάστημα είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της f τότε είναι σωστή η πρόταση, αν όχι τότε είναι λάθος.

Νομίζω ότι χρειάζεται μια διευκρίνηση, όχι μόνο για τους γράφοντες αλλά και για εμάς!

Και κάτι τελευταίο Γιώργο, "απαγορεύονται" οι ασκήσεις στο κομμάτι της Θεωρίας όπως μου είχαν πει και εμένα οι συνάδελφοι από εδώ μέσα.

Καλή χρονιά Γιώργο, ωραίο διαγώνισμα, από την συλλογή των βιβλίων σου είναι οι ασκήσεις;

wavelet · #7

Καλησπέρα, θα ήταν εύκολο να το είχαμε και σε pdf;

G.Tsikaloudakis · #8

Μάκη ,Καλή Χρονιά:
Το γνωρίζω ότι στο 1ο Θέμα βάζουμε μόνο ερωτήσεις θεωρίας. Αυτό βέβαια σε
επίσημο διαγώνισμα του Σχολείου ή στις πανελλήνιες (υπάρχει σαφής διάταξη)
και αυτό το επισημαίνουμε τόσο στους μαθητές (να το ξέρουν) όσο και σε
πολλούς συναδέλφους που το αγνοούν ή δεν το θεωρούν σημαντικό.
Όταν δίνουμε όμως ανεπίσημο διαγώνισμα , αυτό δεν είναι απαραίτητο.
(εξαρτάται από τι στόχο έχουμε).

Όσο για το πεδίο ορισμού της f , στο 1ο θέμα , αυτό δίνεται στην αρχή του θέματος:
'' Δίνεται συνάρτηση

με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ '' και ακολουθούν τα
ερωτήματα Α1, Α2. Είναι προφανές ότι όλες οι ερωτήσεις του 1ου θέματος,αναφέρονται στη δοθείσα συνάρτηση

με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ .
Ευχαριστώ , φιλικά Γιώργος.

#9

G.Tsikaloudakis έγραψε:Όσο για το πεδίο ορισμού της f , στο 1ο θέμα , αυτό δίνεται στην αρχή του θέματος:
'' Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ '' και ακολουθούν τα
ερωτήματα Α1, Α2. Είναι προφανές ότι όλες οι ερωτήσεις του 1ου θέματος,αναφέρονται στη δοθείσα συνάρτηση
με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ .
Ευχαριστώ , φιλικά Γιώργος.

Γιώργο, δεν δίνω όρκο αλλά αυτή η υποσημείωση δεν είχε πρσοσεχτεί από εμένα όταν στο είχα θίξει.
Αν προυπήρχε τότε είναι δική μου η αβλεψία.Αν μπήκε μετά θα έπρεπε να τονιστεί.
Καλό απόγευμα.

#10

G.Tsikaloudakis έγραψε:Μάκη ,Καλή Χρονιά:
Το γνωρίζω ότι στο 1ο Θέμα βάζουμε μόνο ερωτήσεις θεωρίας. Αυτό βέβαια σε
επίσημο διαγώνισμα του Σχολείου ή στις πανελλήνιες (υπάρχει σαφής διάταξη)
και αυτό το επισημαίνουμε τόσο στους μαθητές (να το ξέρουν) όσο και σε
πολλούς συναδέλφους που το αγνοούν ή δεν το θεωρούν σημαντικό.
Όταν δίνουμε όμως ανεπίσημο διαγώνισμα , αυτό δεν είναι απαραίτητο.
(εξαρτάται από τι στόχο έχουμε).

Ναι !
Επίσημα διαγωνίσματα , δηλαδή με την θεσμοθετημένη δομή των 4 θεμάτων κλπ είναι αυτά των προαγωγικών ή απολυτήριων εξετάσεων, Ιουνίου ή Σεπτεμβρίου, και φυσικά των Πανελληνίων .Τα διαγωνίσματα των τετραμήνων είναι ελεύθερα σε δομή .

Μπάμπης

G.Tsikaloudakis · #11

wavelet έγραψε:Καλησπέρα, θα ήταν εύκολο να το είχαμε και σε pdf;

Ευχαρίστως,αλλά δεν μου είναι γνωστή η διαδικασία μετατροπής.

