Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

lowbaper92 · #1

Στην περίπτωση που σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων η μία ιδιοτιμή είναι το $\displaystyle{ 0 }$ πώς σχεδιάζεται το πορτρέτο κίνησης?
Για παράδειγμα στο σύστημα :
$\displaystyle{ x'=-3x+y }$
$\displaystyle{ y'=6x-2y }$
έβγαλα γενική λύση $\displaystyle{ \vec{x}\left(t \right)=c_{1}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}e^{-5t} }$

Πως το σχεδιάζω?

Atemlos · #2

Λοιπόν 'to cut a long story short' που λένε οι Αγγλοσάξονες ο σχεδιασμός του phase plane η phase portrait oπως λέγεται είναι πολύπλοκη υπόθεση και συνήθως χρησιμοποιείς κάτι έτοιμο που υπάρχει ηδη συνήθως κώδικας σε Mathematica ,Matlab , Maple και άλλα. Ενα απο τα καλύτερα Java applet είναι στο λινκ παρακάτω και εκεί επιλεγείς το κουμπί 'PPLANE 2005.10' σου βγαίνει το applet και βάζεις τις τιμές απλά των συντελεστών των ΔΕ.
Εναλλακτικά στο Google ψάχνεις για 'phase portrait (plane) for linear system of differential equations'.

http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Φιλικά Κ.

lowbaper92 · #3

Σας ευχαριστώ για την απάντηση, αλλά επειδή αυτά μου χρειάζονται για την εξεταστική, με ενδιαφέρει κυρίως πως προκύπτει και κατά δεύτερον το αποτέλεσμα. Αν μπορεί κάποιος να εξηγήσει αυτήν την περίπτωση θα βοηθήσει πολύ.

Γιώργος Απόκης · #4

Καλο μεσημέρι. Το πορτραίτο φάσεων προκύπτει ως εξής:

Θεώρησε άξονες x,y

. Aφού έχεις βρει τη λύση, μπορείς να βρεις άπειρα ζεύγη (x(t),y(t))

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου

.

Κάθε ζεύγος θα δίνει ένα σημείο στο ορθοκανονικό σύστημα.

Εdit 1: Φυσικά επιλέγεις συγκεκριμένες τιμές των c_1,c_2

Εdit 2: To ιδανικό, βέβαια, είναι να μπορέσεις να βρεις σχέση μεταξύ x(t),y(t)

με απαλοιφή της παραμέτρου

Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

Re: Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

Re: Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

Re: Πορτρέτο κίνησης (ή φάσης)

Μέλη σε σύνδεση