Ελάχιστη ιχνηλασία

KARKAR · #1

: Ελάχιστη ιχνηλασία.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 1140 φορές

Η βάση

τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι σταθερή , μήκους

. Η κορυφή

κινείται σε μια ευθεία

παράλληλη προς τη βάση σε απόσταση

απ' αυτήν . Ονομάζουμε D,E

τα ίχνη της εσωτερικής

και εξωτερικής διχοτόμου της $\hat{A}$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του

( θεωρήστε $c\leq b$ )

Eustathia p. · #2

Αν

το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου ADE

, θα είναι

$A{H^2} = DH \cdot EH \Leftrightarrow DH \cdot EH = 9$ και κατά συνέπεια το άθροισμα

γίνεται ελάχιστο όταν DH = EH

δηλαδή το ορθογώνιο ADE

τρίγωνο είναι και ισοσκελές. Άρα ED = 2AH = 6

#3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη ιχνηλασία.pngΗ βάση τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι σταθερή , μήκους . Η κορυφή κινείται σε μια ευθεία

παράλληλη προς τη βάση σε απόσταση απ' αυτήν . Ονομάζουμε τα ίχνη της εσωτερικής

και εξωτερικής διχοτόμου της $\hat{A}$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του ( θεωρήστε $c\leq b$ )

Καλημέρα Θανάση και Ευσταθία!

: Ελάχιστη ιχνηλασία.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

$\displaystyle{\tan x = \frac{3}{{HD}},\cot x = \tan (A\widehat EH) = \frac{3}{{HE}} \Rightarrow HD \cdot HE = \frac{9}{{\tan x\cot x}} = 9}$

Άρα το άθροισμα DE=HE+HD

γίνεται ελάχιστο όταν HE=HD=3

, δηλαδή $\boxed{D{E_{\min }} = 6}$

To μήκος του

δεν χρειάζεται, αρκεί να είναι σταθερό.

KARKAR · #4

george visvikis έγραψε: To μήκος του δεν χρειάζεται, αρκεί να είναι σταθερό.

Πράγματι Γιώργο , το μήκος της βάσης δεν παίζει ρόλο . Όμως θα είχε ενδιαφέρον να βρούμε τη θέση του

,

για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο , πράγμα που πιστεύω είναι δυσκολότερο από την εύρεση της τιμής του .

Θα έλεγα ότι γενικότερα , όταν το ζητούμενο είναι ακρότατο , ακόμα και όταν ο θεματοδότης δεν ζητά

τη θέση για την οποία επιτυγχάνεται , ο λύτης έχει τη "συμβατική" υποχρέωση να την αναζητήσει .

Φυσικά , αν αυτό είναι δύσκολο ή ξεφεύγει από την ύλη , η απάντηση μπορεί να μην περιλάβει αυτό το βήμα ...

Κατά τα άλλα χειροκροτώ τις λύσεις σας ..( Καλό θέμα δεν είναι για τον παρόντα φάκελο ; )

: Ιχνηλασία σχόλια.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Βρείτε λοιπόν τη θέση του

, αν

#5

KARKAR έγραψε:
george visvikis έγραψε: To μήκος του δεν χρειάζεται, αρκεί να είναι σταθερό.
Πράγματι Γιώργο , το μήκος της βάσης δεν παίζει ρόλο . Όμως θα είχε ενδιαφέρον να βρούμε τη θέση του ,

για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο , πράγμα που πιστεύω είναι δυσκολότερο από την εύρεση της τιμής του .

Θα έλεγα ότι γενικότερα , όταν το ζητούμενο είναι ακρότατο , ακόμα και όταν ο θεματοδότης δεν ζητά

τη θέση για την οποία επιτυγχάνεται , ο λύτης έχει τη "συμβατική" υποχρέωση να την αναζητήσει .

Φυσικά , αν αυτό είναι δύσκολο ή ξεφεύγει από την ύλη , η απάντηση μπορεί να μην περιλάβει αυτό το βήμα ...

Κατά τα άλλα χειροκροτώ τις λύσεις σας ..( Καλό θέμα δεν είναι για τον παρόντα φάκελο ; )Ιχνηλασία σχόλια.png
Βρείτε λοιπόν τη θέση του , αν

Αρκεί να εντοπίσουμε το σημείο

. Στη συνέχεια το σημείο

προσδιορίζεται ως το σημείο επαφής του κύκλου (H, 3)

με την παράλληλη

της

σε απόσταση

από αυτήν. $\displaystyle{ED = BD + BE = 6 \Leftrightarrow 8c\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b - c}}} \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{8bc}}{{{b^2} - {c^2}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{b}{c} = 3 \Leftrightarrow BD = 2}$ .

Άρα: $\boxed{BH=1}.$ Εύκολα τώρα υπολογίζονται και οι πλευρές του τριγώνου ABC:

$c=\sqrt{10}, b=3\sqrt{10}.$

Eustathia p. · #6

KARKAR έγραψε:
george visvikis έγραψε: To μήκος του δεν χρειάζεται, αρκεί να είναι σταθερό.
Πράγματι Γιώργο , το μήκος της βάσης δεν παίζει ρόλο . Όμως θα είχε ενδιαφέρον να βρούμε τη θέση του ,

για την οποία επιτυγχάνεται το ακρότατο , πράγμα που πιστεύω είναι δυσκολότερο από την εύρεση της τιμής του .

Θα έλεγα ότι γενικότερα , όταν το ζητούμενο είναι ακρότατο , ακόμα και όταν ο θεματοδότης δεν ζητά

τη θέση για την οποία επιτυγχάνεται , ο λύτης έχει τη "συμβατική" υποχρέωση να την αναζητήσει .

Αφού το $\vartriangle AED$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο και τα σημεία D,E

αρμονικά συζυγή των B,C

με σταθερά , το ύψος $AO = h\,\,$ και τη πλευρά BC = a

θα ισχύει.

$O{E^2} = O{D^2} = OB \cdot OC$ . Έτσι για το μήκος OB = x

θα έχω . $x(x + a) = {h^2}$ . προσδιορισμός του

.

: Iχνηλασία Ελάχιστη.png (8.43 KiB) Προβλήθηκε 1032 φορές

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

ανάμεσα στις παράλληλες , $BC\,\,,\,\,(\varepsilon )$ . Φέρνω την εφαπτομένη του στο

που τέμνει την $(\varepsilon )$ στο

.

Η

τέμνει το ημικύκλιο στο

, ο κύκλος (K,KZ)

τέμνει την $(\varepsilon )$ στο

.

Υπολογίζεται ακόμη το

ως ρίζα δευτεροβαθμίου εξίσωσης: .

$x = \dfrac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}{2}$ .

Ελάχιστη ιχνηλασία

Ελάχιστη ιχνηλασία

Re: Ελάχιστη ιχνηλασία

Re: Ελάχιστη ιχνηλασία

Re: Ελάχιστη ιχνηλασία

Re: Ελάχιστη ιχνηλασία

Re: Ελάχιστη ιχνηλασία

Μέλη σε σύνδεση