3-2=1

Τόλης · #1

Με ποια από τις παρακάτω τιμές είναι ισοδύναμη η αριθμητική παράσταση.

$\displaystyle (2+3)(2^2+3^2)(2^4+3^4)(2^8+3^8)(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})(2^{64}+3^{64})$

$3^{127}+2^{127}$

$3^{127}+2^{127}+2\cdot 3^{63} +3\cdot 2^{63}$
$C) 3^{128}-2^{128}$
$D) 3^{128}+2^{128}$
$E)5^{127}$

Henri van Aubel · #2

$A=\left ( 3-2 \right )\left ( 3+2 \right )\left ( 3^{2}+2^{2} \right )\left ( 3^{4} +2^{4}\right )\left ( 3^{8}+2^{8} \right )\left ( 3^{16}+2^{16} \right )\left ( 3^{32}+2^{32} \right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )$

$=\left ( 3^{2}-2^{2} \right )\left ( 3^{2}+2^{2} \right )\left ( 3^{4} +2^{4}\right )\left ( 3^{8}+2^{8} \right )\left ( 3^{16}+2^{16} \right )\left ( 3^{32}+2^{32} \right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )=$

$=\left ( 3^{4}-2^{4} \right )\left ( 3^{4}+2^{4} \right )\left ( 3^{8} +2^{8}\right )\left ( 3^{16}+2^{16} \right )\left ( 3^{32}+2^{32} \right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )=...=$

$\left ( 3^{16}-2^{16} \right )\left ( 3^{16}+2^{16} \right )\left ( 3^{32} +2^{32}\right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )=$

$\left ( 3^{32}-2^{32} \right )\left ( 3^{32}+2^{32} \right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )=\left ( 3^{64}-2^{64} \right )\left ( 3^{64}+2^{64} \right )=3^{128}-2^{128}$

Άρα, το C

Henri van Aubel · #3

Επί της ουσίας, ο τίτλος του εν λόγω θέματος φανερώνει το τέχνασμα, ώστε να εφαρμόσουμε διαφορά τετραγώνων..

Τόλης · #4

Άλλος ένας τρόπος είναι να δούμε ότι ο πρώτος όρος, δηλαδή ο 2+3=5

γράφεται και ως $3^{2}-2^{2}=5$
και να ακολουθήσουμε την ίδια τεχνική με του Henri.

3-2=1

3-2=1

Re: 3-2=1

Re: 3-2=1

Re: 3-2=1

Μέλη σε σύνδεση