Άγνωστοι εκθέτες

Xriiiiistos · #1

Αν $a,b,c\in \mathbb{N}$ με 12,8

δεν διαιρούν το

να λύθει ή εξίσωση

$50^{a}+21^{b}=37^{c}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

:

Παίρνοντας $\pmod{5}$ , έχουμε $1\equiv 2^c \pmod{5}$ , οπότε προκύπτει ότι c=4k

, όπου

μη αρνητικός ακέραιος.

Παίρνοντας $\pmod{7}$ , έχουμε ότι $1\equiv 2^c \pmod{7}$ , οπότε προκύπτει ότι c=3l

, όπου

μη αρνητικός ακέραιος.

Άρα 12|c

, άτοπο.

Δεν ξέρω αν εδώ στο

περιέχεται το

, αλλά αντιμετωπίζονται εύκολα και οι υπόλοιπες περιπτώσεις:

Έστω a=0

:

, άτοπο από Catalan

.

Έστω

:

, άτοπο από Catalan

.

Xriiiiistos · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 07, 2018 7:52 pm
Έστω :

Παίρνοντας $\pmod{5}$ , έχουμε $1\equiv 2^c \pmod{5}$ , οπότε προκύπτει ότι , όπου μη αρνητικός ακέραιος.

Παίρνοντας $\pmod{7}$ , έχουμε ότι $1\equiv 2^c \pmod{7}$ , οπότε προκύπτει ότι , όπου μη αρνητικός ακέραιος.

Άρα , άτοπο.

Δεν ξέρω αν εδώ στο περιέχεται το , αλλά αντιμετωπίζονται εύκολα και οι υπόλοιπες περιπτώσεις:

Έστω :

, άτοπο από .

Έστω :

, άτοπο από .

για την άσκηση ξέχασα να ελέγξω αν χρειαζόταν το

διαιρεί το

min## · #4

Λίγο σεμνότερα(η Catalan είναι αμαρτία):Με mod4,mod 3

αντίστοιχα καταλήγουμε σε άτοπο..

2nisic · #5

Να αποδειχθεί πώς δεν υπάρχουν φυσικοί a,b,c

τέτοιοι ώστε:

$50^{a}+21^{b}=37^{c}$

Αν κάποιος από τούς a,b

ισούται με το μηδέν έχουμε λύση.

Αν

διάφορη από το μηδέν τότε:

Με mod3

έχω

Με

έχω

Διακρίνουμε 2 περίπτωσης:

Αν

τότε:
Με

εχω:
$50^2+21^{b}\equiv 0(mod37)\Leftrightarrow 21^{b}\equiv 16(mod37)\Leftrightarrow b\equiv 10(mod18)$

Τώρα με mid19

έχω: $50^{2}+21^{b}\equiv 37^{c}(mod19)\Leftrightarrow 30+21^{b}\equiv 1(mod19)\Leftrightarrow 30+21^{10}\equiv 1(mod19)\Leftrightarrow 30+17\equiv 1(mod19)\Leftrightarrow 9\equiv 1(mod19) contradiction$

Αν $a\geq 4$ τότε:
Με mod16

εχω: $b\equiv c(mod4),c\equiv 0(mod4)\Leftrightarrow b\equiv c\equiv 0(mod4)$
Οπότε b>3

.Με

έχω:
$50^{a}\equiv 1(mod9)\Leftrightarrow a\equiv 0(mod6)$
Με mid7

έχω:
$37^{c}\equiv 50^{a}\equiv 1(mod7)\Leftrightarrow c\equiv 0(mod3)$

Τέλος με mod13

παρατηρώ ότι:
$37^{c}-8^{b}\equiv 37^{multiple 12}-2^{multiple 12}\equiv 1-1\equiv 0(mod13)$
Όμως ο

δεν διαιρεί το

Άγνωστοι εκθέτες

Άγνωστοι εκθέτες

Re: Άγνωστοι εκθέτες

Re: Άγνωστοι εκθέτες

Re: Άγνωστοι εκθέτες

Re: Άγνωστοι εκθέτες

Μέλη σε σύνδεση