Eukleidis · #12

Ορίστε

G.Tsikaloudakis · #13

Σωστή η επισήμανση του Μπάμπη, για το ότι τα διαγωνίσματα τετραμήνου είναι ''ελεύθερα''
Όμως και εδώ υπάρχουν περιορισμοί που πολλοί συνάδελφοι τους παραβλέπουν:
π.χ.
Το διαγώνισμα τετραμήνου , μόνο ένα ωριαίο ,προγραμματισμένο ,προειδοποιημένο
και σε μια διδακτική ενότητα περιορισμένης ύλης.
Πολλοί βάζουν επαναληπτικό σε όλη τη διδαχθείσα ύλη (αυτό απαγορεύεται και μπορεί κάποιος να ακυρώσει το διαγώνισμα) . Το Σχολείο δεν είναι Φροντιστήριο.
Επίσης , τα ωριαία διαγωνίσματα δεν πρέπει να είναι πάνω από τρία (νομίζω) εβδομαδιαίως .
Και σ'αυτή την περίπτωση μπορεί κάποιος μαθητής ή καθηγητής να ακυρώσει το διγώνισμα.
Τα τέστ είναι 10 λεπτα , απροειδοποίητα και στο μάθημα της ημέρας , ''απεριόριστου πλήθους''.

Μάκης Χατζόπουλος · #14

G.Tsikaloudakis έγραψε: Όσο για το πεδίο ορισμού της f , στο 1ο θέμα , αυτό δίνεται στην αρχή του θέματος:
'' Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ '' και ακολουθούν τα
ερωτήματα Α1, Α2. Είναι προφανές ότι όλες οι ερωτήσεις του 1ου θέματος,αναφέρονται στη δοθείσα συνάρτηση
με πεδίο ορισμού Α και $[\alpha ,\beta ] \subseteq A$ .
Ευχαριστώ , φιλικά Γιώργος.

Γιώργο κατανοητά και τα δύο! Να σαι καλά!

G.Tsikaloudakis · #15

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Έχει γίνει μια διόρθωση στο Δγ2.

G.Tsikaloudakis · #16

$\Delta _\beta {\rm{ :}}$
Έχουμε:

$\begin{array}{l} f(x) + \frac{1}{{f(x)}} = g(x){\rm{ }}\mathop {}\limits^{} \mathop {}\nolimits^{} \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\nolimits^{} f^2 (x) - g(x)f(x) + 1 = 0\mathop {}\limits^{} \mathop {}\nolimits^{} \Leftrightarrow \\ \\ f(x) = \frac{{g(x) \pm \sqrt {g^2 (x) - 4} }}{2} \\ \end{array}$

Άρα : $\frac{{g(x) - \sqrt {g^2 (x) - 4} }}{2} \le f(x) \le \frac{{g(x) + \sqrt {g^2 (x) - 4} }}{2}$
Οπότε (κ.π.)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f(x) = - 1$ .

Όμως για x = x_o

είναι

$f(x_o ) + \frac{1}{{f(x_o )}} = g(x_o ) = - 2\mathop {}\nolimits^{} \mathop {}\limits^{} \Leftrightarrow \mathop {}\nolimits^{} \mathop {}\limits^{} f(x_o ) = - 1$

και επομένως η

είναι συνεχής στο x_o

G.Tsikaloudakis · #17

$\Delta \gamma _2$

Για - 1 < x_o < 0

έχουμε:

$\begin{array}{l} x_o^2 - x_o g(x_o ) + 1 = 0{\rm{ }}\mathop {}\limits_{\rm{ }} \mathop {}\limits_{} \Leftrightarrow {\rm{ }}\mathop {}\limits_{\rm{ }} \mathop {}\limits_{} g(x_o ) = x_o + \frac{1}{{x_o }}{\rm{ }}\mathop {}\limits_{\rm{ }} \mathop {}\limits_{} \Leftrightarrow \\ \\ f(x_o ) + \frac{1}{{f(x_o )}} = x_o + \frac{1}{{x_o }}{\rm{ }}\mathop {}\limits_{\rm{ }} \mathop {}\limits_{} \Leftrightarrow \left( {f(x_o ) - x_o } \right)\left( {f(x_o ) - \frac{1}{{x_o }}} \right) = 0\mathop {}\limits_{\rm{ }} \mathop {}\limits_{} \Leftrightarrow \\ \end{array}. \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}$

f(x_o ) = x_o

ή $f(x_o ) = \frac{1}{{x_o }}$

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h(x) = f(x) - x

,

αυτή είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [ - 1,0]

με

και

, οπότε υπάρχει μοναδικό $x_o \in ( - 1,0){\rm{ }}\mathop {}\limits^{} {\rm{: }}\mathop {}\limits^{} h(x_o ) = 0\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} f(x_o ) = x_o$ .

Εξάλλου η εξίσωση :

$f(x) = \frac{1}{x}{\rm{ }}\mathop {}\limits^{} {\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\limits^{} - {\rm{1}} < x < 0$
είναι αδύνατη , αφου,

$f(x_o ) = \frac{1}{{x_o }}{\rm{ }}\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{} \Rightarrow f(x_o ) < - 1 = f(0)\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{} \Rightarrow x_o > 0$

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ: Συναρτήσεις,όρια ,συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση