Στριφνό μέγιστο

KARKAR · #1

: Σρτιφνό μέγιστο.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 1619 φορές

Στο "ανατολικό" μέρος του ημικυκλίου διαμέτρου AB=2r

κινείται σημείο

. Προεκτείνω το

κατά τμήμα MS=AM

.

Αν

η προβολή του

στην προέκταση της

, υπολογίστε το $\cos\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το (MSTB)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 22, 2025 10:15 am
Σρτιφνό μέγιστο.pngΣτο "ανατολικό" μέρος του ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Προεκτείνω το κατά τμήμα .

Αν η προβολή του στην προέκταση της , υπολογίστε το $\cos\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το .

.
Είναι $AB=2r, AM=2r\cos \theta, \, BM=2r\sin \theta$ . Άρα $AS= 4r\cos \theta$ (από τα δεδομένα) και, από την ομοιότητα των τριγώνων ABM, ATS

έχουμε $AT=4r\cos ^2 \theta, \,TS= 4r\sin \theta \cos \theta$ . Συνεπώς

$(MSTB)= (ATS)-(ABM)= \dfrac {1}{2} \cdot 4r\cos ^2 \theta \cdot 4r\sin \theta \cos \theta- \dfrac {1}{2} \cdot 2r\cos \theta \cdot 2r\sin \theta =$

$=2r^2(4 \cos ^2\theta- 1)\sin \theta \cos \theta$

Για το ζητούμενο μέγιστο μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε με διάφορους τρόπους. Ένας είναι να γράψουμε το παραπάνω ως

$=2r^2(4 \cos ^2\theta- 1)\sin \theta \cos \theta = r^2(2\cos 2\theta+ 1)\sin 2\theta = r^2( 2\cos 2\theta \sin 2\theta +\sin 2\theta )$ . Έχει παράγωγο

$-4\sin ^2(2\theta) +4\cos ^2(2\theta) +2\cos(2\theta) = 8\cos ^2(2\theta) +2\cos(2\theta)-4$ που μηδενίζεται όταν

$\cos 2\theta = \dfrac {1}{8} (-1\pm \sqrt {33} )$ (κρατάμε το +), ισοδύναμα από την $\cos (2\theta)=2\cos ^2 \theta -1$ , είναι

$\boxed {\cos \theta = \dfrac {1}{4} \sqrt {7+ \sqrt {33} }}$

(Με κομιουτεράκι βρήκα, $\theta \approx 26,8^o$ )

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 22, 2025 10:15 am
Σρτιφνό μέγιστο.pngΣτο "ανατολικό" μέρος του ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Προεκτείνω το κατά τμήμα .

Αν η προβολή του στην προέκταση της , υπολογίστε το $\cos\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το .

: Στριφνό μέγιστο.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 1587 φορές

Το

μεγιστοποιείται όταν $\displaystyle x =BT= \frac{{\sqrt {33} - 1}}{4}$ και είναι $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\sqrt {7 + \sqrt {33} } }}{4}$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Αφήνω το σχήμα.

Στριφνό μέγιστο

Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση